【323925】2024八年级数学下册 第19章 平面直角坐标系阶段方法技巧训练（二）专训1点的坐标变

专训1　点的坐标变化规律探究问题

名师点金：

点的坐标按照某种规律变化时，其关键是根据已知点的变化情况，利用猜想、归纳、验证等方法，探究点的坐标的变化规律．

沿坐标轴运动的点的坐标规律探究

1．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O₁，O₂，O₃，…，组成一条平滑的曲线．点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2 019秒时，点P的坐标是(　　)

(第1题)

A．(2 018，0) B．(2 019，－1)

C．(2 019，1) D．(2 020，0)

2．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2 017次运动后，动点P的坐标是________，经过第2 018次运动后，动点P的坐标是________．

(第2题)

3．如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，第一分钟从原点运动到(1，0)，第二分钟从(1，0)运动到(1，1)，然后它接着按图中箭头所示的方向运动(在第一象限内运动时，运动方向与x轴或y轴平行)，且每分钟移动1个单位长度．

(1)当粒子所在位置是(2，2)时，所经过的时间是________；

(2)在第2 017分钟时，这个粒子所在位置的坐标是________．

(第3题)

　　 (第4题)

绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究

4．将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标(x，y)，其中x，y均为整数，如数5对应的坐标为(－1，1)，则数2 018对应的坐标的(　　)

A．(16，22) B．(－15，－22)

C．(15，－22) D．(16，－22)

图形变换的点的坐标规律探究

5．在平面直角坐标系中有三个点A(1，－1)，B(－1，－1)，C(0，1)，点P(0，2)关于A的对称点为P₁，P₁关于B的对称点为P₂，P₂关于C的对称点为P₃，按此规律继续以A，B，C为对称中心重复前面的操作，依次得到P₄，P₅，P₆，…，则点P_{2 018}的坐标是(　　)

A．(0，0) B．(0，2)

C．(2，－4) D．(－4，2)

6．(探究题)如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA₁B₁，第二次将三角形OA₁B₁变换成三角形OA₂B₂，第三次将三角形OA₂B₂变换成三角形OA₃B₃，已知A(1，3)，A₁(2，3)，A₂(4，3)，A₃(8，3)，B(2，0)，B₁(4，0)，B₂(8，0)，B₃(16，0)．

(第6题)

(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA₃B₃变换成三角形OA₄B₄，则点A₄的坐标是________，点B₄的坐标是________；

(2)若按(1)题中的规律，将三角形OAB进行n(n为正整数)次变换，得到三角形OA_nB_n，比较每次变换前后三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A_n的坐标是__________，点B_n的坐标是__________．

答案

1．B　点拨：半径为1个单位长度的圆的周长的一半为×2π×1＝π，因为点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，所以点P 1秒走个半圆．

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为(1，1)；

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为(2，0)；

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为(3，－1)；

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为(4，0)；

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为(5，1)；

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为(6，0)；

….

因为2 019÷4＝504……3，

所以第2 019秒时，点P的坐标是(2 019，－1)．

2．(2 017，1)；(2 018，0)

3．(1)6分钟　(2)(44，7)

4．C　点拨：以原点为中心，数阵图形成多层正方形(不完整)，观察图形得出下表：

正方 形的 层数	正方形 每边正整 数的个数
正方形在第四象限的顶点
表示的数	对应的坐标
1	3	9	(1，－1)
2	5	25	(2，－2)
3	7	49	(3，－3)
…	…	…	…
n	2n＋1	(2n＋1)2	(n，－n)

因为44²＜2 018＜45²＝(2×22＋1)²＝2 025，

所以数2 025对应的坐标为(22，－22)．　

所以数2 018对应的坐标为(15，－22)．

5．D　点拨：设P₁(x，y)，因为点A(1，－1)，点P(0，2)关于A的对称点为P₁，所以＝1，＝－1，解得x＝2，y＝－4，所以P₁(2，－4)．同理可得P₂(－4，2)，P₃(4，0)，P₄(－2，－2)，P₅(0，0)，P₆(0，2)，P₇(2，－4)，…，所以每6个点循环一次．因为2 018÷6＝336……2，所以点P_{2 018}的坐标是(－4，2)．故选D.

6．(1)(16，3)；(32，0)

(2)(2ⁿ，3)；(2^n＋1，0)