【323970】2024八年级数学下册 第22章 四边形阶段方法技巧训练(三)专训3活用多边形的内角和
专训3 活用多边形的内角和与外角和的五种方法
名师点金:
多边形的内角和、外角和属于多边形中的基础知识,它常与方程、不等式综合运用来求某些角的度数或多边形的边数.
利用多边形的内角和或外角和求边数
1.已知一个正多边形的每个外角等于72°,则这个正多边形是( )
A.正五边形 B.正六边形
C.正七边形 D.正八边形
2.一个多边形的内角和是外角和的3倍,则这个多边形的边数为________.
3.已知两个多边形的内角总和是900°,且边数之比是1∶2,求这两个多边形的边数.
利用多边形的内角和或外角和求角的度数
4.在四边形ABCD中,∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比为2∶3∶4∶3,则∠D等于( )
A.60° B.75° C.90° D.120°
5.如图,已知∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的4个外角,且∠A=120°,则∠1+∠2+∠3+∠4=________.
(第5题)
6.如图,已知CD∥AF,∠CDE=∠BAF,AB⊥BC,∠C=120°,∠E=80°,试求∠F的度数.
(第6题)
用不等式(组)解决有关多边形边数及角的
问题
7.一个多边形除去一个内角后,其余内角之和是2 570°,求:
(1)这个多边形的边数;
(2)除去的那个内角的度数.
求不规则图形的内角和
8.如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.【导学号:54274028】
(第8题)
多边形中的截角问题
9.一个多边形截去一个角后,形成一个新多边形的内角和是2 700°,那么原多边形的边数是多少?
答案
1.A
2.8 点拨:设这个多边形的边数为n,由题意得(n-2)×180°=360°×3,解得n=8.
3.解:设这两个多边形的边数分别是n,2n.则(n-2)×180°+(2n-2)×180°=900°,解得n=3.所以2n=6.
所以这两个多边形的边数分别是3,6.
4.C
5.300° 点拨:设∠A的邻补角为∠α,则∠α=180°-120°=60°.因为∠1+∠2+∠3+∠4+∠α=360°,所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°-∠α=360°-60°=300°.
(第6题)
6.解:如图,连接AD,在四边形ABCD中,∠BAD+∠ADC+∠B+∠C=360°.因为AB⊥BC,所以∠B=90°.又因为∠C=120°,所以∠BAD+∠ADC=150°.因为CD∥AF,所以∠ADC=∠DAF.所以∠BAF=150°.又因为∠CDE=∠BAF,所以∠CDE=150°.所以在六边形ABCDEF中,∠F=720°-∠BAF-∠B-∠C-∠CDE-∠E=720°-150°-90°-120°-150°-80°=130°.
7.解:(1)设这个多边形的边数为n,则内角和为(n-2)·180°.依题意,得2 570°<(n-2)·180°<2 570°+180°,解这个不等式组,得16<n<17.因为n是正整数,所以n=17.即这个多边形的边数为17.
(2)除去的那个内角的度数为(17-2)×180°-2 570°=130°.
点拨:由于除去一个内角后,其余内角之和为2 570°,故该多边形的内角和比2 570°大,比2 570°+180°小.可列出关于边数的不等式组,先确定边数的取值范围,再求边数.
8.解:如图,连接GF.因为∠A+∠B+∠AHB=180°,∠HFG+∠HGF+∠GHF=180°,∠AHB=∠GHF,所以∠A+∠B=∠HFG+∠HGF.
(第8题)
因为∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠FGC=540°,∠EFG=∠EFH+∠HFG,∠FGC=∠HGC+∠HGF,所以∠C+∠D+∠E+∠EFH+∠HFG+∠HGF+∠HGC=540°.所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠EFH+∠HGC=540°.
9.分析:设新多边形的边数是n,根据多边形的内角和公式可得关于n的方程,从而求得n的值.一个多边形截去一个角后,会出现三种情况,以四边形为例:(1)边数减少1,如图①;(2)边数不变,如图②;(3)边数增加1,如图③.
(第9题)
解:设新多边形的边数是n,根据多边形的内角和公式,得(n-2)·180°=2 700°,解得n=17.把一个多边形的一个角截去后,所得新多边形边数可能不变,可能减少1,也可能增加1.
所以原多边形的边数是16或17或18.
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