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第十四讲 数论相关的计数
例题：
答案：18
详解：一个数能被6，7，8，9整除，即是6，7，8，9的倍数．6，7，8，9的最小公倍数为504，所有满足条件的数都是504的倍数．
，故1~9999中共有19个数是504的倍数．
，故1~999中共有1个数是504的倍数．则四位数中有
个数是504的倍数．即能同时被6，7，8，9整除的四位数有18个．
答案：72
详解：用1，2，3，4，5，7各一次组成六位数，六个数字的和为22．若为11的倍数，则奇位和与偶位和的差只能为0．奇位填1，3，7，偶位填2，4，5，考虑到1，3，7可以互换，2，4，5可以互换，故共有
种填法．同理奇位填2，4，5，偶位填1，3，7，也有36种填法，共72种填法．
答案：（1）24；（2）15
详解：（1）若两个数的乘积是3的倍数，则其中至少有一个数是3的倍数．1~10中是3的倍数的有3，6，9这3个数，不是3的倍数的有7个．分两种情况：<1>两个数中只有一个是3的倍数，有
种选法；<2>两个数均为3的倍数，有
种选法．共有24种选法．另解：排除法：不加任何条件选两个数的方式减去，没有3的倍数的情况，
；（2）将1~10这10个数按除以3的余数不同进行分类．除以3余0的有（3，6，9），
除以3余1的有（1，4，7，10），除以3余2的有（2，5，8）．若两数之和为3的倍数，分两种情况：<1>两个数除以3均余0．有
种选法．<2>其中一个数除以3余1，另一个数除以3余2．有
种选法．共有
种选法．
答案：56
详解：可以将题目条件分成两部分，先看能被8整除的数，
，因此能被8整除的数有25个．再看含有数字8的数，我们可以从反面考虑较为方便，即看不含有数字8的数有多少个．百位可以选0或1（百位选0，表示其为两位数），十位可以选除8以外的9个数，个位也可选除8以外的9个数，共有
个数不含有数字8．0~199共有200个数，含有数字8的有
个．考虑到有些数既能被8整除，又含有数字8，这样的数有8，48，88，128，168，以及80和184，共7个数．因此吉利数有
个．
答案：3479
详解：若上升数的首位为1，剩下的3位可以从2~9中选，且顺序一定，有
种选法，即首位为1的上升数有56个．同理，若首位为2，剩下的3位可以从3~9中选，有
种选法，即首位为2的上升数有35个．再考虑首位为3的上升数，依次为3456，3457，3458，3459，3467，3468，3469，3478，3479．即第100个上升数为3479．
答案：900；900；200
详解：六位“回文数”应为
的形式，a有1~9这9种选择，b有0~9这10种选择，c有0~9这10种选择，由乘法原理这样的数共有
个．五位“回文数”应为
的形式，a有1~9这9种选择，b有0~9这10种选择，c有0~9这10种选择，由乘法原理这样的数共有
个．
若回文数为4的倍数，则末两位为4的倍数，可为04，08，12，16，……，96共24个数，除去20，40，60，80这四个不满足条件的数，共有20种选择．考虑到c有0~9这10种选择，故共有
个五位回文数是4的倍数．“
练习：
答案：15
简答：4、5、6的最小公倍数是60，三位数中60的倍数有
个．
答案：8
简答：用1，2，3，4各一次组成四位数，四个数字的和为10．若为11的倍数，则奇位和与偶位和的差只能为0．奇位填1，3，偶位填2，4，考虑到1，3，可以互换，2，4，可以互换，故共有
种填法．同理奇位填2，4，偶位填1，3，也有4种填法，共8种填法．
答案：38；22
简答：解法同例3．
答案：55
简答：先看能被9整除的数，
，因此能被9整除的数有22个．再看含有数字9的数，仍可从反面考虑，即看不含有数字9的数有多少个．百位可以选0或1（百位选0，表示其为两位数），十位可以选除9以外的9个数，个位也可选除9以外的9个数，共有
个数不含有数字9．0~199共有200个数，含有数字9的有
个．考虑到有些数既能被9整除，又含有数字9，这样的数有9，99，189，90，198，共5个数．因此含有数字9或者能被9整除的有
个．
作业
答案：14，15
简答：
，7的倍数有14个；
，
，
．除以7余2的有15个．
答案：35
简答：1~15中，除以3余0、余1和余2的都有5个．和为3的倍数，那么两数可能是余1＋余2或者余0＋余0．第一种有
种选法，第二种有
种选法，一共有35种选法．
答案：432
简答：能被11整除，说明这个七位数奇数位之和与偶数位之和的差是11的倍数．而奇数位之和与偶数位之和的和是
，那么奇数位之和与偶数位之和可以都是16，或者是27和5，后面这种情况不可能．偶数位有3个数字，和为16可能是
，
，
．那么一共可以组成
个能被11整除的七位数．
答案：157
简答：前两位为12的上升数有7个，前两位为13的上升数有6个，前两位为14的上升数有5个．那么第19个上升数是156，第20个上升数是157．
答案：72
简答：如果首位数字除以3余0，那么其余的所有数字也都除以3余0，这样的话一定会重复，这样的六位数不存在．如果首位数字除以3余1，那么后面的数字除以3的余数依次是2、1、2、1、2．这样的六位数有
个．如果首位数字除以3余2，这样的六位数也有36个．一共有72个．
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