【320517】【课本】5年级第03讲_质数与合数
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第三讲 质数与合数
什么是质数?
每一个数都能写成若干个数相乘的形式,考虑到任何一个数都能写成若干个1乘以它本身的形式,所以不考虑1作为乘数的情况:
,
,
……这些数都能拆成若干个不为1的数相乘的形式,我们把这样的数称为合数.而像2,3,7……这些不能拆成若干个不为1的数相乘形式的数,我们称之为质数.如果说得形象一点,质数就是“拆不开”的数,合数就是拆得开的数.
严格说来,质数就是只能被1和自身整除的数;合数是除了1和它本身之外,还能被其它数整除的数.注意,1既不是质数也不是合数.
我们先来看一个关于质数的小问题,提高大家对质数的熟悉程度:请写出所有颠倒个位十位之后还是质数的两位质数.
_____________________________________________(填写在横线上)
相信对100以内的质数比较熟悉的同学,做这个题目会很轻松.质数是我们后面学习的基础,因此同学们一定要牢牢记住常见的质数.请同学们在下面的横线上写出100以内的所有质数:
同学们还可以这样做:从大到小写出100以内的质数.如果你能一个不少地写出来,说明你对100以内的质数确实掌握得很牢固了^_^.
当然,同学们写出的这些质数只是质数大军中的冰山一角.在100以上还有无穷多个质数,比如接着100的就有四个质数:101,103,107,109.
【分析】1~56以内的质数有哪些?把它们列出来,然后依次找出对应的汉字,这句话就出来了.
自然数N是一个两位数,它是一个质数,而且N的个位数字与十位数字都是质数,这样的自然数有多少个?
【分析】对于第1问,依次枚举即可,可知这两个不同的质数一定都是奇数.那么后两问中的质数可以都是奇数吗?
如果三个互不相同的质数相加,和为52,这三个质数可能是多少?
通过前面的学习,我们对质数已经有了基本了解.下面我们来学习这一讲中最重要的内容:分解质因数.分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式.如:
,
,
.同学们请注意:分解式应该把质因数按从小到大的顺序写好,每个数分解质因数的形式是唯一的.
分解质因数的方法一般是短除法,如下图所示,我们将30分解质因数,在计算的过程中要善用各种特殊数的整除特性.
100在分解质因数时也可以写成:
;280在分解质因数时也可以写成
.这种写法更简洁更方便,其中位于质因数右上角,表示质因数个数的数叫作指数,如:
这里280的分解式中5和7的指数都是1,写的时候可以省略.
如何确定一个大数是不是质数呢?我们要判断197是不是质数,难道需要一一验算197以内的所有质数吗?
同学们不用担心,数学家们早就为我们准备了简单的方法,只需要试很少的几个就能判断.例如我们要判断197是否为质数,只需要验算15以内的质数就足够了!因为
比197大.类似的,如果我们要判断2011是不是质数,只需要验算45以内的质数,因为
比2011大.有了这个方法,同学们以后判断一个大数是不是质数就非常方便了.
「分析」将一个数分解质因数,可以从最小的质数开始,一个一个去试商,写成短除的形式.
请把下面的数分解质因数:
(1)373;(2)12660.
在整数问题中,有一类特殊的问题,专求乘积末尾连续0的个数.解决这类问题的方法同样是质因数分解.下面我们来看一个例题.
【分析】乘积的末尾要出现一个0,只需要乘数中凑出一个10,那么能凑出来几个10,末尾就有多少个连续的0.注意到
,我们只需要计算这个算式中含有的质因数2和5的个数就可以了.
算式
的计算结果的末尾有多少个连续的0?
分解质因数是学习数论问题时非常重要的方法,大家一定要能熟练的将一个数分解质因数,这应该作为一项基本的能力来培养.下面我们来看看如何利用分解质因数来解决实际的问题.
「分析」39270是三个自然数的乘积,于是先将39270分解质因数,再对这些质因数进行适当的组合,凑出题目中的三个连续自然数.由于连续自然数相互之间比较接近,所以凑的时候也必须尽量接近.
【分析】完全平方数是两个相同数的乘积,那么分解后它的每个质因数的次数都是偶数.而
,它不是一个平方数.它最小再乘上多少,结果就是平方数了?
通过上面例题的讲解,相信大家能体会到分解质因数的好处.它就像手术刀一样,把整数解剖开来,让我们把整数的组成结构看得一清二楚.很多看似复杂的问题,如果从分解质因数的角度来看,就会变得非常简单.
作业
(1)如果两个不同的质数相加等于39,那么这两个质数的乘积是多少?
(2)三个互不相同的质数相加,和为30,这三个质数的乘积是多少?)
自然数49,87,101,103,121中,哪些是质数?
请把下面的数分解质因数:
(1)240;(2)1080.
三个连续自然数的乘积为336,则这三个数的和是多少?
算式
的计算结果的末尾有多少个连续的0?
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