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第2讲 因数与倍数热点难点一网打尽
知识点一：因数与倍数
1、 如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然数)那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。例如4×3=12，12是4的倍数,12也是3的倍数,4和3都是12的因数。
2、 因数的特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。(1是所有非0自然数的因数)
一个数的因数的求法：成对地按顺序找
3、
倍数的特点：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。例：3的倍数有：3、6、9、12…其中最小的倍数是
3
，没有最大的倍数。
一个数的倍数的求法：依次乘以自然数
知识点二：2、5、3的倍数的特征
1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数(2的倍数的数叫做偶数、不是2的倍数的数叫做奇数)。
2、5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。
3、3的倍数的特征：一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
知识点三：奇数与偶数（自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数）[来源:Zxxk.Com]
(1)定义：奇数：(也叫单数)自然数中不能被2整除的数 最小的奇数是1，
偶数：(也叫双数)自然数中能被2整除的数 最小的偶数是0.
(2)特征：奇数：个位上是1，3，5，7，9的数
偶数：个位上是0，2，4，6，8 的数
(3)字母表示：奇数：2n+1(n>=0) 偶数：2n(n>=0)
(4)公式：奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数
(5)自然数中，不是奇数就是偶数。0是偶数。
知识点四：质数与合数（自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类）
(1)定义：质数：只有1和它本身两个因数的数(共有2个因数)
合数：除了1和它本身之外还有别的因数的数(至少有3个因数)，
(2)最小的质数是2 最小的合数是4
(3)“1”既不是质数，也不是合数。 (因为1只有1个因数)。
(4)自然数中，除了0和1之外，不是质数就是合数
(5)在自然数里，不是奇数的质数只有2
(6)公式：质数*质数=合数 质数*合数=合数 合数*合数=合数
(7)100以内的质数：
2、3、5、7和1
1，
13后面是17，
19、23、29，
31、37、41，
43、47、53，
59、61、67，
71、73、79，
83、89、97。
考点1：因数与倍数[来源:Zxxk.Com]
例1．（2019秋•常山县校级期中）一个数既是7的倍数，又是56的因数，这个数可能是多少？
【思路分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数试题本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数．据此规范解答．
【规范解答】解：56以内7的倍数有：7、14、21、28、35、42、49、56；
56的因数有：1、2、4、7、8、14、28、56；
所以，既是7的倍数，又是56的因数的数可能是：7、14、28、56．
答：这个数可能是7、14、28、56．
【名师点评】此题考查的目的是理解因数与倍数的意义，掌握求一个数的因数和求一个数的倍数的方法．
1．（2019春•镇平县月考）1 2 3 4 5 6 8 10 12
16 18 20 24 36 42 56 60
（1）以上数中是4的倍数有 ；
（2）以上数中是 60的因数有 ；
（3）以上数中既是4的倍数又是60的因数的数是 ．
【思路分析】首先根据找一个数的倍数和因数的方法，分别找出给出的数中，4的倍数和60的因数分别有哪些；然后找出既是4的倍数又是60的因数的数即可．
【规范解答】解：（1）以上数中是4的倍数有 4、8、12、16、20、24、36、42、56、60；
（2）以上数中是 60的因数有 1、2、3、4、5、6、10、12、20、60；
（3）以上数中
既是4的倍数又是60的因数的数是
4、12、20、60．
故答案为：4、8、12、16、20、24、36、42、56、60；1、2、3、4、5、6、10、12、20、60；4、12、20、60．
【名师点评】此题主要考查了找一个数的倍数和因数的方法，要熟练掌握．
2．（2019春•宁都县校级月考）猜电话号码
提示：
的最小倍数
最小的自然数
的最大因数
它既是4的倍数，又是4的因数
它的因数有1，2，3，
它的所有因数是1，3
它只有一个因数
这个号码就是 5054631 ．
【思路分析】
的最小倍数是5；
最小的自然数是0；
的最大因数是5；
它既是4的倍数，又是4的因数是4；
它的因数有1，2，3，所以是6；
它的所有因数是1、3，所以它是3；
它只有一个因数，是1；
这个号码就是5054631．
【规范解答】解：由思路分析可知：
是5，
是0，
是5，
是4，
是6，
是3，
是1，
所以这个电话号码是：5054631．
故答案为：5054631．
【名师点评】此题主要考查根据因数、倍数和自然数的意义灵活解决问题．
3．（2019春•徽县期中）一个数是42的因数，同时又是3的倍数，这个数可以是多少？
【思路分析】求这个数可能是多少，即求42以内（包括
的3的倍数，根据找一个数因数的方法和一个数倍数的方法，分别列举出42的因数和3的倍数，继而得出结论．
【规范解答】解：42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42；
3的倍数有：3、6、9、12、14、15、18、21、24、27、30、33、36、39、
；
一个数既是42的因数，又是3的倍数．这个数可能是3、6、21、42；
答：这个数可能是3、6、21、42．
【名师点评】此题考查的目的是理解因数与倍数的意义，明确要求的问题即42以内（包括
的3的倍数，是规范解答此题的关键．
考点2：2,5,3的倍数的特征
例2．写出符合要求的数：一个四位数372□
（1）要使它是2的倍数，□中可以填 0、2、4、6、8 ．
（2）要使它是5的倍数，□中可以填 ．
（3）要使它是3的倍数，□中可以填 ．
（4）要使它同时是2、3、5的倍数，□中可以填 ．
【思路分析】（1）根据2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，据此规范解答即可；
（2）5的倍数的特征：个位上是0或5的数，根据特征思路分析规范解答即可；
（3）根据3的倍数的特征：即该数各个数位上数的和能被3整除；进行规范解答即可．
（4）要使它同时是2、3、5的倍数，个位上必须是0．
【规范解答】解：一个四位数是372□，
（1）要使它是2的倍数，□里可以填0、2、4、6、8；
（2）要使它是5的倍数，□里可以填0、5；
（3）要使它是3的倍数，因
，12分别加上0、3、6、9的和都是3的倍数，所以□里可以填0、3、6、9；
（4）要使它同时是2、3、5的倍数，□中可以填0．
故答案为：0、2、4、6、8；0、5；0、3、6、9；0．
【名师点评】本题主要考查能被2、3、5数的特征，注意牢固掌握能被2、3、5数的特征．注意基础知识的灵活运用．
1．（2019春•麻城市期中）从0，4，5，7，9中各选出四个数字组数．（各写三个）
（1）是2的倍数：
（2）是3的倍数：
（3）是5的倍数：
（4）同时是2，3，5的倍数： ．
【思路分析】（1）能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数；
（2）能被3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除；
（3）能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或者5的数；
（4）要同时能被2、3和5整除，这个数的个位一定是0，各个数位上的数字相加的和能被3整除，规范解答即可．
【规范解答】解：由思路分析规范解答如下：（答案不唯一）
（1）是2的倍数：4570、4790、5794
（2）是3的倍数：4590、5490、7950
（3）是5的倍数：2790、4795、5740；
（4）同时是2，3，5的倍数：4590、5490、7590．
故答案为：4570、4790、5794；4590、5490、7950；2790、4795、5740；4590、5490、7590．
【名师点评】此题主要根据能被2、3、5整除的数的特征解决问题．
2．（2019秋•新城区月考）在下面卡片中选出两个数字组成一个两位数，分别满足以
下条件．
（1）是3的倍数： 60 ；
（2）同时是2和3的倍数 ；
（3）同时是2、3、5的倍数 ；
（4）是5的倍数，而且是奇数 ．
【思路分析】（1）是3的倍数要满足各位上的数字之和是3的倍数；
（2）同时是2和3的倍数特征，个位上是0、2、4、6、8；而且各个数位上数的和是3的倍数；
（3）同时是2、3和5的倍数要满足个位上是0，而且各个数位上的数的和是3的倍数；
（4）是5的倍数，而且是奇数，个位上是5的数，据此选数组数即可．
【规范解答】（1）是3的倍数：60；
（2）同时是2和3的倍数60；
（3）同时是2、3、5的倍数60；
（4）是5的倍数，而且是奇数：65、25；
故答案为：60；60；60；65、25．
【名师点评】此题考查同时是2和5的倍数以及同时是2、3和5的倍数的特征，熟记特征是解决此类题的关键．
3．（2019秋•沈河区校级月考）把下面的数按要求填入相应的圈里．
46、78、210、355、388、790、270、555、96、870、435、102
【思路分析】能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，能被3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除，能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或者5的数，同时是2、3、5的倍数：个位上是0，还得各个数位上的数的和是3的倍数，规范解答即可．
【规范解答】解：由思路分析可得：[来源:Z.xx.k.Com]
把下面的数按要求填入相应的圈里．
46、78、210、355、388、790、270、555、96、870、435、102
【名师点评】本题主要考查是2、3、5的倍数的数的特征．注意基础知识的灵活运用．
例3．（2019春•东台市期末）五年级一班的男生人数是偶数，在
之间，如果每3人一组进行实践活动，则全部分完，没有剩余，这个班可能有多少人？（请写出你的想法）
【思路分析】根据求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘以自然数1、2、3、
，从中找出符合要求的倍数，即可规范解答．
【规范解答】解：
之间3的倍数有：42、45、48，又因五年级一班的男生人数是偶数，所以这个班可能有42人，也可能有48人．
我是这样想的：用3分别乘以自然数1、2、3、
、15、16，从中找出符合要求的倍数即可．
答：这个班可能有42人，也可能有48人．
【名师点评】此题的关键是根据能被3整除的数的特征：各个数位上数的和能被3整除进行规范解答．
1．（2019春•吉林期中）牡丹江百货大楼新进一批不同样式的书包，其价格都既是2的倍数，也是3的倍数，还是5的倍数．
（1）这批书包中最低价格是多少元？
（2）如果价格不超过100元，有哪几种价格？
【思路分析】根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；
根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；
根据3的倍数的特征，一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．
依据公倍数的意义，即在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数，据此即可进行规范解答．
【规范解答】解：（1）既是2的倍数，又是5的倍数，同时还是3的倍数的数可以说是2、3、5的公倍数．
所以它的
最小值为：
．
所以这批书包中最低价格是30元．
（2）如果价格不超过100元，只要是30元的倍数都可以，所以答案可以为：30元，60元，90元三种．
答：30元，60元，90元三种不同的价格．
【名师点评】本题考查的目的是掌握2、3、5的倍数的特征．记住它们的特征是解题的关键．
2．（2019春•郑州校级月考）在28的后面添上三个数字组成五位数，使这个五位数既是偶数，又同时有因数3和5．这个五位数最大是多少？最小呢？（要有说明过程）
【思路分析】因为这个五位数既是偶数，同时又有因数3和5，所以这个数的个位是0，又因为最大，所以百位是9，因为是3的倍数，所以各个位数上数的和能被3整除，
，27是3的倍数，所以最大是28980；同理可知：因为求最小，所以百位是0，因为是3的倍数，所以各个位数上数的和能被3整除，
，12是3的倍数，所以最小是28020；由此规范解答即可．
【规范解答】解：在28的后面添上三个数字组成五位数，使这个五位数既是偶数，又同时有因数3和5．
因为
，27是3的倍数，所以这个五位数最大是28980；
因为
，12是3的倍数，所以这个五位数最小是28020．
答：这个五位数最大是28980，最小是28020．
【名师点评】明确偶数的含义及能被3、5整除的数的特征，是规范解答此题的关键．
3．（2019春•绵阳校级月考）食品店运来45个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？为什么？
【思路分析】回忆能2、3、5倍数的特征，一个数的个位上是0、2、4、6、8的数，这个数就是2的倍数；一个数的各个数位上的和如果是3的倍数，这个数就是3的倍数；据此规范解答．
【规范解答】解：45的个位上是5，不符合2的倍数的特征，所以如果每2个装一袋，不能正好装完；
因
，9是3的倍数，所以每3个一袋能正好装完．
【名师点评】本题主要考查了学生对2、3、5倍数特征知识的掌握情况．
考点3：奇数与偶数
例4．（2019秋•高台县校级月考）把下列各数按要求填入圈里
1 2 5 8 17 20 37 65 100 121 345 41
【思路分析】自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；除了1和它本身以外，不含其它因数的数是质数；除了1和它本身外，还含有其它因数的数是合数；据此规范解答即可．
【规范解答】解：
【名师点评】规范解答此题主要明确质数、合数、奇数、偶数的概念．
1．（2019春•东莞校级月考）把下面各数填在相应的地方．
【思路分析】奇数是指不是2的倍数的数，偶数是指是2的倍数的数；质数是指只有1和它本身两个因数的数，合数是指除了1和它本身，还要其它因数的数；据此进行分类得解．
【规范解答】解：见下图：
【名师点评】解决此题要明确奇数、偶数、质数和合数的意义，要注意1既不是质数，也不是合数，但1是奇数．
2．（2019•新都区）分一分．
3、320、1、417、81、29、65、2811、2、4、15
【思路分析】根据奇数、偶数、质数、合数的意义，在自然数中不是2的倍数的数叫做奇数；是2的倍数的数叫做偶数；
一个自然数，如果只含有1和它本身两个因数的数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了含有1和它本身外还含有其它因数的数，这样的数叫做合数．
【规范解答】解：
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握奇数、偶数、质数、合数的意义．
3．（2019春•云梦县期中）观察与猜想．
【思路分析】根据偶数、奇数、质数的意义：在自然数中是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．据此规范解答即可．
【规范解答】解：①把3大比7小的奇数是5；
②两个质数的和是15，这两个质数是2和13；
③一个两位的偶数，十位数字与个位数字的积是18，这个数是36或92．
故答案为：
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握偶数、奇数、质数的概念及意义．
考点4：质数与合数
例5．（2019春•克州校级期中）将下面各数分别填入指定的圈里．
1、10、12、25、37、54、23、17、102、398
【思路分析】根据质数与合数
的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；1既不是质数也不是合数；据此规范解答即可．
【规范解答】解：质数有：37、23、17；
合数有：10、12、25、54、102、398；
故答案为：
【名师点评】本题主要考查质数与合数的意义，注意1既不是质数也不是合数．
1．（2019秋•惠州校级期中）按要求把下列个数填入相应的圈里．
5 8 13 17 18 23 91 101 201
【思路分析】除了1和它本身以外，不含其它因数的数是质数；除了1和它本身外，还含有其它因数的数是合数；据此规范解答即可．
【规范解答】解：
【名师点评】规范解
答此题主要明确质数、合数的概念．
2．填一填．
34 17 25 11 81 71 90 15 59 61 85 97
【思路分析】合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数．
质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数）．依此即可求解．
【规范解答】解：如图所示：
【名师点评】规范解答本题要明确质数，合数的概念．
3．下面哪些是质数？哪些是合数？分一分．
34、21、29、17、84、68、79、57、95
92、67、83、13、23、37、51、65、43
【思路分析】自然数中，只有1和
它本身两个因数的数叫做质数；自然数中，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数；据此分类即可．
【规范解答】解：
【名师点评】此题考查的目的是理解和掌握质数与合数的概念及意义．
例6．猜一猜．
[来源:Zxxk.Com]
【思路分析】只有1和它本身两个约数的数是质数；除了1和它本身还有别的约数的数是合数；根据分解质因数的方法，把115分解质因数即可．
【规范解答】解：
【名师点评】此题考查的目的是理解质数的意义，掌握分解质因数的方法．
1．猜猜我说的数是多少？
3 和
，
和
．
【思路分析】根据质数和合数的含义：除了1和它本身以外，不含其它因数的数是质数；除了1和它本身外，还含有其它因数的数是合数；据此规范解答即可．
【规范解答】解：①因为
，
，所以这两个数3和5；
②因为
，
，所以这两个数是2和13；
故答案为：3，5，2，13．
【名师点评】此题主要考查质数、合数的意义及逻辑推理能力．
2．（2019春•弋阳县校级期中）在横线里填上适当的质数．
①
3 
②
③
④
．
【思路分析】根据质数的意义：自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数和20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17再根据它们的和，在空中填上适当的质数即可．
【规范解答】解：根据质数的定义和20以内的质数，空中可填：
①
；
②
；
③
；
④
；
故答案为：①3，5；②2，3，7；③11，13；④2，5，11．
【名师点评】规范解答本题要明质数的概念，熟记20以内的质数．
3．小明家的电话号码是七位数，第一位比3的最小倍数小1，第二位是最小合数，第三位是最小的偶数，第四位是既不是素数也不是合数，第五位数是9的最小因数，第六位比最小的素数多1，第七位是10以内的既是2的倍数又是4的倍数但不是4，明明家的电话号码是： 2401138 ．
【思路分析】根据质数与合数、奇数与偶数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．一个自然数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数．数2的倍数的数叫做偶数．倍数2的倍数的数叫做奇数．1既不是质数也不是合数，1 最小的奇数；2是最小的质数，4是最小的合数．由此规范解答．
【规范解答】解：第一位比3的最小倍数小1，3的最小倍数是它本身，
，
第二位是最小合数，就是4，
第三位是最小的偶数，就是0，
第四位是既不是素数也不是合数，那就是1，
第五位第五位数是9的最小因数，是1，
第六位比最小的素数多1，
，
第七位是10以内的既是2的倍数又是4的倍数但不是4，是8．
所以明明家的电话号码是：2401138．
故答案为：2401138．
【名师点评】此题主要考查质数与合数、奇数与偶数、因数与倍数的概念及意义．
1．（2019春•覃塘区校级期中）因为
，所以 30 是
的倍数，
是
的因数．
【思路分析】根据因数和倍数的意义：如果数
能被数
整除
，
就叫做
的倍数，
就叫做
的因数；进行规范解答即可．
【规范解答】解：因为
，所以
30是
5和6的倍数，5和6是
30的因数；
故答案为：30，5和6，5和6，30．
【名师点评】此题考查的是因数和倍数的意义，应根据其意义进行规范解答．
2．（2019秋•南开区校级期中）若
、
、
都是非零自然数），则
是
的 倍 数，
是
的
数．
【思路分析】根据因数和倍数的关系：如果数
能被数
整除
，
就叫做
的倍数，
就叫做
的因数；进行规范解答即可．
【规范解答】解：若
、
、
都是非零自然数），则
是
的倍数，
是
的因数；
故答案为：倍，因．
【名师点评】此题考查了因数和倍数的意义，应注意基础知识的积累．
3．（2019春•东海县校级月考）28的因数有 1、2、4、7、14、28 ．50以内6的倍数有 ．
【思路分析】（1）根据找一个数因数的方法，进行列举即可；
（2）根据求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘以自然数1、2、3、
，从中找出符合要求的倍数，即可规范解答．
【规范解答】解：（1）28的因数有：1、2、4、7、14、28；
（2）
，
，
，
，
，
，
，
，
50以内8的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48；
故答案为：1、2、4、7、14、28；6，12，18，24，30，36，42，48．
【名师点评】本题主要考查求一个数的因数和倍数的求法，注意界定倍数所在的范围．
4．（2019秋•德惠市期中）最小的质数是 2 ，最小的合数是 ，既不是质数又不是合数的数是 ．
【思路分析】自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数．由此可知，最小的质数是2，最小的合数是4，1既不是质数又不是合数的数．
【规范解答】解：最小的质数是2，最小的合数是4，既不是质数又不是合数的数是1；
故答案为：2，4，1．
【名师点评】此题考查了质数与合数的含义．
5．（2019春•宿迁期末）有一个三位数是43□，如果它是3的倍数，那么
里最小填 2 ；如果它同时是2、5的倍数，那么
里只能填 ．
【思路分析】3的倍数特征：各位数之和能被3整除．据此规范解答即可根据能被2、5整除的数的特征：被2整除的数个位都是偶数，被5整除的数个位不是0就是5，可知既是2 的倍数，又是5的倍数的数的个位是0．
【规范解答】解：根据3的倍数特征：各位数
之和能被3整除就是3的倍数，
又因为
，9是3的倍数，所以432是3的倍数，
里最小填2；
根据能被2、5整除的数的特征，可知满足题意的数个位是0．
故答案为：2、0．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握2、3、5的倍数的特征及应用．
6．（2019春•泰兴市校级期中）三位数8□3是3的倍数，□里最大填 7 ；三位数47□既是2的倍数，又是5的倍数，□里应填 ；三位数47□既是2的倍数，又是3的倍数，□里应填 ．
【思路分析】是3的倍数的数各个位上的数相加所得的和能被3整除，三位数8□3是3的倍数，□里可以填1、4、7，所以□里最大填7；
是2的倍数的数的个位都是偶数，是5的倍数的数个位不是0就是5，三位数47□既是2的倍数，又是5的倍数，□里应填0；
是2的倍数的数的个位都是偶数，是3的倍数的数各个位上的数相加所得的和能被3整除，三位数47□既是2的倍数，又是3的倍数，□里应填4．
【规范解答】解：三位数8□3是3的倍数，□里最大填7；三位数47□既是2的倍数，又是5的倍数，□里应填0；三位数47□既是2的倍数，又是3的倍数，□里应填4．
故答案为：7、0、4．
【名师点评】此题主要考查了是2、3、5的倍数的数的特征，要熟练掌握．
7．（2019春•射阳县校级期中）如果两个数的积是偶数，那么这两个数
A．都是偶数 B．至少有一个偶数
C．都是奇数 D．至少有一个奇数
【思路分析】奇数
奇数
奇数，奇数
偶数
偶数，偶数
偶数
偶数，由此进行求解．
【规范解答】解：奇数
奇数
奇数，奇数
偶数
偶数，偶数
偶数
偶数
要使两个数的积是偶数，那么这两个数至少有一个偶数；
故选：
．
【名师点评】此题考查的是奇数和偶数的性质，根据其性质进行思路分析即可．
8．（2019•衡水模拟）萧克买了一张入场券，它的号码是四位数，其中个位数是质数，十位数是5的倍数，百位数是偶数，千位数是个位
数的3倍．入场券的号码是
A．9303 B．9402 C．9455 D．9853
【思路分析】根据质数、偶数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．是2的倍数的数叫做偶数．再根据3、5的倍数的特征，各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数，个位上是0或5的数都是5的倍数．据此规范解答即
可．
【规范解答】解：10以内的质数有2、3、5、7；这个数的个位是质数，也就是个位可能是2、3、5、7，十位是5的倍数，那么十位上是5，百位是偶数，也就是百位可能是0、2、4、6、8，千位是3的倍数，也就是千位可能是3、6、9；由此得：这个四位数9853．
故选：
．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握质数、偶数的意义，以及3、5的倍数的特征及应用．
9．（2019春•高密市期末）一个自然数的最大因数与它的最小倍数的关系是
A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定
【思路分析】根据“一个数的最大因数和最小最小倍数都是它本身”进行规范解答即可．
【规范解答】解：一个自然数的最大因数等于它的最小倍数；
故选：
．
【名师点评】此题主要考查因数与倍数的意义，利用一个数的倍数最小是它的本身，一个数的约数最大是它本身，解决问题．
10．（2019•武侯区）甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的因数，那么甲数是丙数的
A．倍数 B．因数 C．无法确定
【思路分析】设甲、乙、丙分别为
、
、
．根据因数和倍数的意义可得
；
；故
，所以甲数是丙数的倍数．
【规范解答】解：设甲、乙、丙分别为
、
、
．
因为甲数是乙数的倍数，则有
；丙数是乙数的因数，则有
；
故
，
所以甲数是丙数的倍数．
故选：
．
【名师点评】考查了因数和倍数的意义，本题的关键是由甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的因数，得到甲数和丙数之间的关系．
11．（2019•长沙）下面类似“
”的符号表示5位数，其中
，
是小于10的非零自然数，那么一定能被3和5整除的是
A．
B．
C．
D．
【思路分析】一定能被3和5整除的数应该是各个位上数的和是3的倍数，并且个位上是0或是5，
是小于10的非零自然数，据此判断．
．
各个位的和是
，如果是1，不是3的倍数也不是5的倍数，不能确定．
．
各个位的和是
，是3的倍数，但
有可能是1、2、3、5、6、7、8、9中的一个，不一定是5的倍数，不能确定．
．
各个位的和是
，不一定是3的倍数．
．
各个位的和是
，和是3的倍数，这个数就是3的倍数，个位上是0，也是5的倍数，所以一定是3和5的倍数，能被3和5整除．
【规范解答】解：因为
各个位的和是
，和是3的倍数，这个数就是3的倍数，这个数的个位上是0，也是5的倍数，所以一定是3和5的倍数，能被3和5整除．
故选：
．
【名师点评】考查了2、3、5的倍数的特征，要从3、5的倍数的知识方面思考规范解答．
12．（2019•防城港模拟）一个数比30小，它既是4的倍数，也是5的倍数，这个数是 20 ．
【思路分析】既是4的倍数，也是5的倍数，这个数最小是4和5的最小公倍数，然后找出30以内的4和5的倍数即可．
【规范解答】解：一个数比30小，它既是4的倍数，也是5的倍数，这个数是20；
故答案为：20．
【名师点评】明确这道题即求出30以内的4和5的公倍数，是规范解答此题的关键．
13．（2019•杭州模拟）（1）一个数是48的因数，这个数可能是 1、2、3、4、6、8、12、16、24、48
（2）一个数既是48的因数，又是8的倍数，这个可能是
（3）一个数既是48的因数，又是8的倍数，同时还是3的倍数，这个数是 ．
【思路分析】（1）求这个数可能是多少，即求48的因数，根据找一个数因数的方法，列举出即可；
（2）求这个数，即求48以内的8的倍数；
（3）求这个数，即求48以内的3和8的公倍数．
【规范解答】解：（1）48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；
（2）48以内的8的倍数有：8、16、24、48；
（3）48以内的3和8的公倍数有：24、48；
故答案为：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，8、16、24、48，24、48．
【名师点评】规范解答此题应根据找一个数因数的方法和求一个数倍数的方法进行规范解答．
14．（2019•湘潭模拟）一个两位数既是3的倍数，也是5的倍数，而且是偶数，这个数最小是 30 ，最大是 ．
【思路分析】先根据能被5整除的数的特征，又因为是偶数，能判断出个位数是0，进而根据能被3整除的数的特征，推断出这个数十位上的数最小是3，最大是9，继而得出结论．
【规范解答】解：由思路分析知：这个数最小是30，最大是90；
故答案为：30，90．
【名师点评】规范解答此题的关键是灵活掌握能被3和5整除的数的特征，进行规范解答即可．
15．（2019春•苍溪县月考）605至少加上 1 就是3的倍数，1024至少减去 就是3的倍数，那么78至少加上 就是5的倍数．
【思路分析】（1）各个数位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，605
各个数位上的数字的和是
，至少再加上1就是3的倍数，
（2）各个数位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，1024各个数位上的数字的和是
，至少再减去1就是3的倍数，据此规范解答；
（3）个位上是0或5的数就是5的倍数，78的个位上是8，至少再加上2，即
，变成个位上是0，据此规范解答．
【规范解答】解：（1）
，12是3的倍数，
所以至少加上
1就是3的倍数：
；
（1）
，6是3的倍数，
所以至少应减去：
，
（2）78个位是8，只有个位数是0或5时，才能被5整除；故至少加上2；
故答案为：1，1，2．
【名师点评】本题主要考查3和5的倍数特征的灵活运用能力．
16．（2019春•云龙县期中）用卡片3、6、7、0来摆出三位数
（1）3个2的倍数 360、670、376
（2）3个5的倍数
（3）3个奇数
（4）同时有因数3和5的数 ．
【思路分析】2、3、5的倍数特征：
被2整除特征：偶数
被3整除特征：各位上数字之和能被3整除
被5整除特征：个位上是0或5的数
同时能被3、5整除的特征：个位是0且各位上数字之和能被3整除．
根据2、3、5的特征规范解答．
【规范解答】解：（1）3个2的倍数：360、670、376；
（2）3个5的倍数：670、360、760；
（3）3个奇数：607、603、763；
（4）同时有因数3和5的数：630、360．
故答案为：360、670、376；670、360、760；607、603、763；630、360．
【名师点评】本题考查了2、3、5的倍数特征．
17．（2019春•仙桃期中）从0、3、5、7四张数字卡片中挑选3张组成一个三位数
（1）5的倍数中最大的三位数是 750
（2）有因数2和3的最大三位数是
（3）有因数2和5的最大三位数是
（4）有因数3和5的最大三位数是
（5）有因数2，3和5的最大三位数是 ．
【思路分析】（1）能被5整除的数的特征：个位上
的数字是0或者5的数，组成最大的三位数的百位是7、十位是5，个位上是0；
（2）能被2、3整除的数的特征：个位是偶数，且各个数位上的数字相加的和能被3整除，组成最大三位数的百位是7、十位是5，个位上是0；
（3）能被2、5整除的数的特征：个位是0，组成最大三位数的百位是7、十位是5，个位上是0；
（4）能被3、5整除的数的特征：个位是0或5，且各个数位上的数字相加的和能被3整除，组成最大三位数的百位是7、十位是5，个位上是0；
（5）能被2、3、5整除的数的特征：个位是0，且各个数位上的数字相加的和能被3整除，组成最大三位数的百位是7、十位是5，个位上是0；规范解答即可．
【规范解答】解：从0、3、5、7四张数字卡片中挑选3张组成一个三位数，
（1）5的倍数中最大的三位数是：750；
（2）有因数2和3的最大三位数是：750；
（3）有因数2和5的最大三位数是：750；
（4）有因数3和5的最大三位数是750；
（5）有因数2，3和5的最大三位数是750．
故答案为：750、750、750、750．
【名师点评】此题主要根据能同时被2、3、5整除的数的特征解决问题．
18．（2019春•兴仁县月考）五（1）班6名同学去给小树苗浇水，小树苗不到30棵，他们发现每人浇水棵数相同，这批小树苗可能有多少棵？
【思路分析】根据题意，树苗棵数肯定是6的倍数，且小于30，小于30的，且是6的倍数的有：6、12、18、24，所以这批小树苗可能有6棵或12棵或18棵或24棵．
【规范解答】解：小于30的且是6的倍数的有：6、12、18、24棵；[来源:学科网ZXXK]
答：这批小树苗可能有6棵或12棵或18棵或24棵．
【名师点评】此题考查了学生运用求一个数的因数的方法解决实际问题的能力．
19．（2019•重庆模拟）把63个玻璃球装在几个盒子里，每个盒子装得同样多，刚好装完．
（1）有几种装法？（列出算式）
（2）如果有67个球呢？
【思路分析】（1）根据题意，即把63个求平均分到若干个盒子里，那么两个数相乘积是63，因为题目有每个盒子的个数一样多，所以盒子至少是2个，所以63有多少个因数在减去1个盒子的装63个的装法，就是题目要求的装法，列式规范解答即可得到答案．
（2）67是质数，所以
，由此即可得出只有2种不同的装法．
【规范解答】解：（1）
，每个盒子里装一个，因为题目有每个盒子的个数一样多，所以盒子至少是2个，所以1盒装63的装法舍掉；
，每个盒子里装3个或每个盒子里装21个，
，每个盒子里装7个或每个盒子里装9个，
装法有：
（种
，
答：有5种不同的装法．
（2）67是质数，所以只有2种装法：每个盒子里装一个，或者将67个球装在一个盒子里．
答：有2种装法．
【名师点评】规范解答此题关键将63和67进行分解因数，有几个因数就有几种装法．
20．（2019秋•深圳期末）有两个质数，它们的和既是小于100的奇数、又是17的倍数．这两个质数是多少？
【思路分析】因为两个质数的和是奇数，所以必有一个是2，小于100的17的奇数倍有17，51，85三个，其中
，2和83都是质数，所以这两个质数是2和83．
【规范解答】解：因为两个质数的和是奇数，所以必有一个是2．
小于100的17的奇数倍有17，51，85三个，其中
，2和83都是质数，
所以这两个质数是2和83．
答：这两个质数是2和83．
【名师点评】完成本题关健是要明白除2之外，所有的质数都为奇数．
21．（2019春•房县月考）有100多且不到200名学生站队，站成5列，仅仅少2人，这群学生最少多少人？最多多少人？
【思路分析】根据题干可得，这列学生总人数是一个大于100小于200的三位数，且是5的倍数少2的数，由此先求出大于100小于等于200的5的倍数最小是105，大于100小于等于200的5的倍数最大是200，再减去2即可得出这批学生最少和最多的人数．
【规范解答】解：大于100小于等于200的5的倍数最小是105，
（人
，
大于100小于等于200的5的倍数最大是200，
（人
．
答：这群学生最少103人，最多198人．
【名师点评】此题主要考查了求5的倍数的方法的灵活应用．
22．（2019春•泸西县校级期中）食品店运来135个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？
【思路分析】（1）根据能被2整除的特征：即个位上是0、2、4、6、8的数判断即可；
（2）根据能被3整除的特征：各个数位上的数字之和能被3整除这个数就能被3整除；
（3）根据能被5整除的特征：即个位上是0或5的数判断即可．
【规范解答】解：（1）135个位上是5，不能被2整除，
所以每2个装一袋，不能正好装完；
答：不能正好装完；
（2）
，能被3整除，
所以每3个装一袋，能正好装完；
答：能正好装完．
（3）135个位上是5，能被5整除，
所以每5个装一袋，能正好装完；
答：能正好装完．
【名师点评】此题根据能被2、3、5整除的数的特征，解决实际问题．
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