第二十二讲 物不知数与同余

1. 答案：（1）17；437．（2）106；216
   详解：（1）这是一道余同的问题．这个数最小是17，第二小是 ．（2）这是一道缺同的问题．这个自然数加上4即可被11和10整除， ，因此这个数最小为 ．第二小的是 ．
   
   

2. 答案：（1）123．（2）115
   详解：（1）这是一道余同的问题．满足条件的数可表示为 ，其中n为自然数．要求满足条件的最小三位数，应令n为5，即 ．（2）这是一道缺同的问题．满足条件的数可表示为 ，其中n为自然数．要求满足条件的最小三位数，应令n为4，即 ．
   
   

3. 答案：（1）23；（2）165
   详解：（1）采用逐步满足条件法．满足第二个条件的数为1，12，23，……发现23同时满足第一个条件，因此这个数最小是23；（2）战士的人数除以9余3，除以7余4，满足这两个条件最小的数是39，不断加63，直到满足限制条件，最后得到165．
   
   

4. 答案：（1）77、91；（2）16、8
   详解：（1） ，可知除数是1001的约数．其中大于23的有77和91；（2） ，可知除数是16的约数，可能是1、2、4、8和16．但因为余数不为0，只能是16和8．
   
   

5. 答案：467
   详解：兔子数除以3余2，除以5余2，除以7余5．所有满足前两个条件的数为 ，其中n为自然数，即2，17，32，47，……其中47同时满足第三个条件．所有满足条件的数为 ，其中n为自然数．n取4时满足条件，为467．
   
   

6. 答案：20
   详解：从整体的角度出发考虑问题，水果总数减去没有分出去的水果数，得到的数应为学生数的倍数． ，258的约数有1、2、3、6、43、86、129、258，其中43满足条件．苹果剩下20个，桔子剩下4个，梨剩下1个，因此剩下个数最多的水果剩下20个．
   
   

1. 答案：（1）3．（2）31
   简答：（1）这个自然数减去3以后是4和5的公倍数，所以最小是3；（2）这个自然数加上4以后是5和7的公倍数，所以最小是31．
   
   
   

2. 答案：999
   这是一道余同的问题．满足条件的数可表示为 ，其中n为自然数．要求满足条件的最大三位数，应令n为83，即 ．
   
   

3. 答案：122
   简答：使用逐步满足条件法，满足第一个条件的数依次为2、7、12、17，17正好除以7余3，那么同时满足两个条件的数最小是17．然后依次为52、87、122．最小是三位数是122．
   
   

4. （1）27、45、135；（2）24、12、6、3
   简答：（1） ，除数是135的约数．其中大于15的有135、45和27；（2） ，除数是24的约数，可能是1、2、3、4、6、8、12和24．但要满足余数不为0，除数只能是3、6、12和24．
   
   

1. 答案：1，12，23，34，45
   简答：除以11的余数都是1．

2. 答案：59
   简答：除以27余5的数有5、32、59、…，其中除以7余3的第一个数是59．

3. 答案：78
   简答：这个两位数是 的约数，其中比75大的只有78．

4. 答案：25
   简答：这个两位数是 的约数，只能是25．

5. 答案：473
   简答：先列出除以9余5的数，从中找除以7余4的数，再从剩下的数中找除以5余3的数．