专训2　一次函数与二元一次方程(组)的四种常见应用

名师点金：

二元一次方程(组)与一次函数的关系很好地体现了“数”与“形”的结合，其常见应用有：利用两直线的交点坐标确定方程组的解；利用方程(组)的解求两直线的交点坐标；方程组的解与两个一次函数图像位置的关系；利用二元一次方程组求一次函数的表达式．

利用两直线的交点坐标确定方程组的解

1．已知直线y＝－x＋4与y＝x＋2如图所示，则方程组的解为(　　)

(第1题)

A. 　　B.

C. 　　D.

2．已知直线y＝2x与y＝－x＋b的交点坐标为(1，a)，试确定方程组的解和a，b的值．

3．在平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋4的图像如图所示．

(1)在同一坐标系中，作出一次函数y＝2x－5的图像；

(2)用作图像的方法解方程组

(3)求一次函数y＝－x＋4与y＝2x－5的图像与x轴所围成的三角形的面积．

(第3题)

利用方程(组)的解求两直线的交点坐标

4．已知方程组的解为则直线y＝mx＋n与y＝－ex＋f的交点坐标为(　　)

A．(4，6) B．(－4，6) C．(4，－6) D．(－4，－6)

5．已知和是二元一次方程ax＋by＝－3的两组解，则一次函数y＝ax＋b的图像与y轴的交点坐标是(　　)

A．(0，－7) B．(0，4)

C. D.

方程组的解与两个一次函数图像位置的关系

6．若方程组没有解，则一次函数y＝2－x与y＝－x的图像必定(　　)

A．重合 B．平行 C．相交 D．无法确定

7．直线y＝－a₁x＋b₁与直线y＝a₂x＋b₂有唯一交点，则二元一次方程组的解的情况是(　　)

A．无解 B．有唯一解

C．有两个解 D．有无数解

利用二元一次方程组求一次函数的表达式

8．已知一次函数y＝kx＋b的图像经过点A(1，－1)和B(－1，3)，求这个一次函数的表达式．

9．已知一次函数y＝kx＋b的图像经过点A(3，－3)，且与直线y＝4x－3的交点B在x轴上．

(1)求直线AB对应的函数表达式；

(2)求直线AB与坐标轴所围成的△BOC(O为坐标原点，C为直线AB与y轴的交点)的面积．

答案

1．B

2．解：将(1，a)代入y＝2x，得a＝2.

所以直线y＝2x与y＝－x＋b的交点坐标为(1，2)，

所以方程组的解是

将(1，2)代入y＝－x＋b，得2＝－1＋b，解得b＝3.

3．解：(1)画函数y＝2x－5的图像如图所示．

(第3题)

(2)由图像看出两直线的交点坐标为(3，1)，所以方程组的解为

(3)直线y＝－x＋4与x轴的交点坐标为(4，0)，直线y＝2x－5与x轴的交点坐标为，又由(2)知，两直线的交点坐标为(3，1)，所以三角形的面积为××1＝.

4．A　5.C　6.B　7.B

8．解：依题意将A(1，－1)与B(－1，3)的坐标分别代入y＝kx＋b中，得解得

所以这个一次函数的表达式为y＝－2x＋1.

9．解：(1)因为一次函数y＝kx＋b的图像与直线y＝4x－3的交点B在x轴上，

所以将y＝0代入y＝4x－3中，得x＝，所以B，

把A(3，－3)，B的坐标分别代入y＝kx＋b中，得解得

则直线AB对应的函数表达式为y＝－x＋1.

(2)由(1)知直线AB对应的函数表达式为y＝－x＋1，

所以直线AB与y轴的交点C的坐标为(0，1)，

所以OC＝1，

又B，所以OB＝.

所以S_△BOC＝OB·OC＝××1＝.

即直线AB与坐标轴所围成的△BOC的面积为.