专题11菱形的性质与判定

【考点一】菱形的性质与判定综合考

例题：（浙江杭州·模拟预测）如图，在四边形 中， ， ，对角线 、 交于 ， 平分 ．

(1)求证：四边形 是菱形；

(2)过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ，若 ， ，求 的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)6

【解析】

【分析】

（1）由平行线的性质，角平分线的定义可知 ，根据一组对边平行且相等证明四边形 是平行四边形，进而可证平行四边形 是菱形；

（2）由菱形的性质可知 ， 为线段 的中点，则 是 斜边上的中线，可知 ，在 中，由勾股定理得 ，求出 的值，进而可得 的值．

(1)

证明：∵ ，

∴ ，

∵ 为 的平分线，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

又∵ ，

∴四边形 是平行四边形，

又 ，

∴平行四边形 是菱形．

(2)

解：∵四边形 是菱形， ，

∴ ， ， ，

∴ 为线段 的中点

∵ ，

∴ ，

∴ 是 斜边上的中线，

∴ ，

在 中， ， ，由勾股定理得 ，

∴ ，

∴ 的长为6．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

【变式训练】

1．（吉林四平·八年级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且BE＝DF．

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)连接EF，若∠CEF＝30°，BE＝2，直接写出四边形ABCD的周长．

【答案】(1)见解析

(2)16

【解析】

【分析】

（1）根据平行四边形的性质可得∠B＝∠D，进而易证△ABE≌△ADF（ASA），即得出AB=AD，进而即可求证结论：▱ABCD是菱形；

（2）由菱形的性质可知BC=CD，进而可得CE=CF，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠ECF =120°，即求出∠B=60°，最后利用含30°角的直角三角形的性质即可求出AB的长，进而即可求出菱形的周长．

(1)

证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴∠B＝∠D，

∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴∠AEB＝∠AFD＝90°，

在△AEB和△AFD中，

，

∴△AEB≌△AFD（ASA），

∴AB＝AD，

∴四边形ABCD是菱形．

(2)

如图，由（1）可知BC=CD，

∵BE=DF，

∴CE=CF，

∴∠CFE=∠CEF=30°，

∴∠ECF=180°−2∠CEF=120°，

∴∠B=180°−∠ECF=60°，

在Rt△ABE中，∠BAE=30°，

∴ ，

∴菱形ABCD的周长为 ．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识．利用数形结合的思想是解答本题的关键．

2．（贵州遵义·二模）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作 交BE于点G，连接CG．

(1)求证：四边形CEFG是菱形；

(2)若 ， ，求四边形CEFG的面积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据折叠的性质得CE=EF，∠CEB=∠FEB，根据“SAS”易证△GEF≌△GEC，由全等三角形的性质可得GF=GC，∠FGE=∠CGE，易证四边形CEFG是平行四边形，由CE=EF即可求证结论；

（2）由勾股定理和折叠的性质求得DF的长，设CE=x，由（1）结论在Rt△DEF中根据勾股定理列方程求解即可；

(1)

由折叠的性质可得CE=EF，∠CEG=∠FEG，

又GE=GE，

∴△GEF≌△GEC（SAS），

∴GF=GC，∠FGE=∠CGE，

∵FG∥CD，

∴∠FGE=∠CEG，

∴∠CGE=∠CEG，

∴EC=GC，

∴GF=EC，

∴四边形CEFG是平行四边形，

又∵CE=EF，

∴四边形CEFG是菱形；

(2)

∵ABCD是矩形，AB=3，BC=5，

∴ BF=AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=90°，

在Rt△ABF中，由勾股定理可得：

∴ ， ，

设 ，则 ，

在Rt△DEF中， ，即 ，

解得： ，即 ，

∴四边形CEFG的面积 ．

【点睛】

本题考查了折叠的性质，矩形的性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理；掌握相关性质是解题关键．

3．（吉林四平·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．

(1)求证：四边形AEFD是矩形；

(2)连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．

【答案】(1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；

（2）由菱形的性质得AD=AB=BC=10，由勾股定理求出AE=8， ，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．

(1)

证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC且AD＝BC，

∵BE＝CF，

∴BC＝EF，

∴AD＝EF，

∵AD∥EF，

∴四边形AEFD是平行四边形，

∵AE⊥BC，

∴ ∠AEF＝90°，

∴ 四边形AEFD是矩形；

(2)

∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，

∴AD＝AB＝BC＝10，

∵EC＝4，

∴BE＝10－4＝6，

在Rt△ABE中，

由勾股定理得: ，

在Rt△ACE中，

由勾股定理得： ，        

∵四边形ABCD是菱形，

∴OA＝OC，

∴ ．

【点睛】

本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练运用菱形的性质和矩形的判定定理是解题的关键．

4．（四川达州·九年级期末）如图，在四边形 中， ， 是 的中点，连接 ， ，过点 作 交 于点 ，且 ，连接 ．

(1)求证：四边形 是菱形；

(2)若 ，求四边形 的面积．

【答案】(1)见解析

(2)6

【解析】

【分析】

（1）由直角三角形斜边上的中线性质得 ， ，则 ，再证 ，则四边形 是平行四边形，即可得出结论；

（2）根据 是 的中点，得到 ，根据菱形的性质得到 ，求得 ，于是得到结论．

(1)

证明：∵ ， 是 的中点，

∴ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴四边形 是平行四边形，

又∵ ，

∴平行四边形 是菱形．

(2)

解：∵ 是 的中点， ，

∴ ，

∵四边形 是菱形，

∴ ， ，

∴ 与 同底等高，

∴ ，

∴ ．

∴四边形 的面积为 ．

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质，证明四边形 为菱形是解题的关键．

5．（吉林四平·八年级期末）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠ABC，点D是边AB上的一个动点，且不与A、B两点重合，过点D作DE⊥AC于点E，点F是射线ED上的点，且DF＝CB，连接BF、CD，得到四边形BCDF．

(1)求证：四边形BCDF是平行四边形；

(2)若AB＝8，∠A＝30°，设AD ，四边形BCDF的面积为S，求S关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；

(3)在（2）的条件下，是否存在这样的点D，使四边形BCDF为菱形？若存在，请求出S的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)见解析

(2)S＝ ，0＜ ＜8

(3)存在，

【解析】

【分析】

（1）首先证明FE∥BC，然后根据平行四边形的判定方法即可求证结论；

（2）由题意，先求出BC和AC的长度，设AD=x，求出AE的长度，然后表示出CE的长度，即可求出答案；

（3）由菱形的性质，得到BD=BC=DC，然后求出BD的长度，得到点D是AB的中点，即可得到答案．

(1)

证明：∵∠ACB＝90°，

∴AC⊥BC，

∵DE⊥AC，

∴FE∥BC，

∵DF＝CB，

∴四边形BCDF是平行四边形；

(2)

∵∠ACB＝90°，AB＝8，∠A＝30°，

∴BC＝4，

∴由勾股定理可得： ，

∵∠AED＝90°，AD＝ ，

∴DE＝ ，AE＝

∴ ，

∴ ，

∵点D不与A、B两点重合，

∴自变量x的取值范围为：0＜ ＜8；

(3)

存在，

若四边形BCDF为菱形，

∴BC＝DC，

∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∴△BCD为等边三角形，

∴BD＝BC＝DC，

∵BC＝4，AB＝8，

∴BD＝AD＝4，

∴ ＝4，

∴ ．

【点睛】

本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，以及中位线定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理进行解题．注意掌握数形结合的思想进行解题．

6．（山东·薛城区北临城中学模拟预测）在菱形ABCD中， ，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点B的位置随点P的位置变化而变化．

(1)如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是______，CE与AD的位置关系是______；

(2)当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明：若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）

(3)如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若 ， ，求四边形ADPE的面积．

【答案】(1)BP=CE，CE⊥AD

(2)成立，证明见解析

(3)

【解析】

【分析】

（1）连接AC，根据题意可得△ABC和△ADC为等边三角形，从而AB=AC，又有△APE为等边三角形，可得AP=AE，∠BAP=∠CAE，可证△ABP与≌ACE，得到BP=CE，∠ACE=∠ABP=30°，再根据等边三角形的性质可得CE⊥AD，即可解答；

（2）根据题意可得△ABC和△ADC为等边三角形，从而AB=AC，又有△APE为等边三角形，可得AP=AE，∠BAP=∠CAE，可证△ABP与≌ACE，得到BP=CE，∠ACE=∠ABP=30°，再根据等边三角形的性质可得CE⊥AD，即可解答；

（3）连接AC，CE，设AD与CE交于点M，AC与BD交于点O，由（2）可得∠BCE=90°，根据勾股定理求出CE，然后分别求出 和 ，即可求解．

(1)

解：（1）如图，连接AC，延长CE交AD于点H，

∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，

∴AB=BC=CD=AD，∠ABD=30°，∠ADC=∠ABC=60°，

∴△ABC和△ADC为等边三角形，

∴∠BAC=60°，∠CAD=60°，AB=AC，

∵△APE为等边三角形，

∴AP=AE，∠PAE=60°，

∴∠BAC-∠PAC=∠PAE-∠PAC，

即∠BAP=∠CAE，

在△ABP与△ACE中，

，

∴△ABP与≌ACE，

∴BP=CE，∠ACE=∠ABP=30°，

∵∠CAD=60°，

，

∴CE⊥AD；

故答案为：BP=CE，CE⊥AD；

(2)

解：成立，BP=CE，CE⊥AD；

选择图2中的情况，设CE与AD的交点为点H，证明如下：

∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，

∴AB=BC=CD=AD，∠ABD=30°，∠ADC=∠ABC=60°，

∴△ABC和△ADC为等边三角形，

∴∠BAC=60°，∠CAD=60°，AB=AC，

∵△APE为等边三角形，

∴AP=AE，∠PAE=60°，

∴∠BAC+∠PAC=∠PAE+∠PAC，

即∠BAP=∠CAE，

在△ABP与△ACE中， ，

∴△ABP与≌ACE，

∴BP=CE，∠ACE=∠ABP=30°，

∵∠CAD=60°，

，

∴CE⊥AD；

选择图3中的情况，证明同图2方法一样；

故当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论依然成立．

(3)

解：如图，连接AC，CE，设AD与CE交于点M，AC与BD交于点O，

由（2）可得BP=CE，CE⊥AD，∠ACE=∠ABP=30°，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∴∠BCE=∠ACB＋∠ACE=90°，

∵BC=AB= ，BE=2 ，

∴CE= ，

∴BP=CE=8，

∵△ADC为等边三角形，AD=AB=AC= ，

∴ ，

，

∴EM=CE-CM=5，

∴AE= ，

∵△AEP为等边三角形，

∴ ，

∴AP边的高为 ，

，

∵AB= ，

∴AO= ，

∴ ，

∴BD=2OB=6，

∴DP=BP-BD=8-6=2，

∴ ，

∴ ．

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，能根据题意得到全等三角形，充分利用等边三角形的性质是解题的关键．

【考点二】菱形的折叠问题

例题：（广东河源·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，AD＝6，则BE的长为（　　）

A． B． C．3 D．3.5

【答案】A

【解析】

【分析】

作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG＝EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB＝BD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．

【详解】

解：作EH⊥BD于H，

由折叠的性质可知，EG＝EA，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝60°，

∴△ABD为等边三角形，

∴AB＝BD＝AD＝6，

设BE＝x，则EG＝AE＝6﹣x，

在Rt△EHB中，BH＝ x，EH＝ x，

在Rt△EHG中，EG²＝EH²+GH²，即（6﹣x）²＝（ x）²+（4﹣ x）²，

解得，x＝ ，

∴BE＝ ，

故选：A．

【点睛】

此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，熟记各知识点并综合运用是解题的关键．

【变式训练】

1．（山西·模拟预测）如图，在菱形 中， ， ， ， 分别是边 ， 上的点，将 沿EF折叠，使点 的对应点 落在边 上，若 ，则 的长为______．

【答案】 ##

【解析】

【分析】

根据菱形性质和 ，可得 ， ， ，过点 作 于点 ， 于点 ，过点 于点 ，得矩形 ，然后利用含 度角的直角三角形可得 ，得 ，再利用勾股定理即可解决问题．

【详解】

解：在菱形 中， ， ， ，

，

如图，过点 作 于点 ， 于点 ，过点 于点 ，

得矩形 ，如图所示：

， ，

， ，

， ，

由翻折可知： ， ，

，

，

，

，

解得 ，

，

在 中， ， ，

，

，

，

，

，

在 中，根据勾股定理，得： ，

，

解得 ，

，

故答案为： ．

【点睛】

本题考查勾股定理求线段长，涉及到翻折变换的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．

2．（辽宁锦州·一模）如图，在菱形 中，F为 边上一点，将 沿 折叠，点C恰好落在 延长线上的点E处，连接 交 于点G，若 ， ，则 的长为______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据折叠的性质得CF=EF，DF⊥BC，代入相关数据可得CF=5，BC=7，由菱形的性质得DC=7，最后根据勾股定理可得DF的长．

【详解】

解：由折叠得，CF=EF，DF⊥BC，

∵BE=3，BF=2

∴EF=BE+BF=3+2=5

∴CF=5

∴BC=BF+FC=2+5=7

∵四边形ABCD是菱形

∴DC=BC=7

在Rt△DFC中，

∴

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了折叠的性质，菱形的性质以及勾股定理等知识，根据折叠的性质得到CF=EF，DF⊥BC是解答本题的关键．

3．（全国·九年级专题练习）如图，点E是菱形ABCD边AB的中点，点F为边AD上一动点，连接EF，将△AEF沿直线EF折叠得到△A'EF，连接A'D，A'C．已知BC＝4，∠B＝120°，当△A'CD为直角三角形时，线段AF的长为______．

【答案】2或

【解析】

【分析】

分当 时和当 时两种情况讨论求解即可．

【详解】

解：如图1所示，当 时，取CD中点H，连接 ，

∴ ，

∵四边形ABCD是菱形，E为AB中点，

∴ ，∠A=180°-∠B=60°， ，

由折叠的性质可知 ， ，

∴ ，

连接EH，

∵ ，

∴四边形AEHD是平行四边形，

∴ ， ，

∵由三角形三边的关系可知，当点 不在线段EH上时，必有 ，这与 矛盾，

∴E、 、H三点共线，

∴ ，

∴△AEF为等边三角形，

∴ ；

如图2所示，当 时，连接BD，ED，过点F作FG⊥AB于G，

∵∠ABC=120°，四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，∠A=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∵E是AB中点，

∴DE⊥AB，

∴∠ADE=30°，

∴∠EDC=90°，

∴此时 三点共线，

由翻折的性质可得 ，

∵FG⊥AE，∠A=60°，∠AEF=45°，

∴∠AFG=30°，∠GFE=45°，

∴AF=2AG，EG=FG，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

故答案为：2或 ．

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形三边的关系，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．

4．（全国·九年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为AD边上的一个动点，连接BE，将AB沿着BE折叠得到A'B，A的对应点为A'，连接A'D，当A′B⊥AD时，∠A'DE的度数为______．

【答案】15°##15度

【解析】

【分析】

由菱形的性质可得 ，可证 是等边三角形，由等边三角形的性质可得 垂直平分 ， ，由折叠的性质可得 ，可得 ，即可求解．

【详解】

解：如图，连接 ， ，

四边形 是菱形，

，

，

是等边三角形，

，

垂直平分 ， ，

，

，

将 沿着 折叠得到 ，

，

，

．

故答案为： ．

【点睛】

本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，证明 是等边三角形是解题的关键．

5．（安徽·合肥市五十中学新校二模）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E是边AB上一点，以DE为对称轴将△DAE折叠得到△DGE，再折叠BE使BE落在直线EG上，点B的对应点为点H，折痕为EF且交BC于点F．

（1）∠DEF＝________；

（2）若点E是AB的中点，则DF的长为________．

【答案】     90°     2.8

【解析】

【分析】

（1）由折叠得∠ ，再根据平角的定义可得结论；

（2）首先证明B、G、D在同一条直线上，再运用勾股定理列方程求解即可．

【详解】

解由折叠得，∠

∴∠

∵∠

∴∠

即∠

故答案为：90°；

（2）∵四边形ABCD是菱形

∴AD BC，DC AB，

∴

∵∠A=120°

∴

∵点E为AB的中点，且AB=2

∴

∵点A与点G重合，

∴

∵点B与点H重合

∴

又

∴

∴点G与点H重合

∵∠

∴ 三点在同一条直线上

过点D作 ，交BC的延长线于点O，如图，

∵DC AB

∴∠

∴∠

∴

在 中，

由折叠得， ，

设 ，则

∴ ，

在 中，

∴

解得，

∴

故答案为2.8

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．

【考点三】菱形的动点问题

例题：（新疆巴音郭楞蒙古自治州第一中学八年级期中）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为(     )

A．4 B． C．6 D．

【答案】B

【解析】

【分析】

连接BP，通过菱形 的周长为20，求出边长，菱形面积为24，求出SABC的面积，然后利用面积法，SABP+SCBP=SABC，即可求出 的值．

【详解】

解：连接BP，如图，

∵菱形ABCD的周长为20，

∴AB=BC=20÷4=5，

又∵菱形ABCD的面积为24，

∴SABC=24÷2=12，

又SABC= SABP+SCBP

∴SABP+SCBP=12，

∴ ，

∵AB=BC，

∴

∵AB=5，

∴PE+PF=12× = ．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系，求出PF+PE的值．

【变式训练】

1．（山东德州·二模）如图，菱形ABCD的边长为9，面积为18 ，P、E分别为线段BD、BC上的动点，则PE＋PC的最小值为______．

【答案】2

【解析】

【分析】

如图，连接AP，过点A作AH⊥BC于H．说明PA＝PC，再根据垂线段最短，解决问题即可．

【详解】

解：如图，连接AP，过点A作AH⊥BC于H．

∵四边形ABCD是菱形，

∴A，C关于BD对称，

∴PA＝PC，

∴PE＋PC＝AP＋PE，

∵AP＋PE≥AH，

∴PE＋PC≥AH，

∵S菱形ABCD＝BC•AH，

∴AH 2 ，

∴PE＋PC≥2 ，

∴PE＋PC的最小值为2 ，

故答案为：2 ．

【点睛】

本题考查轴对称=最短问题，菱形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．

2．（全国·九年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC、BD交于点O，BD＝4，点E为OD的中点，点F为AB上一点，且AF＝3BF，点P为AC上一动点，连接PE、PF，则PF﹣PE的最大值为 ___．

【答案】1

【解析】

【分析】

取OB中点E'，连接PE'，作射线FE'交AC于点P'．则PE＝PE'，当P与P'重合，P'、E'、F三点在同一直线上时，PF﹣PE'有最大值，即为FE'的长．

【详解】

解：如图，取OB中点E'，连接PE'，作射线FE'交AC于点P'．

则PE＝PE'，

∴PF﹣PE＝PF﹣PE'≤FE'，

当P与P'重合，P'、E'、F三点在同一直线上时，

PF﹣PE'有最大值，即为FE'的长，

∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，

∴∠ABD＝60°，∠DAB＝60°，

∴△ABD为等边三角形．

∴AB＝BD＝AD＝4．

∴OD＝OB＝2．

∵点E'为OB的中点，E'B＝1，AF＝3BF，

∴BF AB＝1，

∵∠ABD＝60°，

∴△BE'F为等边三角形，

∴E'F＝FB＝1．

故PF﹣PE的最大值为1．

故答案为：1．

【点睛】

本题考查了轴对称﹣最大值问题、菱形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练运用轴对称的性质和三角形三边关系是解题的关键．

3．（广西贵港·二模）如图，在边长为2的菱形 中， ，动点P在对角线 上，连接 ，则 的最小值是_________．

【答案】

【解析】

【分析】

过点P作 于E，过点A作 于F．根据题意由菱形的性质结合含30度角的直角三角形的性质可得出 ，即得出 ．从而可说明当A、P、E共线时， 最小，即为AF的长．求出AF的长即可．

【详解】

如图，过点P作 于E，过点A作 于F，

∵四边形ABCD为菱形，且 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

∵两点之间线段最短，

∴当A、P、E共线时， 最小，即为AF的长．

∵ ，

∴ ，

∴ ．

故答案为： ．

【点睛】

本题考查菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识．正确的作出辅助线并判断出AF的长为 的最小值是解题关键．

4．（陕西·商南县富水镇初级中学九年级期中）如图，菱形ABCD的边长为4，∠ADC=120°，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），点F是CD上一动点，且AE+CF=4，则△BEF面积的最小值为______________.

【答案】

【解析】

【分析】

首先证明△BEF是等边三角形，当BE⊥AD时面积最小．

【详解】

解：连接BD，

∵菱形ABCD边长为4，∠ADC=120°，

∴∠BAD=60°，

∴△ABD与△BCD都为等边三角形，

∴∠FDB=∠EAB=60°，

∵AE+CF=4，而DF+CF=4，

∴AE=DF，

∵AB=BD，

∴△BDF≌△BAE（SAS），

∴BE=BF，∠ABE=∠DBF，

∴∠EBF=∠ABD=60°，

∴△BEF是等边三角形，

∴当BE⊥AD时，△BEF的面积最小，

在Rt△ABE中，AE= AB=2，由勾股定理得BE=2 ，

同理可得等边△BEF的边BE上的高为 ×2 =3，

△BEF面积的最小值=3 ．

故答案为：3 ．

【点睛】

本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

5．（福建·莆田擢英中学一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合）， 于点E， 于点F，若 ， ，则EF的最小值为______．

【答案】

【解析】

【分析】

连接OP，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO＝ AC＝10，BD＝ BD＝5，根据勾股定理得到AB＝ ，根据矩形的性质得到EF＝OP，根据三角形的面积公式即可得到结论．

【详解】

解：连接OP，如图，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO＝ AC＝10，BD＝ BD＝5，

∴AB＝ ，

∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，

∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，

∴四边形OEPF是矩形，

∴EF＝OP，

∵当OP取最小值时，EF的值最小，

∴当OP⊥AB时，OP最小，

∴S△ABO＝ OA•OB＝ AB•OP，

∴OP＝ ＝2 ，

∴EF的最小值为2 ，

故答案为：2 ．

【点睛】

本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．

6．（上海市奉贤区育秀实验学校八年级阶段练习）已知：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，点P是射线BC上的一个动点，∠PAQ=60°，交射线CD于点Q，设点P到点B的距离为x，PQ=y．

(1)求证：△APQ是等边三角形；

(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

(3)如果PD⊥AQ，求BP的值．

【答案】(1)见解析；

(2)y＝ （x≥0）；

(3)BP＝0或BP＝8

【解析】

【分析】

（1）先判断出△ABC是等边三角形，进而判断出△BAP≌△CAQ，即可得出AP＝AQ，即可得出结论；

（2）先表示出AH，PH，利用勾股定理即可得出结论；

（3）分两种情况，①判断出点P和点B重合，②判断出∠PAB＝90°即可得出结论．

(1)

证明：如图1，连接AC

∵四边形ABCD为菱形

∴AB＝BC，AB CD

∵∠B＝60°

∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝180°－∠B＝120°

∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°

∴∠ACQ＝∠BCD－∠ACB＝60°，∠PAQ＝∠BAC＝60°

∴∠B＝∠ACQ，∠BAP＝∠CAQ

∴△BAP≌△CAQ，

∴AP＝AQ

∴△APQ是等边三角形

(2)

解：如图2，作PH⊥AB于点H，则∠BHP＝90°，

∵∠B＝60°

∴∠BPH＝30°，

∴BH＝ x，PH＝ ＝ x，

∵AB＝4，

∴AH＝4﹣ x

∵△APQ是等边三角形

∴PQ＝AP＝y

在Rt△AHP中，AP²＝AH²+PH²，

∴y²＝（ x）²+（4﹣ x）²＝ ，

∴y＝ （x≥0）

(3)

解：①当点P在边BC上，PD⊥AQ时，点P与点B重合，x＝0，即BP＝0．

②如图3，

当点P在边BC的延长线上，PD⊥AQ于点M，

同（1）的方法得，△APQ为等边三角形．

∴∠PAQ＝60°，

∵PD⊥AQ，

∴AM＝QM，PM垂直平分AQ

∴△DAQ是等腰三角形

∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，

∴∠BAD＝180°－∠B＝120°，∠ADC＝60°，

∴∠ADQ＝120°，

∴∠DAQ＝ ＝30°，

∴∠DAP＝30°

∴∠BAP＝∠BAD﹣∠DAP＝90°，

∴AB＝ BP

∵AB＝4

∴BP＝8，

∴BP＝0或BP＝8

【点睛】

此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，判断出△PAQ是等边三角形是解本题的关键．

7．（重庆永川·八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点分别在x轴、y轴上，其中C，D两点的坐标分别为 ， ．两动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒1个单位的速度沿线段AB向终点B运动，点Q以每秒2个单位的速度沿折线CDA向终点A运动，设运动的时间为t秒．

(1)求菱形ABCD的高h和面积s的值；

(2)当点Q在CD边上运动时，t为何值时直线PQ将菱形ABCD的面积分成1：2两部分；

(3)设四边形APCQ的面积为y，求y关于t的函数关系式（要写出t的取值范围）；在点P、Q运动的整个过程中是否存在y的最大值？若存在，求出这个最大值，并指出此时点P、Q的位置；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)24，

(2)当 时，直线PQ将菱形面积分成1：2两部分

(3) ，存在最大值18，此时点P运动到AB的中点，点Q运动到与点D重合

【解析】

【分析】

（1）先根据C、D的坐标求出 ， ，即可利用勾股定理求出 ，再由菱形的性质可得 ，则 ；

（2）如图1．由已知可得： ， ，则 ，求出 ，再由直线PQ将菱形的面积分成1：2两部分，则 或 ，由此求解即可；

（3）分当Q在CD上，即 时和当Q在AD上，即 时两种情况讨论求解即可．

(1)

解：∵ ， ，

∴ ， ．

∵ ，

∴ ．

∵四边形ABCD是菱形，

∴菱形面积 ．

∴菱形的高 ；

(2)

解：如图1．由已知可得： ， ，则 ．

则

若直线PQ将菱形的面积分成1：2两部分，则 或 ．

即 ，或 ．

解得： 或 （舍去）．

∴当 时，直线PQ将菱形面积分成1：2两部分．

(3)

当Q在CD上，即 时，见图2．

∴此时，y随t的增大而增大．

∴当 时， 取得最大值．

当Q在AD上，即 时，见图3．

∴此时y随t的增大而减小，无最大值．

∴ ，在点P、Q运动的整个过程中，y有最大值18，此时点P运动到AB的中点，点Q运动到与点D重合．

【点睛】

本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，一次函数的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识．

8．（辽宁沈阳·九年级期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边 APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．

（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是，BC与CE的位置关系是；

（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；

（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB＝2 ，BE＝2 ，请直接写出 APE的面积．

【答案】（1）BP＝CE，CE⊥BC；（2）仍然成立，见解析；（3）31

【解析】

【分析】

（1）连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP≌△CAE即可证得结论；

（2）（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明△BAP≌△CAE即可；

（3）分两种情形：当点P在BD的延长线上时或点P在线段DB的延长线上时，连接AC交BD于点O，由∠BCE＝90°，根据勾股定理求出CE的长即得到BP的长，再求AO、PO、PD的长及等边三角形APE的边长可得结论．

【详解】

解：（1）如图1，连接AC，延长CE交AD于点H，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，

∵∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°；

∵△APE是等边三角形，

∴AP＝AE，∠PAE＝60°，

∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，

∴△BAP≌△CAE（SAS），

∴BP＝CE；

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ABP＝ ∠ABC＝30°，

∴∠ABP＝∠ACE＝30°，

∵∠ACB＝60°，

∴∠BCE＝60°+30°＝90°，

∴CE⊥BC；

故答案为：BP＝CE，CE⊥BC；

（2）（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD仍然成立，理由如下：

如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，

∵菱形ABCD，∠ABC＝60°，

∴△ABC和△ACD都是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAD＝120°，∠BAP＝120°+∠DAP，

∵△APE是等边三角形，

∴AP＝AE，∠PAE＝60°，

∴∠CAE＝60°+60°+∠DAP＝120°+∠DAP，

∴∠BAP＝∠CAE，

∴△ABP≌△ACE（SAS），

∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，

∴∠DCE＝30°，

∵∠ADC＝60°，

∴∠DCE+∠ADC＝90°，

∴∠CHD＝90°，

∴CE⊥AD；

∴（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD仍然成立；

（3）如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD     BD平分∠ABC，

∵∠ABC＝60°，AB＝2 ，

∴∠ABO＝30°，

∴AO＝ AB＝ ，OB＝ AO＝3，

∴BD＝6，

由（2）知CE⊥AD，

∵AD∥BC，

∴CE⊥BC，

∵BE＝2 ，BC＝AB＝2 ，

∴CE＝ ＝8，

由（2）知BP＝CE＝8，

∴DP＝2，

∴OP＝5，

∴AP＝ ＝ ＝2 ，

∵△APE是等边三角形，

∴S△AEP＝ ×（2 ）²＝7 ，

如图4中，当点P在DB的延长线上时，同法可得AP＝ ＝ ＝2 ，

∴S△AEP＝ ×（2 ）²＝31 ，

【点睛】

此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题．

【考点四】菱形中无刻度作图问题

例题：（江西吉安·九年级期末）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，延长BC至E，使 ．取CD的中点F，连接EF，请利用无刻度的直尺按下列要求作图（保留画图痕迹）．

(1)在图1中作出△CEF中CF边上的中线；

(2)在图2中作出BC的中点．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）连接AC和BD交于点O，连接OE交CD于点G，EG即为所求；

（2）连接AC和BD交于点O，连接FO并延长交AB于点M，连接MC交BD于点N，连接AN并延长，交BC于点H，点H即为所求.

(1)

解：如图，EG即为所求；

(2)

解：如图，点H即为所求；

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图，解题的关键是掌握菱形的性质，灵活运用所学知识解决问题.

【变式训练】

1．（江苏无锡·一模）（1）请仅用无刻度的直尺作图：

①如图1，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AD中点，以EF为边作一个矩形；

②如图2，菱形ABCD中，E是对角线BD上一点（BE＜DE），以AE为边作一个菱形．（保留作图痕迹，不写做法）

（2）尺规作图：如图3，已知四边形ABCD，请你在CD边上求作一点P，使得△ADP的面积等于△ADB的面积的一半．（要求：利用无刻度直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹．）

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）①连接AC，BD交于点O，连接EO，延长EO交CD于G，连接FO，延长FO交BC于H，连接EH，GH，FG即可；②连接AC交BD于O，延长AE交BC于Q，连接QO，延长QO交AD于P，连接CP交BD于F，连接AF，CF，EC即可；

(2) 作 BT//AD交CD于T，作线段DT的垂直平分线MN交DT于点P，连接AP即可．

【详解】

解：（1）①如图1中，矩形EFGH即为所求作；

②如图2中，菱形AECF即为所求作．

（2）如图3中，△APD即为所求作．

【点睛】

本题考查作图--复杂作图，三角形的面积，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．

2．（江西南昌·八年级期末）如图，菱形ABCD及点P，请仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图．

（1）如图1，若点P在AB上，请在CD上作出点Q，使CQ=AP；

（2）如图2，若点P在菱形ABCD外，请在菱形外作点Q，使△CQD≌△APB．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）连接 ， 交于点 ，连接 延长 交 于点 ，点 即为所求．

（2）连接 ， 交于点 ，延长 交 的延长线于 ，连接 交 的延长线于 ，连接 ，连接 ，延长 交 于点 ，连接 ，点 即为所求．

【详解】

解：（1）如图1中，点 即为所求．

（2）如图2中，点 即为所求．

【点睛】

本题考查作图 复杂作图，菱形的性质等知识，解题的关键是作出菱形的对称中心 ，属于中考常考题型．

3．（江西南昌·八年级期末）如图，点 为线段 上一点且不与 ， 两点重合，分别以 ， 为边向 的同侧做锐角为60°的菱形．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）

（1）在图1中，连接 ，若 ，作出线段 的中点 ；

（2）在图2中，连接 ，若 ，作出线段 的中点 ．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）连接AF，BD交于点O，连接DF，连接CO延长CO交DF于点M，点M即为所求．

（2）连接AD，BF，延长AD交BF的延长线于E，连接CE，DF交于点N．点N即为所求．

【详解】

解：（1）

如图点 为 的中点

（2）

如图点 为 的中点

【点睛】

本题考查作图−复杂作图，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中线等知识，解题的关键是利用三角形中线的定义，平行四边形的性质解决问题．