【320759】【详解】5年级下册第14讲_数论相关的计数
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第十四讲 数论相关的计数
例题:
答案:18
详解:一个数能被6,7,8,9整除,即是6,7,8,9的倍数.6,7,8,9的最小公倍数为504,所有满足条件的数都是504的倍数.
,故1~9999中共有19个数是504的倍数.
,故1~999中共有1个数是504的倍数.则四位数中有
个数是504的倍数.即能同时被6,7,8,9整除的四位数有18个.
答案:72
详解:用1,2,3,4,5,7各一次组成六位数,六个数字的和为22.若为11的倍数,则奇位和与偶位和的差只能为0.奇位填1,3,7,偶位填2,4,5,考虑到1,3,7可以互换,2,4,5可以互换,故共有种填法.同理奇位填2,4,5,偶位填1,3,7,也有36种填法,共72种填法.
答案:(1)24;(2)15
详解:(1)若两个数的乘积是3的倍数,则其中至少有一个数是3的倍数.1~10中是3的倍数的有3,6,9这3个数,不是3的倍数的有7个.分两种情况:<1>两个数中只有一个是3的倍数,有种选法;<2>两个数均为3的倍数,有
种选法.共有24种选法.另解:排除法:不加任何条件选两个数的方式减去,没有3的倍数的情况,
;(2)将1~10这10个数按除以3的余数不同进行分类.除以3余0的有(3,6,9), 除以3余1的有(1,4,7,10),除以3余2的有(2,5,8).若两数之和为3的倍数,分两种情况:<1>两个数除以3均余0.有
种选法.<2>其中一个数除以3余1,另一个数除以3余2.有
种选法.共有
种选法.
答案:56
详解:可以将题目条件分成两部分,先看能被8整除的数,,因此能被8整除的数有25个.再看含有数字8的数,我们可以从反面考虑较为方便,即看不含有数字8的数有多少个.百位可以选0或1(百位选0,表示其为两位数),十位可以选除8以外的9个数,个位也可选除8以外的9个数,共有
个数不含有数字8.0~199共有200个数,含有数字8的有
个.考虑到有些数既能被8整除,又含有数字8,这样的数有8,48,88,128,168,以及80和184,共7个数.因此吉利数有
个.
答案:3479
详解:若上升数的首位为1,剩下的3位可以从2~9中选,且顺序一定,有种选法,即首位为1的上升数有56个.同理,若首位为2,剩下的3位可以从3~9中选,有
种选法,即首位为2的上升数有35个.再考虑首位为3的上升数,依次为3456,3457,3458,3459,3467,3468,3469,3478,3479.即第100个上升数为3479.
答案:900;900;200
详解:六位“回文数”应为
的形式,a有1~9这9种选择,b有0~9这10种选择,c有0~9这10种选择,由乘法原理这样的数共有
个.五位“回文数”应为
的形式,a有1~9这9种选择,b有0~9这10种选择,c有0~9这10种选择,由乘法原理这样的数共有
个.
若回文数为4的倍数,则末两位为4的倍数,可为04,08,12,16,……,96共24个数,除去20,40,60,80这四个不满足条件的数,共有20种选择.考虑到c有0~9这10种选择,故共有
个五位回文数是4的倍数.“
练习:
答案:15
简答:4、5、6的最小公倍数是60,三位数中60的倍数有个.
答案:8
简答:用1,2,3,4各一次组成四位数,四个数字的和为10.若为11的倍数,则奇位和与偶位和的差只能为0.奇位填1,3,偶位填2,4,考虑到1,3,可以互换,2,4,可以互换,故共有种填法.同理奇位填2,4,偶位填1,3,也有4种填法,共8种填法.
答案:38;22
简答:解法同例3.
答案:55
简答:先看能被9整除的数,
,因此能被9整除的数有22个.再看含有数字9的数,仍可从反面考虑,即看不含有数字9的数有多少个.百位可以选0或1(百位选0,表示其为两位数),十位可以选除9以外的9个数,个位也可选除9以外的9个数,共有
个数不含有数字9.0~199共有200个数,含有数字9的有
个.考虑到有些数既能被9整除,又含有数字9,这样的数有9,99,189,90,198,共5个数.因此含有数字9或者能被9整除的有
个.
作业
答案:14,15
简答:,7的倍数有14个;
,
,
.除以7余2的有15个.
答案:35
简答:1~15中,除以3余0、余1和余2的都有5个.和为3的倍数,那么两数可能是余1+余2或者余0+余0.第一种有种选法,第二种有
种选法,一共有35种选法.
答案:432
简答:能被11整除,说明这个七位数奇数位之和与偶数位之和的差是11的倍数.而奇数位之和与偶数位之和的和是,那么奇数位之和与偶数位之和可以都是16,或者是27和5,后面这种情况不可能.偶数位有3个数字,和为16可能是
,
,
.那么一共可以组成
个能被11整除的七位数.
答案:157
简答:前两位为12的上升数有7个,前两位为13的上升数有6个,前两位为14的上升数有5个.那么第19个上升数是156,第20个上升数是157.
答案:72
简答:如果首位数字除以3余0,那么其余的所有数字也都除以3余0,这样的话一定会重复,这样的六位数不存在.如果首位数字除以3余1,那么后面的数字除以3的余数依次是2、1、2、1、2.这样的六位数有个.如果首位数字除以3余2,这样的六位数也有36个.一共有72个.
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