第二讲 整除问题进阶

上次课我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用数字和判断等．现在我们再来学习一些新的判断方法．

1. 截断作和

能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的可以是一位数）之和能被99整除．

【分析】能同时被9和11整除，说明这个六位数能被99整除．想一想，99的整除特性是什么？

四位数 能同时被9和11整除，这个四位数是多少？

【分析】这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数．这个99的倍数可能是多少呢？

已知八位数 能被99整除，这个八位数是多少？

2. 截断作差

能被7、11、13整除的数的特征：从个位开始，每三位一截，奇数段之和与偶数段之和的差能被7或11或13整除．

【分析】根据能被7整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7整除，我们可以由此将问题简化．

四位数 能被7整除，那么这个四位数可能是多少？

接下来我们处理一些较复杂的问题．

【分析】在本题中， 能被13整除．这个数的位数太多，我们可以想办法使它变得简短一些．因为1001是13的倍数，而555555、999999分别是555、999与1001的乘积，说明它们都是13的倍数．那我们是不是可以去掉这个51位数上的一些5和9，并仍然保证它能被13整除？

已知多位数 能被13整除，那么中间方格内的数字是多少？

【分析】能被6，7，8整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被7整除，我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被7整除呢？题目只要求我们写出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可．

【分析】我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘积，因此不可能根据整除特征来考虑．我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数能被23整除，就是说它能写成23与另一个数的乘积．接下来，大家想到该怎么办了吗？

作业

1. 在7315，58674，325702，96723，360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些？

2. 四位数 能同时被9和11整除，这个四位数是多少？

3. 四位数 能被7整除，那么这个四位数是多少？

4. 已知多位数 （2012个258）能同时被7和13整除，方格内的数字是多少？
   
   

5. 已知多位数 能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？