第09讲平行四边形及其性质与中心对称（核心考点讲与练）
一．平行线之间的距离
（1）平行线之间的距离
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
（2）平行线间的距离处处相等．
二．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
三．中心对称
（1）中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
四．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
一．平行线之间的距离（共5小题）
1．（岳阳期末）已知：a∥b∥c，a与b之间的距离为3cm，b与c之间的距离为4cm，则a与c之间的距离为 7cm或1cm ．
【分析】本题主要利用平行线之间的距离的定义作答．要分类讨论：①当b在a、c时；②c在b、a之间时．
【解答】解：①如图1，当b在a、c之间时，
a与c之间距离为3+4＝7（cm）；
②如图2，c在b、a之间时，
a与c之间距离为4﹣3＝1（cm）；
故答案是：7cm或1cm．
【点评】此题很简单，考查的是两平行线之间的距离的定义，即两直线平行，则夹在两条平行线间的垂线段的长叫两平行线间的距离．
2．（饶平县校级期中）如图，已知AD∥BC，CE＝5，CF＝8，则AD与BC间的距离是 5 ．
【分析】根据平行线间的距离的定义解答．
【解答】解：由图可知，平行线AD与BC间的距离CE，
∵CE＝5，
∴AD与BC间的距离是5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了平行线之间的距离，熟记定义并准确识图是解题的关键．
3．（朝阳区二模）如图，直线l1∥l2，它们之间的距离是（ ）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PC的长 D．线段PD的长度
【分析】按照平行线间的距离的定义即可得出答案．
【解答】解：平行线间的距离是指平行线上任意一点与另一条平行线的垂线段的长度．
观察图形可得PB为直线l1∥l2之间的垂线段．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线间的距离的定义，属于基础知识的考查，比较简单．
4．（江干区期末）把直线a沿水平方向平移4cm，平移后的线为直线b，则直线a与直线b之间的距离为（ ）
A．等于4cm B．小于4cm
C．大于4cm D．小于或等于4cm
【分析】分两种情况：
如图（1）、如果直线与水平方向垂直，则直线a与直线b之间的距离为4cm；
如图（2）、如果直线a与水平方向不垂直时，直线a与直线b之间的距离小于4cm．
【解答】解：根据两平行线间的距离的定义，4cm可以是直线a与直线b距离，也可以不是；
故选：D．
【点评】本题考查了直线的平移与平行线的距离，注意要分类讨论．
5．（常德期末）如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，EG⊥CD于G，∠EFG＝45°，FG＝6cm，
则AB与CD间的距离为 6 cm．
【分析】求出∠EFG＝∠FEG，推出EG＝FG＝6cm，即可得出答案．
【解答】解：∵EG⊥CD，
∴∠EGF＝90°，
∵∠EFG＝45°，
∴∠FEG＝45°，
∴FG＝EG，
∵FG＝6cm，
∴EG＝6cm，
∴AB与CD间的距离为6cm．
故答案为：6．
【点评】此题考查了平行线之间的距离公式，熟练掌握性质和概念是解题的关键．
二．平行四边形的性质（共5小题）
6．（海曙区校级期末）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，过E作EF∥CD交对角线AC于点F，若要求△FBC的面积，只需知道下列哪个三角形的面积即可（ ）
A．△ECD B．△EBF C．△EBC D．△EFC
【分析】过B作BM⊥AC于点M，过D作DN⊥AC于N，证明△ADN≌△CBM得DN＝BM，由三角形的面积公式可得△BCF和△CDE的面积都等于△CDF的面积，便可得出答案．
【解答】解：过B作BM⊥AC于点M，过D作DN⊥AC于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
在△ADN和△CBM中，
，
∴△ADN≌△CBM（AAS），
∴DN＝BM，
∵S△BCF＝
CF•BM，S△CDF＝
CF•DN，
∴S△BCF＝S△CDF，
∵EF∥CD，
∴S△CDE＝S△CDF＝S△BCF，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的面积计算公式，关键是证明△BCF和△CDE的面积都等于△CDF的面积，
7．（海曙区校级期末）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝2，则AB的长为（ ）
A．
B．2
C．2 D．2
【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE＝DE＝AB即可得出答案．
【解答】解：∵CE平分∠BCD交AD边于点E，
∴∠ECD＝∠ECB，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DEC＝∠ECB，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∵AD＝2AB，
∴AD＝2CD，
∴AE＝DE＝AB＝2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，得出∠DEC＝∠DCE是解题关键．
8．（鄞州区校级期末）如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠BAD＝120°，则∠BCE的度数为（ ）
A．30° B．20° C．40° D．35°
【分析】由平行四边形的性质得出∠B+∠BAD＝180°，可得∠B的度数，由直角三角形的两上锐角互余得出∠BCE＝90°﹣∠B即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠B＝60°，
∵CE⊥AB，
∴∠E＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、角的互余关系；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠B的度数是解决问题的关键．
9．（肇源县期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，
，则下列结论：①∠CAD＝30°②
③S平行四边形ABCD＝AB•AC④
，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①先根据角平分线和平行得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE＝30°，最后由平行线的性质可作判断；
②先根据三角形中位线定理得：OE＝
AB＝
，OE∥AB，根据勾股定理计算OC＝
和OD的长，可得BD的长；
③因为∠BAC＝90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；
④根据三角形中位线定理可作判断．
【解答】解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝1，
∵BC＝2，
∴EC＝1，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
故①正确；
②∵BE＝EC，OA＝OC，
∴OE＝
AB＝
，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝60°+30°＝90°，
Rt△EOC中，OC＝
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠BAD＝120°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠ACD＝90°，
Rt△OCD中，OD＝
，
∴BD＝2OD＝
，
故②正确；
③由②知：∠BAC＝90°，
∴S平行四边形ABCD＝AB•AC，
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE＝
AB，
∵AB＝
BC，
∴OE＝
BC＝
AD，
故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键系．
10．（海曙区校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若四边形AECF的周长为10，AF＝3，AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．
【分析】（1）根据平行四边形ABCD的对边平行得出AD∥BC，又AE＝CF，利用有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证得四边形AECF为平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证得结论；
（2）根据平行四边形的性质和平行四边形的周长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AE∥CF，
又∵点E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AE＝
AD，CF＝
BC，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF＝CE；
（2）解：∵四边形AECF的周长为10，AF＝3，
∴AE+CF＝10﹣2×3＝4，
∵点E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AD+BC＝2（AE+CF）＝8，
∵AB＝2，
∴平行四边形ABCD的周长＝8+2×2＝12．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
三．中心对称（共4小题）
11．（鹿城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于D（﹣1，0）成中心对称．已知点A的坐标为（﹣3，﹣2），则点A'的坐标是（ ）
A．（1，3） B．（1，2） C．（3，2） D．（2，3）
【分析】根据点D是线段AA′的中点以及中点坐标公式解答．
【解答】解：设点A'的坐标是（a，b），
根据题意知：
＝﹣1，
＝0．
解得a＝1，b＝2．
即点A'的坐标是（1，2），
故选：B．
【点评】本题综合考查了中心对称，坐标与图形的变化，难度不大，掌握对称中心的性质是解题的关键．
12．（永嘉县校级期中）电动伸缩门是依据平行四边形的（ ）
A．中心对称性 B．轴对称性 C．稳定性 D．不稳定性
【分析】根据平行四边形的不稳定性即可判断．
【解答】解：平行四边形具有不稳定性，
故选：D．
【点评】本题考查中心对称，平行四边形的性质，轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．（海陵区校级月考）已知，点A（a，1）和点B（3，b）关于点（5，0）成中心对称，则a+b的值为 6 ．
【分析】利用中心对称的性质，构建方程组解决问题即可．
【解答】解：∵点A（a，1）和点B（3，b）关于点（5，0）成中心对称，
∴
，
解得，
，
∴a+b＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查中心对称，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．（秦淮区月考）如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝
，AB＝1，∠BAC＝90°，则AE的长是 
．
【分析】利用全等三角形的性质以及勾股定理解决问题即可．
【解答】解：∵△ABC和△DEC关于点C成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝1，AC＝CD＝
，∠D＝BAC＝90°，
∴AD＝DE＝1，
∴AE＝
＝
＝
．
故答案为：
．
【点评】本题考查中心对称，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
四．中心对称图形（共4小题）
15．（阳东区期末）下列四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
16．（温州模拟）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
17．（北仑区期末）下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．
18．（益阳）以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：A．不是中心对称图形，符合题意；
B．是中心对称图形，不符合题意；
C．是中心对称图形，不符合题意；
D．是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了中心对称图形的概念．熟记定义是解答本题的关键．
题组A 基础过关练
一．选择题（共10小题）
1．（宁波期末）在同一平面内，直线a∥c，且直线a到直线c的距离是2；直线b∥c，直线b到直线c的距离为5，则直线a到直线b的距离为（ ）
A．3 B．7 C．3或7 D．无法确定
【分析】分两种情况：①直线b在直线a和c的上方；②直线b在直线a和直线c的下方．
【解答】解：①
，
则直线a到直线b的距离为5﹣2＝3；
②
，
则直线a到直线b的距离为5+2＝7．
综上所述，直线a到直线b的距离为3或7．
故选：C．
【点评】此题考查了两条平行线间的距离，注意思维的严密性，应分情况考虑．
2．（张店区期末）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则▱ABCD的周长是（ ）
A．16 B．14 C．20 D．24
【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE＝∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE＝CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD的周长．
【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD，
∵在▱ABCD中，AD＝6，BE＝2，
∴AD＝BC＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，
∴CD＝AB＝4，
∴▱ABCD的周长＝6+6+4+4＝20．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．
3．（余姚市期末）在▱ABCD中，∠A：∠B＝2：1，则∠C的度数为（ ）
A．50° B．60° C．100° D．120°
【分析】由平行四边形的对边平行结合条件可求得∠A，则可求得∠C的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠A＝∠C，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A：∠B＝2：1，
∴∠A＝120°，
∴∠C＝∠A＝120°，
故选：D．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行、对角相等是解题的关键．
4．（德阳期末）如图，将▱ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（ ）
A．110° B．35° C．70° D．55°
【分析】根据平行四边形的对角相等求出∠BCD的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的∠A＝110°，
∴∠BCD＝∠A＝110°，
∴∠1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．
5．（瓯海区期中）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且AE＝3cm，AF＝4cm．若▱ABCD的周长为56cm，则BC的长为（ ）
A．14cm B．16cm C．28cm D．32cm
【分析】由平行四边形的性质得出S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF，又由AE＝3cm，AF＝4cm，可得3BC＝4CD，又由▱ABCD的周长为56cm，可得BC+CD＝28cm，继而求得答案．
【解答】解：∵▱ABCD的周长为56cm，
∴BC+CD＝28cm，
∵▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF
∵AE＝3cm，AF＝4cm，
∴3BC＝4CD，
∴BC＝16cm，CD＝12cm，
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的面积公式运用，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
6．（乌审旗模拟）如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．20cm2 B．15cm2 C．10cm2 D．25cm2
【分析】观察图形可知，黑白图形都是互相对称的，故其面积相等，则图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半．
【解答】解：根据题意观察图形可知，
长方形的面积＝10×4＝40cm2，
再根据中心对称的性质得：
图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，
则图中阴影部分的面积S＝
×40＝20cm2．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称，难度适中，关键是利用中心对称的性质得出答案．
7．（嵊州市校级模拟）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中成中心对称的三角形共有（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
【分析】根据平行四边形的性质及中心对称图形的概念解答．
【解答】解：图中成中心对称的三角形分别是△ACD与△CAB，△ABD与△CDB，△AOD与△COB，△AOB与△COD，
共4对．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
8．（商河县校级期末）下列扑克牌中，中心对称图形有（ ）
A．1张 B．2张 C．3张 D．4张
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：根据中心对称图形的概念可得：①③是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，关键是根据中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合解答．
9．（天台县期末）下列多边形是中心对称图形的是（ ）
A．等腰梯形 B．等边三角形 C．正方形 D．正五边形
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形．故选项错误；
B、不是中心对称图形．故选项错误；
C、是中心对称图形．故选项正确；
D、不是中心对称图形．故选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
10．（沈河区一模）下列图形中：
是中心对称图形的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断．
【解答】解：从左起第2、4个图形是中心对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，注意掌握图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合．
二．填空题（共2小题）
11．（海曙区校级开学）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝150°，则∠A的度数为 120° ．
【分析】由平行四边形的性质得出∠AEB＝∠CBE，由角平分线的定义和邻补角关系得出∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝180°﹣∠BED＝30°，再由三角形内角和定理即可得出∠A的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝150°，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝180°﹣∠BED＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝120°；
故答案为：120°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠ABE＝∠CBE＝∠AEB是解决问题的关键．
12．（金乡县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2020的坐标为 （2，2） ．
【分析】根据中心对称的性质找出部分Pn的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“P6n（0，0），P6n+1（2，0），P6n+2（﹣2，2），P6n+3（0，﹣2），P6n+4（2，2），P6n+5（﹣2，0）（n为自然数）”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：观察，发现规律：
P0（0，0），P1（2，0），P2（﹣2，2），P3（0，﹣2），P4（2，2），P5（﹣2，0），P6（0，0），P7（2，0），…，
∴P6n（0，0），P6n+1（2，0），P6n+2（﹣2，2），P6n+3（0，﹣2），P6n+4（2，2），P6n+5（﹣2，0）（n为自然数）．
∵2020＝6×336+4，
∴P2020（2，2）．
故答案为：（2，2）．
【点评】本题考查了规律型中的点的坐标以及中心对称的性质，解题的关键是找出变化规律“P6n（0，0），P6n+1（2，0），P6n+2（﹣2，2），P6n+3（0，﹣2），P6n+4（2，2），P6n+5（﹣2，0）（n为自然数）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据题意列出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键．
三．解答题（共6小题）
13．（嘉兴月考）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，BF．
（1）求证：BE＝DF．
（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．
【分析】（1）由在平行四边形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，证得△ABE≌△CDF（AAS），可得出结论；
（2）可得出BE∥DF，BE＝DF，则可证得四边形BFDE是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠DFC，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF；
（2）解：四边形BEDF为平行四边形，理由如下：
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴BE∥DF，
又由（1）可知：BE＝DF，
∴四边形BEDF为平行四边形．
【点评】此题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
14．（鹿城区校级二模）如图，在▱ABCD中，E是CD边上的中点，AD，BE的延长线相交于点F．
（1）求证：△BCE≌△FDE．
（2）若DF＝3，DE＝2，求▱ABCD的周长．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，从而有∠FDE＝∠C，∠F＝∠CBE，再由E是CD边上的中点得DE＝CE，利用AAS可判定△BCE≌△FDE；
（2）由（1）可得DF＝BC，CD＝2DE＝4，从而可求四边形ABCD的周长．
【解答】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FDE＝∠C，∠F＝∠CBE，
∵E是CD边上的中点，
∴DE＝CE，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（AAS）；
（2）解：由（1）得△BCE≌△FDE，
∴BC＝DF＝3，
∵E是CD边上的中点，
∴CD＝2DE＝4，
∴▱ABCD的周长为：2（BC+CD）＝14．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质并灵活运用．
15．（文成县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，连接AE，CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF．
（2）若∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝8，求AE的长．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CDF；
（2）由勾股定理可求OB的长，由直角三角形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，BO＝DO，AO＝CO，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝
BO，DF＝
DO，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵AC＝8，
∴AO＝CO＝4，
∵∠BAC＝90°，
∴BO＝
＝
＝5，
∵∠BAC＝90°，点E是BO的中点，
∴AE＝
BO＝
．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
16．（拱墅区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，线段BE，CF相交于点G．
（1）问：线段BE与CF的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝3，CF＝4，求BE的长．
【分析】（1）根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD＝180°，再根据角平分线的性质可得∠EBC+∠FCB＝
∠ABC+
∠DCB＝90°，进而可得BE⊥CF；
（2）过A作AM∥FC，首先证明△ABE是等腰三角形，进而得到BO＝EO，再利用勾股定理计算出EO的长，进而可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，
∴∠EBC+∠FCB＝
∠ABC+
∠DCB＝90°，
∴∠BGC＝90°，
∴EB⊥FC；
∵EB⊥FC，
∴∠FGB＝90°，（2）解：如图，过A作AM∥FC，
∵AM∥FC，
∴∠AOB＝∠FGB，
∴∠AOB＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝3，
∵AO⊥BE，
∴BO＝EO，
在△AOE和△MOB中，
，
∴△AOE≌△MOB（ASA），
∴AO＝MO，
∵AF∥CM，AM∥FC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴AM＝FC＝4，
∴AO＝2，
∴EO＝
＝
＝
，
∴BE＝2
．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是证明AO＝MO．
17．（余姚市期末）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，且AE＝CF，DE，BF分别交AC于点G，H．
（1）求证DE∥BF；
（2）求证：AG＝CH．
【分析】（1）通过平行四边形ABCD可得AB＝CD，根据AE＝CF得出BE＝DF，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判定四边形BEDF是平行四边形，从而证得结论；
（2）通过证明∠AEG＝∠CFH、∠BAC＝∠DCH根据“ASA”可判定△AEG≌△CFH，继而得到AG＝CH．
在△AEG和△CFH中，
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AE＝CF，
∴BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE∥BF．
（2）∵DE∥BF，
∴∠AEG＝∠ABF，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CFH，∠EAG＝∠FCH，
∴∠AEG＝∠CFH，
，
∴△AEG≌△CFH（ASA），
∴AG＝CH．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，明确平行四边形的对边平行和相等和全等三角形的对应边相等是证明线段相等或平行的重要方法．
18．（夹江县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边的中点，连接AE，若AE和DC的延长线相交于点F，求证：DC＝CF．
【分析】欲证明DC＝CF，只要证明△ABE≌△FCE即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠CFE；
∵E为BC中点，
∴EB＝EC，
在△ABE与△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF，
∴DC＝CF．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
声明：试题解析
题组B 能力提升练
一．选择题（共3小题）
1．（椒江区校级月考）如图所示，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，连接CE，恰好有CE⊥AD，若测得BC＝8cm，CE＝4cm，则▱ABCD的周长为（ ）
A．24cm B．26cm C．28cm D．32cm
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义得出AB＝AE，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
设AB＝x，则DE＝AD﹣AE＝8﹣x，
在Rt△CED中，CE2+DE2＝CD2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴AB＝5cm，
∴▱ABCD的周长＝（5+8）×2＝26（cm），
故选：B．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边平行且相等解答．
2．（温州模拟）如图，在▱ABCD中，BD＝6，AC＝10，BD⊥AB，则AD的长为（ ）
A．8 B．
C．2
D．2
【分析】根据平行四边形的性质得出OB，OA，进而利用勾股定理得出AB，进而解答即可．
【解答】解：AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴2AO＝AC，2OB＝BD，
∵BD＝6，AC＝10，
∴OA＝5，OB＝3，
∵DB⊥AB，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB＝
，
在Rt△ADB中，由勾股定理得，AD＝
，
故选：D．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出OB，OA的长解答．
3．（博山区一模）如图，在矩形ABCD中，把∠A沿DF折叠，点A恰好落在矩形的对称中心E处，则∠ADF的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】根据折叠的性质得到AD＝ED＝AE，∠ADF＝∠EDF＝
∠ADE，推出△DAE的等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠ADE＝60°，求得∠ADF＝30°．
【解答】解：如图，连接AE，
∵把∠A沿DF折叠，点A恰好落在矩形的对称中心E处，
∴AD＝ED＝AE，∠ADF＝∠EDF＝
∠ADE，
∴△DAE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∴∠ADF＝30°，
故选：D．
【点评】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，中心对称，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
4．（鄞州区校级期末）平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC＝10，BD＝6，AB＝m，那么m的取值范围是 2＜m＜8 ．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OA与OB的值，然后根据三角形三边关系，即可求得m的取值范围．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝
AC＝
×10＝5，OB＝OD＝
BD＝
×6＝3，
∵OA﹣OB＜AB＜OA+OB，
∴5﹣3＜m＜5+3，
∴m的取值范围是：2＜m＜8．
故答案为：2＜m＜8．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与三角形三边关系．此题难度不大，解题的关键是注意掌握平行四边形的对角线互相平分定理的应用，注意数形结合思想的应用．
5．（和平区校级开学）已知平行四边形ABCD中，E是AB的中点，AB＝
，AC＝3，DE＝4，则平行四边形AB边上的高＝ 
．
【分析】根据题意画出图形，设AC与DE相交于点O，根据平行四边形的性质可得AE∥CD，△AOE∽△COD，相似比为1：2，根据AC＝3，DE＝4，可得OA＝1，OE＝
，根据勾股定理逆定理可得△AOE是直角三角形，从而可得△ADC的面积，由平行四边形ABCD的面积等于△ADC的面积的2倍，可得平行四边形的面积，进而可得平行四边形AB边上的高．
【解答】解：如图，设AC与DE相交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CD，
∴△AOE∽△COD，
∵E是AB的中点，
∴相似比为1：2，
∴
＝
＝
，
∵AC＝3，DE＝4，
∴OA＝1，OE＝
，
∵AE＝
AB＝
＝
，
∴OA2+OE2＝AE2，
∴∠AOE＝90°，
∴AC⊥DE，
∵OD＝4﹣
＝
，
∴S△ADC＝
AC•OD＝4，
∴S平行四边形ABCD＝2S△ADC＝8，
∵AB＝
，
∴平行四边形AB边上的高＝8÷
＝
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
6．（蔡甸区校级月考）在▱ABCD中，AB＝4，AD＝5，则AC2+BD2的值为 82 ．
【分析】分别过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，设BE＝CF＝x，AE＝DF＝y，多次运用勾股定理即可求得AC2+BD2的值．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，
设BE＝CF＝x，AE＝DF＝y，
则
AC2+BD2
＝（5﹣x）2+y2+（5+x）2+y2
＝50+2x2+2y2
＝50+2×42
＝82．
故答案为：82．
【点评】考查了平行四边形的性质，关键是作出辅助线构造直角三角形，根据勾股定理求解即可．
7．（鹿城区期中）如图在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，四条内角平分线围成四边形EFGH面积为
，则平行四边形ABCD面积为 12
．
【分析】由于平行四边形的邻角互补，那么每两条相邻的内角平分线都互相垂直，则围成四边形就有4个直角，因此这个四边形一定是矩形．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DAB+∠ADC＝180°；
∵AF、DF平分∠DAB、∠ADC，
∴∠FAD+∠FDA＝90°，即∠APD＝90°；
同理可证得：∠BHC＝∠HEF＝∠HGF＝90°；
∴四边形EFGH是矩形；
如图，延长AF交BC于点Q，连接EG，
∵AF平分∠DAB，
∴∠BAQ＝∠DAQ，
∵AD∥BC，
∴∠DAQ＝∠AQB，
∴∠BAQ＝∠AQB，
∴BQ＝AB＝4，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABQ是等边三角形，
∴AQ＝AB＝4，
∵BE⊥AQ，
∴AE＝EQ＝
AQ＝2，
同理可得CG＝2，
∵CG∥EQ，CG＝EQ，
∴四边形EQGC是平行四边形，
∴EG∥CQ，
∴∠GEQ＝∠BQE＝60°，
∵∠HEF＝90°，
∴∠HEG＝30°，
∴EG＝2HG，EH＝
HG，
∴S矩形EFGH＝EH•HG＝
HG2＝
，
∴HG＝1，
∴HC＝HG+CG＝1+2＝3，
在Rt△BHC中，∠HBC＝30°，HC＝3，
∴BC＝2CH＝6，
作AP⊥BC于点P，
在Rt△ABP中，∠BAP＝30°，AB＝4，
∴BP＝2，
∴AP＝2
，
∴平行四边形ABCD面积为：BC•AP＝6×2
＝12
．
故答案为：12
．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质以及矩形的判定：四个角都是直角的四边形是矩形，牢记矩形的判定定理是解答本题的关键．
三．解答题（共7小题）
8．（鹿城区校级三模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
（1）求证：EO＝FO；
（2）若AE＝EF＝4，求AC的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，求出∠AEB＝∠CFD＝90°，根据AAS推出△ABE≌△CDF，得出对应边相等即可．
（2）根据勾股定理得出OA，进而解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∵OB＝OD，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
∴OE＝OF．
（2）解：∵AE＝EF＝4，OE＝OF，
∴OE＝2，
在Rt△AEO中，OA＝
，
∴AC＝2OA＝4
．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用；证明△ABE≌△CDF是解决问题的关键．
9．（景德镇期中）如图，由4个全等的正方形组成的L形图案，请按下列要求画图：
（1）在图案①中添加1个正方形，使它成轴对称图形（不能是中心对称图形）；
（2）在图案②中添加1个正方形，使它成中心对称图形（不能是轴对称图形）；
（3）在图案③中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，使它既成中心对称图形，又成轴对称图形．
【分析】（1）根据轴对称图形的性质，先找出对称轴，再思考如何画图；
（2）如一，也是先找一个中心，再根据中心对称的性质，思考如何画图；
（3）根据中心对称和轴对称的性质画一个图形．
注意此题有多种画法，答案不唯一．
【解答】解：如图所示．
（1）如图（1），图（2），图（3）所示；
（2）如图（4）所示；
（3）如图（5），图（6）所示．
【点评】本题综合考查了中心对称图形及轴对称图形的性质，及其作图的方法，学生做这些题时找对称轴及对称点是关键．
10．（滨江区校级三模）如图所示，在▱ABCD中，点E，点F分别是AD，BC的中点，连结BE，DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若BE平分∠ABC，AB＝3，求平行四边形ABCD的周长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB＝CD，∠A＝∠C，AD＝BC、ED＝BF，再根据等式的性质可得AE＝CF，可利用SAS证明△ABE≌△CDF；
（2）由角平分线的性质和平行线的性质可证AB＝AE＝3，即可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点E，点F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝DE＝
AD，BF＝CF＝
BC，
∴DE＝BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴ED＝BF，
∴AE＝CF．
又在▱ABCD中，AB＝CD．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
又∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∴AD＝2AE＝6，
∴平行四边形ABCD的周长＝2×（3+6）＝18．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
11．（长兴县模拟）如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若∠B＝65°，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．
【分析】（1）先证明∠B＝∠EAD，然后利用SAS可进行全等的证明；
（2）先根据等腰三角形的性质可得∠BAE＝50°，求出∠BAC的度数，即可得∠AED的度数．
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD，
∴∠EAD＝∠AEB，
又∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠B＝∠EAD，
在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD（SAS）．
（2）解：∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠BAE＝50°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝50°+25°＝75°，
∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED＝∠BAC＝75°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题注意掌握平行四边形的对边平行且相等的性质．
12．（青岛）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）只要证明AB＝CD，AF＝CD即可解决问题；
（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFC＝∠DCG，
∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF＝CD，
∴AB＝AF．
（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．
理由：∵AF＝CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴∠FAG＝60°，
∵AB＝AG＝AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG＝GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG＝CG，∵AG＝GD，
∴AD＝CF，
∴四边形ACDF是矩形．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
13．（番禺区月考）如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝90°，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2﹣7x+12＝0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿△ABC边A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．
（1）求AB与BC的长；
（2）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解方程x2﹣7x+12＝0，即可求出AB与BC的长；
（2）存在点P，使△CDP是等腰三角形，利用已知条件易证四边形ABCD是矩形，利用勾股定理可求出AC的长，再分别讨论P在不同位置下时△CDP为等腰三角形，求出t的值即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）＝0，
∴x＝3或4，
∵边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，
∴AB＝3，BC＝4；
（2）存在点P，使△CDP是等腰三角形，
理由如下：
∵在平行四边形ABCD中，∠D＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
当P1D＝P1C即P为对角线AC中点时，△CDP是等腰三角形，
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝
＝5，
∴CP1＝
AC＝2.5，
∴t＝
＝9.5（秒）；
当CD＝P2C时，△CDP是等腰三角形，
∴t＝
＝10（秒），
P在AB中点，PC＝PD，此时t＝1.5；
CP＝CD，P在BC线段上，此时t＝4；
DP＝DC，P在斜边AC上，此时t＝10.6．
综上可知当t＝9.5秒或10秒或1.5秒或4秒或10.6秒时△CDP是等腰三角形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质性质以及勾股定理的运用，解题的关键是利用分类讨论的思想解答题目，做到不重不漏．
14．（吴兴区校级期末）如图，在▱ABCD中，BD为对角线，EF垂直平分BD分别交AD、BC的于点E、F，交BD于点O．
（1）试说明：BF＝DE；
（2）试说明：△ABE≌△CDF；
（3）如果在▱ABCD中，AB＝5，AD＝10，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿△BAE和△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，当四边形BPDQ是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．（画出示意图）
【分析】（1）根据ASA证△EOD≌△FOB即可；
（2）推出DE＝BF，根据平行四边形性质求出∠A＝∠C，推出AE＝CF，根据SAS证△ABE≌△CDF即可；
（3）分为三种情况，求出△DFC的周长，每种情况m+n都等于△DFC的周长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ODE＝∠OBF，
∵EF垂直平分BD，
∴OB＝OD，
在△OBF和△ODE中，
，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴BF＝DE；
（2）∵四边新ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C，AD＝BC，
∵BF＝DE，
∴AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
（3）解：∵EF垂直平分BD，
∴BF＝DF，
∵△ABE≌△CDF，
∴DF＝BE，AE＝CF，
∴△DFC的周长是DF+CF+CD＝BF+CF+CD＝BC+CD＝15，
△ABE的周长也是15，
①当P在AB上，Q在CD上，
∵AB∥CD，
∴∠BPO＝∠DQO，
∵∠POB＝∠DOQ，OB＝OD，
∴△BPO≌△DQO，
∴BP＝DQ，
∴m+n
＝BP+DF+CF+CQ
＝DF+CF+CQ+DQ
＝DF+CF+CD
＝15
②当P在AE上，Q在CF上，
∵AD∥BC，
∴∠PEO＝∠QFO，
∵△EOD≌△FOB，
∴OE＝OF，
∵∠PEO＝∠QFO，∠EOP＝∠FOQ，
∴△PEO≌△QFO，
∴PE＝QF，
∵AE＝CF，
∴CQ＝AP，
m+n
＝AB+AP+DF+PQ
＝CD+CQ+DF+FQ
＝DF+CF+CD
＝15；
③当P在BE上，Q在DF上，
∵AD＝BC，AE＝CF，
∴DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE＝DF，BE∥DF，
∴∠PEO＝∠FQO，
∵∠EOP＝∠FOQ，OE＝OF，
∴△PEO≌△FQO，
∴PE＝FQ，
∴m+n
＝AB+AE+PE+DQ
＝CD+CF+QF+DQ
＝DF+CF+CD
＝15．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定的综合运用．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．
日期：2022/3/7 12:06:51；用户：15921142042；邮箱：15921142042；学号：32447539