第5章 特殊平行四边形（单元提升卷）

（满分100分，完卷时间90分钟）

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．

2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．

一、仔细选一选（本题共10题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出正确的选项。注意可以用多种不同的方法来选取正确的答案）

1．如图，四边形ABCD、AEFG均为正方形，其中E在BC上，且B、E两点不重合，并连接BG．根据图中标示的角判断下列∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系何者正确？（　　）

A．∠1＜∠2 B．∠1＞∠2 C．∠3＜∠4 D．∠3＞∠4

【分析】根据正方形的每一个角都是直角求出∠BAD＝∠EAG＝90°，然后根据同角的余角相等可得∠1＝∠2，根据直角三角形斜边大于直角边可得AE＞AB，从而得到AG＞AB，再根据三角形中长边所对的角大于短边所对的角求出∠3＞∠4．

【解答】解：∵四边形ABCD、AEFG均为正方形，

∴∠BAD＝∠EAG＝90°，

∵∠BAD＝∠1+∠DAE＝90°，

∠EAG＝∠2+∠DAE＝90°，

∴∠1＝∠2，

在Rt△ABE中，AE＞AB，

∵四边形AEFG是正方形，

∴AE＝AG，

∴AG＞AB，

∴∠3＞∠4．

故选：D．

【点评】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，要注意在同一个三角形中，较长的边所对的角大于较短的边所对的角的应用．

2．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（　　）

A． B． C． D．

【分析】利用勾股定理求出CM的长，即ME的长，有DE＝DG，可以求出DE，进而得到DG的长．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，M为边DA的中点，

∴DM＝ AD＝ DC＝1，

∴CM＝ ＝ ，

∴ME＝MC＝ ，

∵ED＝EM﹣DM＝ ﹣1，

∵四边形EDGF是正方形，

∴DG＝DE＝ ﹣1．

故选：D．

【点评】本题考查了正方形的性质和勾股定理的运用，属于基础题目．

3．如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，点A、C到直线l的距离分别为3和4，则AC的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

【分析】先证明△ABE≌△BCF，得到BE＝CF＝4，在Rt△ABE中利用勾股定理可得AB＝5，由此可得AC长．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AC，∠ABC＝90°．

∵∠ABE+∠EAB＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，

∴∠EAB＝∠CBF．

又∠AEB＝∠CFB＝90°，

∴△ABE≌BCF（AAS）．

∴BE＝CF＝4．

在Rt△ABE中，利用勾股定理可得AB＝ ＝5．

则AC＝ AB＝5 ．

故选：A．

【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，解题的关键是通过全等转化线段使其划归于一直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．

4．如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD＝BE．若AC＝18，GF＝6，则F点到AC的距离为何？（　　）

A．2 B．3 C．12﹣4 D．6 ﹣6

【分析】过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，根据等边三角形的性质求出∠A＝∠ABC＝60°，然后判定△BDE是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠BDE＝60°，然后根据同位角相等，两直线平行求出AC∥DE，再根据正方形的对边平行得到DE∥GF，从而求出AC∥DE∥GF，再根据等边三角形的边的与高的关系表示出KH，然后根据平行线间的距离相等即可得解．

【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠ABC＝60°，

∵BD＝BE，

∴△BDE是等边三角形，

∴∠BDE＝60°，

∴∠A＝∠BDE，

∴AC∥DE，

∵四边形DEFG是正方形，GF＝6，

∴DE∥GF，

∴AC∥DE∥GF，

∴KH＝18× ﹣6× ﹣6＝9 ﹣3 ﹣6＝6 ﹣6，

∴F点到AC的距离为6 ﹣6．

故选：D．

【点评】本题考查了正方形的对边平行，四条边都相等的性质，等边三角形的判定与性质，等边三角形的高线等于边长的 倍，以及平行线间的距离相等的性质，综合题，但难度不大，熟记各图形的性质是解题的关键．

5．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S₁，S₂，则S₁+S₂的值为（　　）

A．16 B．17 C．18 D．19

【分析】由图可得，S₁的边长为3，由AC＝ BC，BC＝CE＝ CD，可得AC＝2CD，CD＝2，EC＝ ；然后，分别算出S₁、S₂的面积，即可解答．

【解答】解：如图，设正方形S₂的边长为x，

根据等腰直角三角形的性质知，AC＝ x，x＝ CD，

∴AC＝2CD，CD＝ ＝2，

∴EC²＝2²+2²，即EC＝ ；

∴S₂的面积为EC²＝ ＝8；

∵S₁的边长为3，S₁的面积为3×3＝9，

∴S₁+S₂＝8+9＝17．

故选：B．

【点评】本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力．

6．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG＝FC；③S_△FGC＝ ．其中正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【分析】先求出DE、CE的长，再根据翻折的性质可得AD＝AF，EF＝DE，∠AFE＝∠D＝90°，再利用“HL”证明Rt△ABG和Rt△AFG全等，根据全等三角形对应边相等可得BG＝FG，再设BG＝FG＝x，然后表示出EG、CG，在Rt△CEG中，利用勾股定理列出方程求出x＝ ，从而可以判断①正确；根据∠AGB的正切值判断∠AGB≠60°，从而求出∠CGF≠60°，△CGF不是等边三角形，FG≠FC，判断②错误；先求出△CGE的面积，再求出EF：FG，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边长的比求解即可得到△FGC的面积，判断③正确．

【解答】解：∵正方形ABCD中，AB＝3，CD＝3DE，

∴DE＝ ×3＝1，CE＝3﹣1＝2，

∵△ADE沿AE对折至△AFE，

∴AD＝AF，EF＝DE＝1，∠AFE＝∠D＝90°，

∴AB＝AF＝AD，

在Rt△ABG和Rt△AFG中， ，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），

∴BG＝FG，

设BG＝FG＝x，则EG＝EF+FG＝1+x，CG＝3﹣x，

在Rt△CEG中，EG²＝CG²+CE²，

即（1+x）²＝（3﹣x）²+2²，

解得，x＝ ，

∴CG＝3﹣ ＝ ，

∴BG＝CG＝ ，

即点G是BC中点，故①正确；

∵tan∠AGB＝ ＝ ＝2，

∴∠AGB≠60°，

∴∠CGF≠180°﹣60°×2≠60°，

又∵BG＝CG＝FG，

∴△CGF不是等边三角形，

∴FG≠FC，故②错误；

△CGE的面积＝ CG•CE＝ × ×2＝ ，

∵EF：FG＝1： ＝2：3，

∴S_△FGC＝ × ＝ ，故③正确；

综上所述，正确的结论有①③．

故选：B．

【点评】本题考查了正方形的性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据各边的熟量关系利用勾股定理列式求出BG＝FG的长度是解题的关键，也是本题的难点．

7．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（　　）

A．1 B． C．4﹣2 D．3 ﹣4

【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD＝∠ADB＝45°，再求出∠DAE的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE＝∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD＝DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的 倍计算即可得解．

【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，

∵∠BAE＝22.5°，

∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，

在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，

∴∠DAE＝∠AED，

∴AD＝DE＝4，

∵正方形的边长为4，

∴BD＝4 ，

∴BE＝BD﹣DE＝4 ﹣4，

∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，

∴△BEF是等腰直角三角形，

∴EF＝ BE＝ ×（4 ﹣4）＝4﹣2 ．

故选：C．

【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE＝AD是解题的关键，也是本题的难点．

8．如图，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，若矩形的周长为36，则AB的长为（　　）

A．6 B．9 C．12 D．4

【分析】首先证明△ABO≌△DCO，推出OA＝OD；由∠AOD＝90°，推出∠OAD＝∠ODA＝45°；由∠BAD＝∠CDA＝90°，推出∠BAO＝∠CDO＝45°，则∠BAO＝∠AOB，∠CDO＝∠COD，从而推出AB＝BO＝OC＝CD，设AB＝CD＝x，则BC＝AD＝2x，由题意x+x+2x+2x＝36，解方程即可解决问题．

【解答】解∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，

在△ABD和△DCO中，

，

∴△ABO≌△DCO（SAS），

∴OA＝OD，

∵∠AOD＝90°，

∴∠OAD＝∠ODA＝45°，

∵∠BAD＝∠CDA＝90°，

∴∠BAO＝∠CDO＝45°，

∴∠BAO＝∠AOB，∠CDO＝∠COD，

∴AB＝BO＝OC＝CD，

设AB＝CD＝x，则BC＝AD＝2x，

由题意x+x+2x+2x＝36，

∴x＝6，

∴AB＝6．

故选：A．

【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题以及构建方程解决问题．

9．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　）

A．20cm B．30cm C．40cm D．20 cm

【分析】如图1，图2中，连接AC．在图1中，证△ABC是等边三角形，得出AB＝BC＝AC＝20cm．在图2中，由勾股定理求出AC即可．

【解答】解：如图1，图2中，连接AC．

图1中，∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，

∵∠B＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC＝20cm，

在图2中，∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠B＝90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AC＝ AB＝20 cm；

故选：D．

【点评】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型．

10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DEAF是矩形，可得EF＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．

【解答】解：连接AD、EF，

∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，

∴BC＝ ＝15，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°，

∴四边形DEAF是矩形，

∴EF＝AD，

∴当AD⊥BC时，AD的值最小，

此时，△ABC的面积＝ AB×AC＝ BC×AD，

∴AD＝ ＝ ＝ ，

∴EF的最小值为 ，

∵点G为四边形DEAF对角线交点，

∴GF＝ EF＝ ；

故选：B．

【点评】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

二、认真填一填（本题有8个小题，每小题2分，共16分。注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案）

11．如图，正方形ABCD的边长为2 ，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tanE＝　 　．

【分析】延长CA使AF＝AE，连接BF，过B点作BG⊥AC，垂足为G，根据题干条件证明△BAF≌△BAE，得出∠E＝∠F，然后在Rt△BGF中，求出tanF的值，进而求出tanE的值．

【解答】解：延长CA使AF＝AE，连接BF，过B点作BG⊥AC，垂足为G，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠CAB＝45°，

∴∠BAF＝135°，

∵AE⊥AC，

∴∠BAE＝135°，

∴∠BAF＝∠BAE，

∵在△BAF和△BAE中，

，

∴△BAF≌△BAE（SAS），

∴∠E＝∠F，

∵四边形ABCD是正方形，BG⊥AC，

∴G是AC的中点，

∴BG＝AG＝2，

在Rt△BGF中，

tanF＝ ＝ ，

即tanE＝ ．

故答案为： ．

【点评】本题主要考查了正方形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，此题能正确作出辅助线也是解答关键所在，此题是一道不错的中考试题．

12．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：

①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④S_{正方形ABCD}＝2+ ．

其中正确的序号是　①②④　（把你认为正确的都填上）．

【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，

∵△AEF是等边三角形，

∴AE＝AF，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴BE＝DF，

∵BC＝DC，

∴BC﹣BE＝CD﹣DF，

∴CE＝CF，

∴①说法正确；

∵CE＝CF，

∴△ECF是等腰直角三角形，

∴∠CEF＝45°，

∵∠AEF＝60°，

∴∠AEB＝75°，

∴②说法正确；

如图，连接AC，交EF于G点，

∴AC⊥EF，且AC平分EF，

∵∠CAF≠∠DAF，

∴DF≠FG，

∴BE+DF≠EF，

∴③说法错误；

∵EF＝2，

∴CE＝CF＝ ，

设正方形的边长为a，

在Rt△ADF中，

AD²+DF²＝AF²，即a²+（a﹣ ）²＝4，

解得a＝ ，

则a²＝2+ ，

S_{正方形ABCD}＝2+ ，

④说法正确，

故答案为：①②④．

【点评】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．

13．用边长为1的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为原正方形面积的　 　．

【分析】读图分析阴影部分与整体的位置关系，易得阴影部分的面积即为原正方形的面积的一半．

【解答】解：读图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半，则阴影部分的面积为1×1÷2＝ ；是原正方形的面积的一半．

故答案为： ．

【点评】本题主要考查正方形对角线相互垂直平分相等的性质，解题的关键是得出阴影部分与整体的位置关系．

14．如图，已知线段AB＝10，AC＝BD＝2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O₁、O₂，当点P从点C运动到点D时，线段O₁O₂中点G的运动路径的长是　3 　．

【分析】根据正方形的性质以及勾股定理即可得出正方形对角线的长，进而得出线段O₁O₂中点G的运动路径的长．

【解答】解：如图所示：因为两个正方形的对角线总长度和为定值，每次平移长度都一样，而G点是其中点，所以决定了G点的运动轨迹为直线，

利用正方形的性质即线段O₁O₂中点G的运动路径的长就是O₂O″的长，

∵线段AB＝10，AC＝BD＝2，当P与C重合时，

以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，

∴AP＝2，BP＝8，

则O₁P＝ ，O₂P＝4 ，

∴O₂P＝O₂B＝4 ，

当P′与D重合，则P′B＝2，则AP′＝8，

∴O′P′＝4 ，O″P′＝ ，

∴H′O″＝BO″＝ ，

∴O₂O″＝4 ﹣ ＝3 ．

故答案为：3 ．

【点评】此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出G点移动的路线是解题关键．

15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作CD平行线，交AE的延长线于点F，在延长线上截得FG＝CD，连接CG、DF．若BG＝11，AF＝8，则四边形CGFD的面积等于　20　．

【分析】首先可判断四边形CGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD＝FD，则可判断四边形CGFD是菱形，CD∥BF，D为AB中点，E为AF的中点，得EF的长，设GF＝x，则BF＝11﹣x，AB＝2x，在Rt△ABF中利用勾股定理可求出x的值．

【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，

∴AD＝BD＝CD，

∵BG∥CD，

∴AF⊥BG，

∴AD＝BD＝DF，

∴DF＝CD，

∵FG＝CD，

∴四边形CGFD为菱形，

∵CD∥BF，D为AB中点，

∴E为AF的中点，

∴EF＝ AF＝4，

设GF＝x，则BF＝11﹣x，AB＝2x，

∵在Rt△ABF中，∠BFA＝90°，

∴AF²+BF²＝AB²，即（11﹣x）²+8²＝（2x）²，

解得：x＝5或x＝﹣ （舍去），

∴菱形CGFD的面积为：5×4＝20，

故答案为：20．

【点评】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形．

16．如图，有两个正方形夹在AB与CD中，且AB∥CD，若∠FEC＝10°，两个正方形邻边夹角为150°，则∠1的度数为　70　度（正方形的每个内角为90°）．

【分析】如图，延长KH交EF的延长线于M，作MT⊥AB于T，交CD于H．利用四边形内角和36°，求出∠HMF，再根据∠KME＝∠MKT+∠MEH，求出∠MKT即可解决问题；

【解答】解：如图，延长KH交EF的延长线于M，作MT⊥AB于T，交CD于H．

∵∠GHM＝∠GFM＝90°，

∴∠HMF＝180°﹣150°＝30°，

∵∠HMF＝∠MKT+∠MEH，∠MEH＝10°，

∴∠MKT＝20°，

∴∠1＝90°﹣20°＝70°，

故答案为70．

【点评】本题利用正方形的四个角都是直角，直角的邻补角也是直角，四边形的内角和定理和两直线平行，内错角相等的性质，延长正方形的边构造四边形是解题的关键．

17．如图，平面内直线l₁∥l₂∥l₃∥l₄，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为　5　．

【分析】过C点作直线EF与平行线垂直，与l₁交于点E，与l₄交于点F．易证△CDE≌△CBF，得CF＝1，BF＝2．根据勾股定理可求BC²得正方形的面积．

【解答】解：过C点作EF⊥l₂，交l₁于E点，交l₄于F点．

∵l₁∥l₂∥l₃∥l₄，EF⊥l₂，

∴EF⊥l₁，EF⊥l₄，

即∠CED＝∠BFC＝90°．

∵ABCD为正方形，

∴∠BCD＝90°．

∴∠DCE+∠BCF＝90°．

又∵∠DCE+∠CDE＝90°，

∴∠CDE＝∠BCF．

在△CDE和△BCF中 ，

∴△CDE≌△BCF（AAS），

∴BF＝CE＝2．

∵CF＝1，

∴BC²＝1²+2²＝5，

即正方形ABCD的面积为5．

故答案为：5．

【点评】此题主要考查了正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．

18．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是　 ﹣1　．

【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝ AB＝1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．

【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，

在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠1＝∠2，

在△ADG和△CDG中，

，

∴△ADG≌△CDG（SAS），

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3，

∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，

∴∠1+∠BAH＝90°，

∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，

取AB的中点O，连接OH、OD，

则OH＝AO＝ AB＝1，

在Rt△AOD中，OD＝ ＝ ＝ ，

根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，

∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，

最小值＝OD﹣OH＝ ﹣1．

（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆 上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）

故答案为： ﹣1．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点．

三、全面答一答（本题有6个小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。如果觉得有的题目有点难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以）

19．已知：如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，点C落在点E的位置，AD与BE相交于点F．

（1）求证：△BDF是等腰三角形；

（2）若AB＝8，AD＝10，求BF的长．

【分析】（1）证明∠EBD＝∠ADB，得出BF＝DF，则结论得证；

（2）设BF＝x，则DF＝x，AF＝10﹣x，在Rt△ABF中，根据勾股定理有8²+（10﹣x）²＝x²，解方程即可得解．

【解答】解：（1）由折叠可知∠EBD＝∠CBD，

∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∴∠EBD＝∠ADB，

∴BF＝DF，

∴△BDF是等腰三角形．

（2）设BF＝x，则DF＝x，AF＝10﹣x，

在Rt△ABF中，根据勾股定理有8²+（10﹣x）²＝x²．

解得： ，

∴BF的长为 ．

【点评】本题考查的是翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．

20．如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM＝EF．

【分析】过M点作MQ⊥AD，垂足为Q，作MP垂足AB，垂足为P，根据题干条件证明出AP＝MF，PM＝ME，进而证明△APM≌△FME，即可证明出AM＝EF．

【解答】解：（1）∵ME∥CD，MF∥BC，

∴四边形CEMF是平行四边形，

∵∠C＝90°，

∴四边形CEMF是矩形，

∴CM＝EF，

连接MC，

在△ABM和△CBM中，

，

∴△ABM≌△CBM（SAS），

∴AM＝CM＝EF．

【点评】本题主要考查正方形的性质等知识点，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，此题正确作出辅助线很易解答．

21．如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．

（1）求证：△ADE≌△ABF．

（2）求△AEF的面积．

【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，得到AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，DC＝CB，由E、F分别为DC、BC中点，得出DE＝BF，进而证明出两三角形全等；

（2）首先求出DE和CE的长度，再根据S_△AEF＝S_{正方形ABCD}﹣S_△ADE﹣S_△ABF﹣S_△CEF得出结果．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝AD，∠D＝∠B＝90°，DC＝CB，

∵E、F为DC、BC中点，

∴DE＝ DC，BF＝ BC，

∴DE＝BF，

在△ADE和△ABF中，

，

∴△ADE≌△ABF（SAS）；

（2）解：由题知△ABF、△ADE、△CEF均为直角三角形，

且AB＝AD＝4，DE＝BF＝ ×4＝2，CE＝CF＝ ×4＝2，

∴S_△AEF＝S_{正方形ABCD}﹣S_△ADE﹣S_△ABF﹣S_△CEF

＝4×4﹣ ×4×2﹣ ×4×2﹣ ×2×2

＝6．

【点评】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的证明，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定定理，此题难度不大．

22．如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD＝4．

（1）试说明AE²+CF²的值是一个常数；

（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．

【分析】（1）由已知∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，结合∠ABE＝∠BCF，证明△ABE≌△BCF，可得AE＝BF，于是AE²+CF²＝BF²+CF²＝BC²＝16为常数；

（2）设AP＝x，则PD＝4﹣x，由已知∠DPM＝∠PAE＝∠ABP，△PDM∽△BAP，列出关于x的一元二次函数，求出DM的最大值．

【解答】解：（1）由已知∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，

又∵∠ABE+∠FBC＝∠BCF+∠FBC，

∴∠ABE＝∠BCF，

∵在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴AE＝BF，

∴AE²+CF²＝BF²+CF²＝BC²＝16为常数；

（2）设AP＝x，则PD＝4﹣x，

由已知∠DPM＝∠PAE＝∠ABP，

∴△PDM∽△BAP，

∴ ＝ ，

即 ＝ ，

∴DM＝ ＝x﹣ x²，

当x＝2时，即点P是AD的中点时，DM有最大值为1．

【点评】本题主要考查正方形的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理以及三角形相似等知识，此题有一定的难度，是一道不错的中考试题．

23．（1）如图（1）点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE＝CP，连接BP，DE．求证：△BCP≌△DCE；

（2）在（1）条件下，直线EP交AD于F，连接BF，FC．点G是FC与BP的交点．

①若CD＝2PC时，求证：BP⊥CF；

②若CD＝n•PC（n是大于1的实数）时，记△BPF的面积为S₁，△DPE的面积为S₂．求证：S₁＝（n+1）S₂．

【分析】（1）利用SAS，证明△BCP≌△DCE；

（2）①在（1）的基础上，再证明△BCP≌△CDF，进而得到∠FCD+∠BPC＝90°，从而证明BP⊥CF；

②设CP＝CE＝1，则BC＝CD＝n，DP＝CD﹣CP＝n﹣1，分别求出S₁与S₂的值，得S₁＝ （n²﹣1），S₂＝ （n﹣1），所以S₁＝（n+1）S₂结论成立．

【解答】证明：（1）在△BCP与△DCE中，

，

∴△BCP≌△DCE（SAS）．

（2）①∵CP＝CE，∠PCE＝90°，

∴∠CPE＝45°，

∴∠FPD＝∠CPE＝45°，

∴∠PFD＝45°，

∴FD＝DP．

∵CD＝2PC，

∴DP＝CP，

∴FD＝CP．

在△BCP与△CDF中，

，

∴△BCP≌△CDF（SAS）．

∴∠FCD＝∠CBP，

∵∠CBP+∠BPC＝90°，

∴∠FCD+∠BPC＝90°，

∴∠PGC＝90°，即BP⊥CF．

②证法一：设CP＝CE＝1，则BC＝CD＝n，DP＝CD﹣CP＝n﹣1．

易知△FDP为等腰直角三角形，

∴FD＝DP＝n﹣1．

S₁＝S_梯形BCDF﹣S_△BCP﹣S_△FDP

＝ （BC+FD）•CD﹣ BC•CP﹣ FD•DP

＝ （n+n﹣1）•n﹣ n×1﹣ （n﹣1）²

＝ （n²﹣1）；

S₂＝ DP•CE＝ （n﹣1）×1＝ （n﹣1）．

∵n²﹣1＝（n+1）（n﹣1），

∴S₁＝（n+1）S₂．

证法二：

∵AD∥BE，

∴△FDP∽△ECP，

∴ ＝ ，

∴S₁＝ S_△BEF．

如下图所示，连接BD．

∵BC：CE＝CD：CP＝n，

∴S_△DCE＝ S_△BED，

∵DP：CP＝n﹣1，

∴S₂＝ S_△DCE，

∴S₂＝ S_△BED．

∵AD∥BE，∴S_△BEF＝S_△BED，

∴S₁＝（n+1）S₂．

【点评】本题是几何综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、图形的面积等知识点，试题的难度不大．

24．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．

（1）求证：AF＝BE；

（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．

【分析】（1）根据正方形的性质可得AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，再根据同角的余角相等求出∠ABE＝∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的证明即可；

（2）过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，然后与（1）相同．

【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，

∴∠DAF+∠BAF＝90°，

∵AF⊥BE，

∴∠ABE+∠BAF＝90°，

∴∠ABE＝∠DAF，

∵在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（ASA），

∴AF＝BE；

（2）解：MP与NQ相等．

理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴四边形AMPF与四边形BNQE是平行四边形，

∴AF＝PM，BE＝NQ，

∵在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，

∴∠DAF+∠BAF＝90°，

∵AF⊥BE，

∴∠ABE+∠BAF＝90°，

∴∠ABE＝∠DAF，

∵在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（ASA），

∴AF＝BE；

∴MP＝NQ．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，利用三角形全等证明相等的边是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．

25．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB．

（1）求证：△BCP≌△DCP；

（2）求证：∠DPE＝∠ABC；

（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC＝58°，则∠DPE＝　58　度．

【分析】（1）根据正方形的四条边都相等可得BC＝DC，对角线平分一组对角可得∠BCP＝∠DCP，然后利用“边角边”证明即可；

（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBP＝∠CDP，根据等边对等角可得∠CBP＝∠E，然后求出∠DPE＝∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE＝∠ABC，从而得证；

（3）根据（2）的结论解答．

【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°，

∵在△BCP和△DCP中，

，

∴△BCP≌△DCP（SAS）；

（2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP，

∴∠CBP＝∠CDP，

∵PE＝PB，

∴∠CBP＝∠E，

∵∠1＝∠2（对顶角相等），

∴180°﹣∠1﹣∠CDP＝180°﹣∠2﹣∠E，

即∠DPE＝∠DCE，

∵AB∥CD，

∴∠DCE＝∠ABC，

∴∠DPE＝∠ABC；

（3）解：与（2）同理可得：∠DPE＝∠ABC，

∵∠ABC＝58°，

∴∠DPE＝58°．

故答案为：58．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠BCP＝∠DCP是解题的关键．

26．正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．

（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，证明：AF+BF＝2OE

（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

【分析】（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF＝BG，BF＝GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA＝OB，∠AOB＝90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE＝∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG＝AE，OE＝BG，再根据AF﹣EF＝AE，整理即可得证；

（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF＝BG，BF＝GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA＝OB，∠AOB＝90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE＝∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG＝AE，OE＝BG，再根据AF﹣EF＝AE，整理即可得证；选择图3同理可证．

【解答】（1）证明：如图，过点B作BG⊥OE于G，

则四边形BGEF是矩形，

∴EF＝BG，BF＝GE，

在正方形ABCD中，OA＝OB，∠AOB＝90°，

∵BG⊥OE，

∴∠OBG+∠BOE＝90°，

又∵∠AOE+∠BOE＝90°，

∴∠AOE＝∠OBG，

∵在△AOE和△OBG中，

，

∴△AOE≌△OBG（AAS），

∴OG＝AE，OE＝BG，

∵AF﹣EF＝AE，EF＝BG＝OE，AE＝OG＝OE﹣GE＝OE﹣BF，

∴AF﹣OE＝OE﹣BF，

∴AF+BF＝2OE；

（2）图2结论：AF﹣BF＝2OE，

图3结论：BF﹣AF＝2OE．

对图2证明：过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，

则四边形BGEF是矩形，

∴EF＝BG，BF＝GE，

在正方形ABCD中，OA＝OB，∠AOB＝90°，

∵BG⊥OE，

∴∠OBG+∠BOE＝90°，

又∵∠AOE+∠BOE＝90°，

∴∠AOE＝∠OBG，

∵在△AOE和△OBG中，

，

∴△AOE≌△OBG（AAS），

∴OG＝AE，OE＝BG，

∵AF﹣EF＝AE，EF＝BG＝OE，AE＝OG＝OE+GE＝OE+BF，

∴AF﹣OE＝OE+BF，

∴AF﹣BF＝2OE；

若选图3，其证明方法同上．

作OG⊥BF于G，

则四边形EFGO是矩形，

∴EF＝GO，GF＝EO，∠GOE＝90°，

∴∠AOE+∠AOG＝90°．

在正方形ABCD中，OA＝OB，∠AOB＝90°，

∴∠AOG+∠BOG＝90°，

∴∠AOE＝∠BOG．

∵OG⊥BF，OE⊥AE，

∴∠AEO＝∠BGO＝90°．

∴△AOE≌△BOG（AAS），

∴OE＝OG，AE＝BG，

∵AE﹣EF＝AF，EF＝OG＝OE，AE＝BG＝AF+EF＝OE+AF，

∴BF﹣AF＝BG+GF﹣（AE﹣EF）＝AE+OE﹣AE+EF＝OE+OE＝2OE，

∴BF﹣AF＝2OE．

【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．