专训3　活用多边形的内角和与外角和的五种方法

名师点金：

多边形的内角和、外角和属于多边形中的基础知识，它常与方程、不等式综合运用来求某些角的度数或多边形的边数．

利用多边形的内角和或外角和求边数

1．已知一个正多边形的每个外角等于72°，则这个正多边形是(　　)

A．正五边形　　　　　　B．正六边形

C．正七边形 D．正八边形

2．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为________．

3．已知两个多边形的内角总和是900°，且边数之比是1∶2，求这两个多边形的边数．

利用多边形的内角和或外角和求角的度数

4．在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为2∶3∶4∶3，则∠D等于(　　)

A．60°　　　B．75°　　　C．90°　　　D．120°

5．如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角，且∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________．

(第5题)

6．如图，已知CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠C＝120°，∠E＝80°，试求∠F的度数．

(第6题)

用不等式(组)解决有关多边形边数及角的

问题

7．一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2 570°，求：

(1)这个多边形的边数；

(2)除去的那个内角的度数．

求不规则图形的内角和

8．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数．【导学号：54274028】

(第8题)

多边形中的截角问题

9．一个多边形截去一个角后，形成一个新多边形的内角和是2 700°，那么原多边形的边数是多少？

答案

1．A

2．8　点拨：设这个多边形的边数为n，由题意得(n－2)×180°＝360°×3，解得n＝8.

3．解：设这两个多边形的边数分别是n，2n.则(n－2)×180°＋(2n－2)×180°＝900°，解得n＝3.所以2n＝6.

所以这两个多边形的边数分别是3，6.

4．C

5．300°　点拨：设∠A的邻补角为∠α，则∠α＝180°－120°＝60°.因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠α＝360°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°－∠α＝360°－60°＝300°.

(第6题)

6．解：如图，连接AD，在四边形ABCD中，∠BAD＋∠ADC＋∠B＋∠C＝360°.因为AB⊥BC，所以∠B＝90°.又因为∠C＝120°，所以∠BAD＋∠ADC＝150°.因为CD∥AF，所以∠ADC＝∠DAF.所以∠BAF＝150°.又因为∠CDE＝∠BAF，所以∠CDE＝150°.所以在六边形ABCDEF中，∠F＝720°－∠BAF－∠B－∠C－∠CDE－∠E＝720°－150°－90°－120°－150°－80°＝130°.

7．解：(1)设这个多边形的边数为n，则内角和为(n－2)·180°.依题意，得2 570°＜(n－2)·180°＜2 570°＋180°，解这个不等式组，得16＜n＜17.因为n是正整数，所以n＝17.即这个多边形的边数为17.

(2)除去的那个内角的度数为(17－2)×180°－2 570°＝130°.

点拨：由于除去一个内角后，其余内角之和为2 570°，故该多边形的内角和比2 570°大，比2 570°＋180°小．可列出关于边数的不等式组，先确定边数的取值范围，再求边数．

8．解：如图，连接GF.因为∠A＋∠B＋∠AHB＝180°，∠HFG＋∠HGF＋∠GHF＝180°，∠AHB＝∠GHF，所以∠A＋∠B＝∠HFG＋∠HGF.

(第8题)

因为∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠FGC＝540°，∠EFG＝∠EFH＋∠HFG，∠FGC＝∠HGC＋∠HGF，所以∠C＋∠D＋∠E＋∠EFH＋∠HFG＋∠HGF＋∠HGC＝540°.所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFH＋∠HGC＝540°.

9．分析：设新多边形的边数是n，根据多边形的内角和公式可得关于n的方程，从而求得n的值．一个多边形截去一个角后，会出现三种情况，以四边形为例：(1)边数减少1，如图①；(2)边数不变，如图②；(3)边数增加1，如图③.

(第9题)

解：设新多边形的边数是n，根据多边形的内角和公式，得(n－2)·180°＝2 700°，解得n＝17.把一个多边形的一个角截去后，所得新多边形边数可能不变，可能减少1，也可能增加1.

所以原多边形的边数是16或17或18.