第9章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共24分)
1．【2023·北京】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
2．(教材P66练习T1)在平行四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝80°，则∠B的度数是( )
A．140° B．100° C．40° D．120°
3．【2023·无锡滨湖区一模】下列命题是真命题的是( )
A．平行四边形的对角互补 B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线相等 D．正方形的对角线相等且互相垂直平分
4．如图，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于点E，∠DBC＝30°，BE＝1 cm，则AE的长为( )
A．3 cm B．2 cm C．2 cm D. cm
5．【2023·无锡】如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α(0°＜α＜55°)，得到△ADE，DE交AC于F.当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于( )
A．80° B．85° C．90° D．95°
6．(教材P84习题T9)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC＝4，则四边形CODE的周长为( )
A．4 B．8 C．12 D．20
7．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为( )
A．－1 B．3－ C．＋1 D．－1
8
．如图，矩形ABCD的面积为20
cm2，对角线交于点O；以AB，AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B，对角线交于点O2，…，以此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为( )
A. cm2 B. cm2
C. cm2 D. cm2
二、填空题(每题3分，共30分)
9．如图，在△ABC中，∠C＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点C的对应点E恰好落在边BC上．若AC＝5，则CE＝________．
10.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，请添加一个条件：____________，使四边形AFCE是平行四边形(填一个即可)．
11．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，EF⊥AD于点F，连接AE，若EF＝3，AE＝5，则AD＝________．
12．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点(点E不与点B，D重合)，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝________．
13．如图，在菱形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥BC，则∠AFD＝________．
14．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是_________．
15.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3 ，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为________．
16．【2023·菏泽】如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF，若∠ABE＝55°，则∠EGC＝________度．
17．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，以CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，连接GE，GF.若BC＝2GC，则∠EGF＝________．
18.如图，在△ABC中，将AB绕点A顺时针旋转α至AB′，将AC绕点A逆时针旋转β至AC′(0°＜α＜180°，0°＜β＜180°)，得到△AB′C′，使∠BAC＋
∠B′AC′＝180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有________．
①△ABC与△AB′C′面积相同；
②BC＝2AD；
③若AB＝AC，连接BB′和CC′，则∠B′BC＋∠CC′B′＝180°；
④若AB＝AC，AB＝4，BC＝6，则B′C′＝10.
三、解答题(19～25题每题8分，26题10分，共66分)
19．【2023·自贡】如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且AM＝CN.求证：DM＝BN.
20．【2023·淮安开明中学期中】如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．
(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
(2)将△DEF绕点E逆时针旋转90°得到△D1EF1，画出△D1EF1；
(3)若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到，则这点的坐标为________．
21．【2023·张家界】如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.
(1)求证：AE∥BF；
(2)若DF＝FC时，求证：四边形DECF是菱形．
22.如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE.
(1)求证：四边形BCDE是菱形；
(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝4，求AC的长．
23．如图，已知在菱形ABCD中，∠B＝72°，请设计三种不同的方法，将菱形ABCD分割成四个三角形，使每个三角形都是等腰三角形．(要求画出分割线段，标出所得的三角形内角的度数．注：只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的方法)
24．【2022·张家界】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF.
(1)求证：△ODE≌△FCE；
(2)试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程．
2
5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)求CE＋CG的值．
26.问题情境：
在数学课外小组活动中，老师要求大家对“菱形的剪拼”问题进行探究．
如图①，将边长为4，∠A＝45°的菱形纸片ABCD沿着对角线BD剪开，得到△ABD和△B′DC，将△B′DC绕着点D逆时针旋转．
初步探究：
(1)“爱心小组”将△B′DC绕点D逆时针旋转，当DB′∥AB时，∠BDB′的度数为________；
再次探究：
(2)“勤奋小组”将△B′DC绕点D逆时针旋转至图②，连接AC，BB′，此时四边形ABB′C是矩形，求∠BDB′的度数；
深入探究：
(3)“创新小组”将△B′DC绕点D逆时针旋转至图③，此时点B，D，B′恰好在一条直线上，延长BA，B′C交于点E，试判断四边形ADCE的形状，并说明理由．
答案
一、1．A 2．A 3．D 4．D
5．B 【点拨】由旋转性质可得∠BAC＝∠DAE＝55°，AB＝AD，∠B＝∠ADE，
∵α＝40°，∴∠DAF＝15°，∠B＝∠ADB＝∠ADE＝70°.
∴∠AFE＝∠DAF＋∠ADE＝85°.
6．B 【点拨】∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝AC＝2，OD＝BD，AC＝BD.∴OC＝OD＝2.
∴四边形CODE是菱形．∴DE＝CE＝OC＝OD＝2.
∴菱形CODE的周长为2×4＝8.
7．D 【点拨】∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AD＝CD＝2.又∵M为边DA的中点，
∴DM＝AD＝1.∴CM＝＝.
∴ME＝MC＝.
∴ED＝EM－DM＝－1.∵四边形EDGF是正方形，
∴DG＝DE＝－1.
8．B 【点拨】设矩形ABCD的面积为S.
易得平行四边形AOC1B的面积＝矩形ABCD的面积＝S，
平行四边形AO1C2B的面积＝平行四边形AOC1B的面积＝S＝，…，
∴平行四边形AOn－1CnB的面积＝.
∴平行四边形AO4C5B的面积为＝(cm2)．
二、9．5 10．BF＝DE(答案不唯一) 11．7
12．30°或60° 13．60° 14．对角线互相垂直的四边形
15．3 【点拨】连接DN，DB.
∵点E，F分别为DM，MN的中点，∴EF＝DN.
∴DN的值最大时，EF的值最大．
易知点N与点B重合时，DN的值最大，
此时DN＝DB＝＝6，
∴EF的最大值为3.
16．80 【点拨】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°.
∵∠ABE＝55°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝35°.
由旋转得BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°.
∵∠EGC是△BEG的一个外角，
∴∠EGC＝∠BEF＋∠EBC＝80°.
17．45° 【点拨】∵以CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，
∴∠GDC＝∠GCD＝45°，∠DGC＝90°.
∵∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠FDG＝∠FDC＋∠CDG＝90°＋45°＝135°，∠ECG＝∠BCD＋∠DCG＝90°＋45°＝135°.
∵E，F分别为BC，DA的中点，AD＝BC，BC＝2GC，
∴DF＝DG＝CE＝CG.
∴∠DGF＝∠DFG＝(180°－∠FDG)＝×45°＝22.5°，
∠CEG＝∠CGE＝(180°－∠ECG)＝×45°＝22.5°.
∴∠EGF＝∠DGC－∠DGF－∠EGC＝90°－22.5°－22.5°＝45°.
18．①②③ 【点拨】如图，延长B′A，并截取AE＝AB，连接C′E，
∵
∠BAC＋∠B′AC′＝180°，
∴α＋β＝360°－180°＝180°.
∵α＋∠BAE＝180°，∴∠BAE＝β.
∴∠BAC＋∠CAE＝∠CAE＋∠EAC′.
∴∠BAC＝∠EAC′.
根据旋转可知AC＝AC′，AB＝AB′，
又∵AB＝AE，∴△ABC≌△AEC′.∴BC＝C′E，
S△ABC＝S△AEC′.
∵AB＝AB′，AB＝AE，∴AE＝AB′.∴S△AB′C′＝S△AEC′.
∴S△ABC＝S△AB′C′，即△ABC与△AB′C′面积相同．故①正确；
∵AE＝AB′，B′D＝C′D，∴AD是△B′C′E的中位线．
∴AD＝C′E.
∵BC＝C′E，∴BC＝2AD.故②正确；
当AB＝AC时，AB′＝AB＝AC＝AC′，
∴∠AB′B＝∠ABB′，∠AB′C′＝∠AC′B′，∠AC′C＝∠ACC′，∠ABC＝∠ACB.
又∵∠AB′B＋∠ABB′＋∠AB′C′＋∠AC′B′＋∠AC′C＋∠ACC′＋∠ABC＋∠ACB＝360°，
∴∠ABB′＋∠ABC＋∠AC′B′＋∠AC′C＝∠AB′B＋∠ACB＋∠AB′C′＋
∠ACC′＝180°.
∴∠B′BC＋∠CC′B′＝180°.故③正确；
∵BC＝6，
∴根据②可知，AD＝BC＝3.
∵AB＝4，∴AB＝AB′，∴AB′＝4，∵AB′＝AC′，AD为中线，
∴AD⊥B′C′.∴∠ADB′＝90°.
∴B′D＝＝＝.
∴B′C′＝2B′D＝2.故④错误．
综上分析可知，正确的是①②③.
三、19．【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵AM＝CN，∴AB－AM＝CD－CN，即BM＝DN.
又∵BM∥DN，∴四边形MBND是平行四边形．
∴DM＝BN.
20．【解】(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△D1EF1即为所求． (3)(0，1)
21【证明】(1)∵AD＝BC，∴AD＋CD＝BC＋CD.∴AC＝BD.
∵AE＝BF，CE＝DF，∴△AEC≌△BFD(SSS)．
∴∠A＝∠B.∴AE∥BF.
(2)∵△AEC≌△BFD，
∴∠ECA＝∠FDB.∴EC∥DF.∵EC＝DF，
∴四边形DECF是平行四边形．
又∵DF＝FC，∴四边形DECF是菱形．
22．(1)【证明】∵AD＝2BC，E为AD的中点，
∴DE＝BC＝AE.
∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形．
∵∠ABD＝90°，AE＝DE，∴BE＝DE.
∴四边形BCDE是菱形．
(2)【解】∵AD∥BC，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA.∴AB＝BC＝4.
∵AD＝2BC＝8，∴∠ADB＝30°.
∵∠ABD＝90°，AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAD＝×60°＝30°.
由(1)知四边形BCDE是菱形，
∴∠ADC＝60°.∴∠ACD＝90°.
在Rt△ACD中，∵AD＝8，∠DAC＝30°，∴CD＝4.
∴AC＝＝＝.
23【解】如图所示．(答案不唯一)
24(1)【证明】∵点E是CD的中点，∴CE＝DE.
又∵CF∥BD，∴∠ODE＝∠FCE.
在△ODE和△FCE中，
∴△ODE≌△FCE(ASA)．
(2)【解】四边形ODFC为矩形．证明如下：
∵△ODE≌△FCE，∴OE＝FE.
∵CE＝DE，∴四边形ODFC为平行四边形．
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，即∠DOC＝90°.
∴平行四边形ODFC为矩形．
25．(1)【证明】如图，过点E作EM⊥CD于点M，EN⊥BC于点N.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠ACD，∠BCD＝90°.
∴EM＝EN.
∵∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴四边形EMCN是矩形．
∴∠MEN＝90°.∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEF＝90°.∴∠DEF＝∠MEN.∴∠DEM＝∠FEN.
又∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF(ASA)．
∴ED＝EF.∴矩形DEFG是正方形．
(2)【解】∵四边形DEFG和四边形ABCD是正方形，AB＝4，
∴DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，AB＝AD＝CD＝4.
∴∠ADE＝∠CDG.∴△ADE≌△CDG(SAS)．
∴AE＝CG.
∴CE＋CG＝CE＋AE＝AC＝＝＝8.
26．【解】(1)67.5°
(2)∵AB＝AD＝CD＝B′C，∠BAD＝∠DCB′＝45°，
∴∠ABD＝∠DB′C＝67.5°.
∵四边形ABB′C是矩形，∴∠CB′B＝∠ABB′＝90°.∴∠DBB′＝∠DB′B＝22.5°.
∴∠BDB′＝180°－∠DBB′－∠DB′B＝135°.
(3)四边形ADCE是菱形．理由如下：
∵AB＝AD＝CD＝B′C，∠BAD＝∠DCB′＝45°，
∴∠ADB＝∠CDB′＝67.5°.
∵点B，D，B′恰好在一条直线上，
∴∠ADC＝45°.∴∠ADC＝∠BAD＝∠B′CD.
∴AE∥CD，AD∥CE.
∴四边形ADCE是平行四边形．
又∵AD＝CD，∴四边形ADCE是菱形．