第一讲 整除问题初步

从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论．

什么是数论呢？

人类从学会数数开始，就一直和整数打交道．人们在对整数的应用和研究中，探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现了数论这门学科．

确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科．

我们就从最基本的性质——整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧．

数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇冠”．

1. 整除的定义

如果整数a除以整数b（ ），除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作 ．

如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b不能整除a．

2. 整除的一些基本性质：

   1. 尾数判断法

      1. 能被2，5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除．

      2. 能被4，25整除的数的特征：末两位能被4或25整除．

      3. 能被8，125整除的数的特征：末三位能被8或125整除．

   2. 数字求和法

能被3，9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除．

3. 奇偶位求差法

能被11整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除．

我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，……，统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2、4、6位，……，统称为偶数位．我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和”，把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”．

下面我们来看一下如何运用这些性质．

1. 判断下面11个数的整除性：
   23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407
   （1）这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？
   （2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？
   （3）哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？
   （4）哪些数能被11整除？
   【分析】关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不妨根据整除特性判断一下．

1. 在数列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314中哪些数能被4整除，哪些数能被3整除，哪些数能被11整除？

如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被3整除；同样的，如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11整除．从中我们可以总结出如下规律：

和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数a整除，那它们的和与差也都能被a整除．

2. 是一个四位数．文老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9，11，8整除．”问：文老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？
   【分析】本题包括三个小问题，我们逐个分析．需要分别用到9、11和8的整除特性．

2. 在 的方框内先后填上3个数字，分别组成3个三位数，使它们依次被3、4、5整除．

上面我们已经学习了如何利用“整除特征”，解决单个数的整除问题．下面我们再来看一看，涉及多个数的整除问题应该如何解决．

3. 牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上．但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“ ”，其中方框表示破了的洞．牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元．请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？
   【分析】这45名员工的工资都一样，所以总工资就能被45整除．我们没有学过被45整除的数的特征．但注意到 ，于是 应该能同时被5和9整除，那么先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？

3. 四位数 能被36整除，那么这个四位数可能是多少？

在例3中，我们并不知道45的整除特征，但是 ，能被45整除的数，也能被5和9整除，那么只需考虑5和9的整除特征即可．

请同学们注意，虽然 ，但是在考虑能否被45整除时，不能只考虑被3和15整除．你能想明白为什么吗？

4. 一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话．服务人员告诉他，目前只有形如“ ”的号码可以申请．也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动．王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码．请问：他申请的号码可能是多少？
   【分析】要被8整除，说明号码的后三位 是8的倍数．想一下，这样的三位数是唯一的吗？

4. 七位数 能被44整除，那么这个七位数是多少？
   
   
   
   

有时候满足题目条件的答案会非常多．如果只要求找出最大的或最小的，我们只需要从极端情况考虑即可．

5. 在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？最大是多少？
   【分析】要想让五位数最大且数字不重复，每个数位上的数字应该依次是9、8、…．如果想让五位数尽量小，是不是应该依次是1、2、…呢？

6. 由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？
   【分析】要想能被11整除，奇位和与偶位和的差应该是11的倍数．那么奇位和与偶位和的和又是什么呢？

作业

1. 下面有9个自然数：48，75，90，122，650，594，4305，7836，4100．其中能被4整除的有哪些？能被25整除的有哪些？

2. 有如下5个自然数：12345，189，72457821，333666，54289．其中能被9整除的有哪些？

3. 有如下5个自然数：3124，3823，45235，5289，5588．其中能被11整除的有哪些？

4. 是一个四位数．王老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9，11，8整除．”问：王老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？

5. 阿呆买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出： 元（表示不明数字）．请问总价应该是多少？