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第3讲 长方体和正方体热点难点一网打尽
知识点一：长方体和正方体的认识
1、两个面相
交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
2、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。
3、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。
4、长方体和正方体都有6个面、12条棱和8个顶点，只是正方体的棱长都相等。正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。
知识点二：长方体和正方体的表面积
1、长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。
2、长方体公式：棱长和＝（长＋宽＋高）×4 底面积（占地面积）＝长×宽
侧面积（左面、右面）＝宽×高 前（后）面积＝长×高
表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
没盖的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
3、正方体公式：棱长和＝棱长×12 棱长＝棱长和÷12
表面积＝棱长×棱长×6 （任意一个面积×6）
没盖的表面积＝棱长×棱长×5
知识点三：长方体和正方体的体积
1、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2、容器所能容纳物体的体积通常叫做它们的容积。
10、长方体的体积（容积）＝长×宽×高＝底面积×高
字母公式：v=abh v=sh
3、正方体的体积（容积）＝棱长×棱长×棱长＝底面积×棱长
4、
读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a×
a× a）。
5、计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米，立方分米和立方米，可以写成
，
，
。
6、计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。
7、高级单位化成低级单
位乘进率；低级单位化成高级单位除以进率。
8、、体积和容积单位之间的进率：
1立方米＝1000立方分米 1立方分米＝1000立方厘米
1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米
1立方分米＝1升 1立方厘米＝1毫升 1升＝1000毫升
字母表示：1
=1000
1
=1000
1L=1000ml 1L=1
1ml=1
9、长方体或正方体容积的计算方法，跟体积计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。
考点1：长方体和正方体的特征
例1．（2019秋•海安县期末）如图，有一个长5分米、宽和高都是3分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两道，长着捆一道，打结处共用2分米．一共要用绳子多长？
1．（2019春•临泽县校级月考）一个长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长为5厘米，宽为3厘米，高为4厘米，求正方体的棱长．
2．（2019春•西安期末）某建筑长60米，宽50米，高70米．“七一节“快到了，为增添节日气氛，要给外墙棱上挂彩灯（沿地面一圈不挂），张叔叔去商店买彩灯，每捆100米，他至少买几捆？
3．（2019春•兴宾区期中）花花过生日，小姨送给她一个蛋糕，蛋糕盒（如图）用丝带捆扎，打结处的丝带长30厘米，捆扎这个蛋糕盒至少需要多长的丝带？[来源:学+科+网]
考点2：长方体和正方体的表面积、体积的计算及应用
例2．（2019春•寻乌县期中）计算下面立体图形的表面积和体积．（单位：
1．（2019春•简阳市 期中）求下列图形的表面积和体积．
2．（2019春•株洲期中）计算下面两个图形的表面积和体积．
3．（2019春•龙岗区期中）如图是一个长方体盒子的展开图．
（1）求长方体盒子的表面积．
（2）求长方体盒子的体积．
例3．（2019春•罗平县校级期中）在一块长为
，宽为
的长方形铁皮的四个角上剪去边长为
的正方形，然后将它焊成无盖的盒子，这个盒子的表面积和容积各是多少？[来源:学+科+网Z+X+X+K]
1．（2019春•郸城县期末）一只长方体的玻璃缸，长
，宽
，高
，水深
，如果投入一块棱长为
的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
2．（2019•天津模拟）一个长方体容器装一些水，底面长3分米，宽2分米，高1.5分米，将一块土豆放入水中后，水面升高了0.2分米，这个土豆的体积是多少立方分米？
3．（2019春•简阳市
期中）把一个棱长是
的正方体铁块锻造成一个长
、宽是
的长方体铁皮，长方体铁皮厚多少
？
考点3：组合图形的表面积、体积的计算及应用
例4．一个零件的形状如图（单位：厘米），这个零件的体积是多少立方厘米？要给这个零件的表面涂上防锈漆涂漆部分的面积是多少平方厘米？
1．（2019春•兰溪市期中）求下面立体图形的表面积和体积（单位
2．（2019春•浦东新区校级期中）求下面组合体的体积和表面积．（单位：米）
3．计算下面图形的表面积和体积．
考点4：长方体、正方体的
切拼
例5．（2019•江西模拟）一个长方体木料，从上部和下部分别截去高为
和
的长方体，乘下的部分便成为一个正方体，表面积减少了
．原长方体的底面积是多少？
1．（2019•济源校级模拟）把一个横截面是正方形的长方体木料锯掉3分米后变成一个正方体，而且原木料的表面积一共减少了48平方分米，求原来长方体的表面积和体积各是多少？
2．（2019春•伊通县校级期末）从一个长方体上截下一个棱长
的立方体后，剩下的部分是一个长方体，它的表面积是
，剩下部分的长方体的体积是多少立方厘米？
3．两个完全相同的小长方体框架长
，宽
，高
．若将这两个小长方体框架焊接成一个大长方体框架，有如下三种情况，则大长方体框架的棱长总和比两个小长方体框架的棱长总和分别减少多少厘米？（先在图上标一标数据，再规范解答）
例6．（2019•郴州模拟）一个长方体的高如果增加
，就成为一个正方体，这时表面积就比原来增加了
．原来长方体的体积是多少？
1．（2019春•博白县校级期中）把3个棱长相等正方体拼成一个长方体后，表面积减少了100平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？
2．（2019秋•淮阴区校级月考）如图：一个正方体和一个长方体拼成一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增
加了60平方厘米．而原来长方体的长是宽的3倍，求新的长方体的表面积是多少平方厘米？
3．（2019春•邻水县校级月考）把2个一样大的正方体拼成一个长方体，长方体的棱长总和是
，长方体的表面积是多少？体积是多少？
考点5：体积的等积变形（求不规则物体的体积）
例7．在底面边长为60厘米的正方形的一个长方体的容器里，直立着一个长1米，底面为正方形，边长15厘米的四棱柱铁棍．这时容器里的水半米深．现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米，露出水面的四棱柱切棍浸湿部分长多少厘米？
1．某车间工人
王叔叔为了打造一种零件，把一个棱长为10厘米的正方体铁块锻造成了一个长方体铁块，这个长方体的长是8厘米，宽是5厘米，请问它的高是多少厘米？
2．给一个底面长和宽都是
的长方体鱼缸中倒入
水．再将一块观赏石浸没在水中，水无溢出．此时水深
．这块观赏石的体积有多大？（玻璃厚度忽略不计）
3．（2019•龙海市模拟）一个无水观赏鱼缸长、宽、高分别是
、
、
，在里面方有一块高为
、体积为4200立方厘米假石山，如果水管以每分钟8立方分米的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间才能将假石山完全淹没？
1．（2019秋•定州市期末）
一个热水瓶可装水3 一针筒药水有5
人一天大约要喝水2 一盒牛奶有235
2400毫升
毫升
2升
毫升
2．（2019春•榆树市校级期末）
0.8 
3．（2019春•淮南期末）张老师用铁丝做了一个长8厘米，宽和高都是5厘米的长方体框架，然后又用同样长的铁丝做了一个正方体框架，正方体的棱长是 厘米．
4．（2019春•云梦县期中）用
做成一个
，数字“4”的对面是数字“
”．
5．（2019春•蒙城县期末）一个正方体的表面积是
，它的棱长是
米．
6．（2019春•简阳市
期末）两个完全相同的长方体，长
，宽
，高
，拼成一个表面积最大的长方体后，表面积比原来减少了
7．（2019秋•江都区校级期末）一块长方体钢板，长2.8米，宽1.5米，厚2厘米．这块钢板的体积是 立方米．
8．（2019春•越秀区期末）把3个棱长是
的正方体拼成一个长方体．拼成的长方体的体积是 24 
，它的表面积比3个正方体的表面积之和少了 
．
9．（2019春•惠州期中）求下列图形的表面积和体积．
（1）
（2）
10．（2019春•武城县期末）求如图图形的表面积和体积．
在棱长
的正方体的上面挖去一个棱长
的正方体，求挖去以后图形的表面积和体积．
11．（2019春•攀枝花校级期中）计算下面图形的表面积和体积（单位：
12．（2019秋•盐城月考）如图，有一个长6分米、宽4分米、高是3分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两道，长着捆一道，打结处共用2分米．一共要用绳子多长？
13．（2019春•黄冈期末）小卖部要做一个长280厘米，宽50厘米，高80厘米的玻璃柜台各边都安上角铁，这个柜台需要多少米角铁？
14．（2019春•法库县月考）一个长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，那么正方体的棱长是多少？
15．（2019春•长春期中）一个礼堂长20米，宽15米，高8米，要粉刷礼堂的顶棚和四周墙壁，除去门窗面积120平方米，平均每平方米用涂料0.5千克，一共需涂料多少千克？
16．（2019春•东莞市校级期末）一块长方体铁皮，长40厘米，宽30厘米，如图那样从四个角切掉长为5厘米的正方形，然后做成长方体盒子，这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？
17．（2019春•法库县校级期末）新建幸福小区要修建一个长50米，宽20米，深3米的游泳池，要在游泳池的四壁和底面贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？如果在池中放入1.5米深的水，需要多少立方米的水？
18．（2019春•绍兴期末）如图是一个玻璃鱼缸，长、宽、高分别是12分米、8分米、10分米．
（1）这个玻璃缸占地面积是多少平方分米？
（2）做这个玻璃鱼缸需要多少平方分米的玻璃？
（3）石块沉入前玻璃缸中水的高度是5分米，石块完全沉入水中，水面升高2分米，请你计算出这个石块的体积．
19．（2019春•蒙城县期末）一根2.5米长的长方体木料，把它截成3段后，表面积增加了
，这根木料的体积是多少立方米？
20．（2019春•隆昌市期末）一个长方体的容器（如图），里面的水深
，把这个容器盖紧后竖放，使长
、宽
的面朝下，这时里面的水深是多少厘米？（容器的厚度不计）
21．（2019春•惠阳区期中）一个无水的观赏鱼缸中放着一块高为30厘米，体积为3000立方厘米的假山石．如果水管以每分7立方分米的流量向缸中注水，至少需要多长时间才能将假山石完全浸没？
22．（2019秋•东海县期中）一个装有水的长方体容器，从里面量长5分米，宽4分米，水深3分米．现将一个铁块浸入水中，水面上升到4.2分米（无水溢出），求这个铁块的体积是多少立方分米？
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