专训1　一次函数的两种常见应用

名师点金：

一次函数的两种常见应用主要体现在解决实际问题和几何问题上．能够从函数图像中得到需要的信息，并求出函数表达式从而解决实际问题和几何问题，是一次函数应用价值的体现，这种题型常与一些热点问题结合，考查学生综合分析问题、解决问题的能力．

利用一次函数解决实际问题

行程问题

(第1题)

1．【中考·鄂州】甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示，则下列结论：

①A，B两城相距300 km；

②乙车比甲车晚出发1 h，却早到1 h；

③乙车出发后2.5 h追上甲车；

④当甲、乙两车相距50 km时，t＝或.

其中正确的结论有(　　)

A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个

2．甲、乙两地相距300 km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，根据图像，解答下列问题：

(1)线段CD表示轿车在途中停留了________h；

(2)求线段DE对应的函数表达式；

(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．

(第2题)

工程问题

3．甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(h)之间的函数图像如图所示．

(1)求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数表达式．

(2)求乙组加工零件总量a的值．

(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？【导学号：54274014】

(第3题)

实际问题中的分段函数

4．某种铂金饰品在甲、乙两个商场销售．甲标价为477元/g，按标价出售，不优惠；乙标价为530元/g，但若买的铂金饰品质量超过3 g，则超出部分可打八折．

(1)分别写出到甲、乙两个商场购买该种铂金饰品所需费用y(元)和质量x(g)之间的函数表达式；

(2)李阿姨要买一个质量不少于4 g且不超过10 g的此种铂金饰品，到哪个商场购买合算？

5.我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民的节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一个月用水10 t以内(包括10 t)的用户，每吨收水费a元；一个月用水超过10 t的用户，10 t水仍按每吨a元收费，超过10 t的部分，按每吨b(b＞a)元收费．设一户居民月用水x t，应交水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．

(1)求a的值；某户居民上月用水8 t，应交水费多少元？

(2)求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数表达式．

(第5题)

利用一次函数解决几何问题

利用图像解几何问题

6．如图①所示，正方形ABCD的边长为6 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动，设运动的时间为t(s)，△APD的面积为S(cm²)，S与t的函数图像如图②所示，请回答下列问题：

(1)点P在AB上运动的时间为________s，在CD上运动的速度为________cm/s，△APD的面积S的最大值为________cm²；

(2)求出点P在CD上运动时S与t之间的函数表达式；

(3)当t为何值时，△APD的面积为10 cm^2?

(第6题)

利用分段函数解几何问题(分类讨论思想、数形结合思想)

7．在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D.如图，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y.(当点P与点A或D重合时，y＝0)【导学号：54274015】

(1)写出y与x之间的函数表达式；

(2)画出此函数的图像．

(第7题)

答案

1．B

2．解：(1)0.5

(2)设线段DE对应的函数表达式为y＝kx＋b(2.5≤x≤4.5)．

将D(2.5，80)，E(4.5，300)的坐标分别代入y＝kx＋b可得

解得

所以y＝110x－195(2.5≤x≤4.5)．

(3)设线段OA对应的函数表达式为y＝k₁x(0≤x≤5)．

将A(5，300)的坐标代入y＝k₁x可得300＝5k₁，

解得k₁＝60.所以y＝60x(0≤x≤5)．

令60x＝110x－195，解得x＝3.9.

故轿车从甲地出发后经过3.9－1＝2.9(h)追上货车．

3．解：(1)设甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数表达式为y＝kx，因为当x＝6时，y＝360，所以k＝60，

即甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数表达式为y＝60x(0≤x≤6)．

(2)a＝100＋100÷2×2×(4.8－2.8)＝300.

(3)当工作2.8 h时共加工零件100＋60×2.8＝268(件)，　

所以装满第1箱的时刻在2.8 h后．

设经过x₁ h恰好装满第1箱．

则60x₁＋100÷2×2(x₁－2.8)＋100＝300，解得x₁＝3.

从x＝3到x＝4.8这一时间段内，甲、乙两组共加工零件(4.8－3)×(100＋60)＝288(件)，　

所以x>4.8时，才能装满第2箱，此时只有甲组继续加工．

设装满第1箱后再经过x₂ h装满第2箱．

则60x₂＋(4.8－3)×100÷2×2＝300，解得x₂＝2.

故经过3 h恰好装满第1箱，再经过2 h恰好装满第2箱．

4．解：(1)y_甲＝477x，

y_乙＝　

(2)当477x＝424x＋318时，

解得x＝6，

即当x＝6时，到甲、乙两个商场购买所需费用相同；

当477x<424x＋318时，解得x<6，

又x≥4，于是当4≤x＜6时，到甲商场购买合算；

当477x>424x＋318时，解得x>6，

又x≤10，于是当6＜x≤10时，到乙商场购买合算．

5．解：(1)当x≤10时，由题意知y＝ax.将x＝10，y＝15代入，得15＝10a，所以a＝1.5.

故当x≤10时，y＝1.5x.当x＝8时，y＝1.5×8＝12.

故应交水费12元．

(2)当x＞10时，由题意知y＝b(x－10)＋15.将x＝20，y＝35代入，

得35＝10b＋15，所以b＝2.故当x＞10时，y与x之间的函数表达式为y＝2x－5.

点拨：本题解题的关键是从图像中找出有用的信息，用待定系数法求出表达式，再解决问题．

6．解：(1)6；2；18

(2)PD＝6－2(t－12)＝30－2t，S＝AD·PD＝×6×(30－2t)＝90－6t，

即点P在CD上运动时S与t之间的函数表达式为S＝90－6t(12≤t≤15)．

(3)当0≤t≤6时易求得S＝3t，将S＝10代入，得3t＝10，解得t＝；当12≤t≤15时，S＝90－6t，将S＝10代入，得90－6t＝10，解得t＝.所以当t为或时，△APD的面积为10 cm².

7．解：(1)点P在边AB，BC，CD上运动时所对应的y与x之间的函数表达式不相同，故应分段求出相应的函数表达式．

①当点P在边AB上运动，即0≤x＜3时，

y＝×4x＝2x；

②当点P在边BC上运动，即3≤x＜7时，

y＝×4×3＝6；

③当点P在边CD上运动，即7≤x≤10时，

y＝×4(10－x)＝－2x＋20.

所以y与x之间的函数表达式为

y＝

(2)函数图像如图所示．

(第7题)

点拨：本题考查了分段函数在动态几何中的运用，体现了数学中的分类讨论思想和数形结合思想．根据点P在边AB，BC，CD上运动时所对应的y与x之间的函数表达式不相同，分段求出相应的函数表达式，再画出相应的函数图像．