第三单元小数除法

3.4 循环小数

【基础巩固】

一、选择题

1．1.686868……的循环节是（   ）。

A．68 B．6868 C．686

2．3.584584584…的小数部分的第80位上的数字是（   ）。

A．3 B．4 C．5 D．8

3．下边的除法竖式，如继续往下算，商等于（   ）。

A．2.012 B． C．

4．下面各数中（   ）是循环小数。

A．31.7272 B． C．7.66666

5．计算1.6÷0.11时，下列说法错误的是（   ）。

A．商一定小于被除数B．商的最高位是十位

C．商是一个循环小数D．被除数和除数的小数点同时向右移动两位

二、填空题

6．1.746746…用简便形式表示这个循环小数是( )，它的循环节是( )。

7．5.495495…是( )小数，用简便记法记作( )，保留两位小数约是( )。

8．在2.333…、4.15、6.8、7.353535、5.43672…这几个数中，有限小数有( )，循环小数有( )。

9．2.2÷9的商是( )小数，商可简写成( )，商保留两位小数约是( )。

10．下图是一个两位数除以两位数的竖式，这个除法算式的商是( )。

三、竖式计算题

11．列竖式计算。

7.6×0.82＝    11.7÷0.18＝     4÷15＝（用循环小数表示商）

【能力提升】

四、解答题

12．循环小数 中，小数点后第300位上的数字是几？这300个数字的和是多少？

13．3台磨粉机5.5小时磨面粉13吨。照这样计算，6台磨粉机1小时能磨面粉多少吨？（得数先用循环小数表示，再保留两位小数）

14．3÷7的商是循环小数，那么商的小数点后的第十位上的数字是几？小数部分前二十位上的所有数字之和是多少？

【拓展实践】

15．13.7÷11＝1.2 ，商的小数部分某一位前数字之和是906，这一位是小数部分第几位？

参考答案

1．A

【解析】

【分析】

一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节；据此解答。

【详解】

1.686868……的循环节是68。

答案：A

【点评】

掌握循环节的概念及特点是解题的关键。

2．D

【解析】

【分析】

找出循环节及循环节的数字，用80除以循环节的位数得出是第几个循环节，然后看余数是几就是循环节的第几个数字，没有余数就是循环节的最后一个数字。

【详解】

3.584584584…的循环节是584，是三位数

80÷3＝26⋯⋯2，所以第80位上的数字是8。

答案：D

【点评】

本题考查循环小数，明确该循环小数的循环节是解题的关键。

3．C

【解析】

【分析】

观察竖式，十分位落下4，即余数是4，千分位的余数也是4，再算下去，商就是百分位和千分位上的1、2重复循环，根据循环小数的记数方法，表示出商即可。

【详解】

根据分析，商等于 。

答案：C

【点评】

循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“· ”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。

4．B

【解析】

【分析】

一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。像5.333…和7.14545…都是循环小数。循环小数一定是无限小数；据此解答。

【详解】

A．31.7272是一个有限小数，一定不是循环小数，错误；

B． 是一个循环小数，循环节是123，正确；

C．7.66666是一个有限小数，一定不是循环小数，错误。

答案：B

【点评】

掌握循环小数的意义是解答题目的关键。

5．A

【解析】

【分析】

可结合商与被除数的关系，先观察除数与1的大小关系，再推理出商是大于还是小于被除数；计算出商，观察商的最高位是哪一位以及商是否是循环小数；最后通过数出除数的小数位数，来确定被除数和除数的小数点是否同时向右移动两位。

【详解】

A．因为：0.11＜1，所以1.6÷0.11＞1.6，原题说法错误；

B．1.6÷0.11＝ ，因此商的最高位是十位，原题说法正确；

C．1.6÷0.11＝ ，所以商是一个循环小数，原题说法正确；

D．因为除数0.11是两位小数，所以计算过程中，被除数和除数的小数点要同时向右移动两位，原题说法正确。

答案：A。

【点评】

掌握商与被除数的关系，可以帮我们预测一个小数除法算式的结果与被除数的关系；其次要能够正确计算小数除法以及理解循环小数的概念。

6．      746

【解析】

【分析】

一个循环小数的小数部分依次不断地重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节；循环小数的简写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小圆点。

【详解】

由分析可知：

1.746746…用简便形式表示这个循环小数是 ，它的循环节是746。

【点评】

本题考查了循环小数的意义，如何用简便形式表示循环小数，明确循环节的定义是解题的关键。

7．循环          5.50

【解析】

【分析】

根据循环小数的定义：一个小数从小数点后某一位起一个数字或几个数字依次不断的重复出现的小数叫做循环小数；用简便方法：在循环节的第一位数字和最后一位数字上面打上小圆点即可；要求保留两位小数，要看小数点后第三位数字是否满“5”即可。

【详解】

由分析可知：

5.495495…是循环小数，用简便记法记作 ，保留两位小数约是5.50。

【点评】

此题考查了循环小数的概念、简便记法，以及用“四舍五入”法求近似值的方法。

8．4.15、6.8、7.353535     2.333…

【解析】

【分析】

（1）小数部分的位数有限的小数是有限小数；小数部分的位数无限的小数是无限小数；

（2）一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。像5.333…和7.14545…都是循环小数。

【详解】

有限小数有：4.15、6.8、7.353535

循环小数有：2.333…

【点评】

掌握有限小数和循环小数的意义是解答题目的关键。

9．循环          0.24

【解析】

【分析】

无限循环小数：一个无限小数，如果从小数部分的某一位起，都是由一个或几个数字依照一定的顺序连续不断地重复出现，这样的小数叫做“无限循环小数”，简称“循环小数”。重复出现的一个或几个数字，叫做“循环节”。记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“· ”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。这样的圆点叫做“循环点”。

根据四舍五入法保留近似数。

【详解】

2.2÷9＝ ≈0.24，2.2÷9的商是循环小数，商可简写成 ，商保留两位小数约是0.24。

【点评】

关键是掌握小数除法的计算方法，掌握循环小数的记数方法，以及用四舍五入法保留近似数。

10．

【解析】

【分析】

根据上面的除法竖式可知，所得余数中出现两次数字“7”，说明商是一个循环小数，从余数“7”的下一位商开始循环，也就是商的小数部分从“6”开始循环，说明循环节是两个数字“63”。

【详解】

由分析得，两位数除以两位数的竖式，这个除法算式的商是 。

【点评】

此题考查的是小数除法的应用，掌握小数除法的计算算理是解题关键。

11．6.232；65；

【解析】

【分析】

计算小数乘法时，先按照整数乘法计算出积，再点小数点，看因数中一共有几位小数就从积的右边起数出几位点上小数点，位数不够时用0补足，小数部分末尾的0要去掉；

计算小数除法时，先移动除数的小数点使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足），然后按照除数是整数的小数除法进行计算；

循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点），表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。

【详解】

7.6×0.82＝6.232   11.7÷0.18＝65  4÷15＝ （用循环小数表示商）

        

12．3；501

【解析】

【分析】

计算小数点后第300位上的数字即计算 中数字1后面第（300－2）位上的数字，计算（300－2）里面有多少个完整的循环节，余数是几就从循环节的首位往后数几位数字；计算每组循环节的数字之和，再加上循环节前面的2个数字和余下数字的和，据此解答。

【详解】

的循环节是302，每个循环节一共有3个数字

（300－2）÷3

＝298÷3

＝99……1

余数是1，循环节的第一个数字是3，所以小数点后第300位上的数字是3。

2＋1＋99×（3＋0＋2）＋3

＝2＋1＋99×5＋3

＝2＋1＋495＋3

＝3＋495＋3

＝498＋3

＝501

答：小数点后第300位上的数字是3，这300个数字的和是501。

【点评】

把循环节转化为简单的周期问题，掌握周期问题的解题方法是解答题目的关键。

13．4.73吨

【解析】

【分析】

先求出1台磨粉机1小时磨面粉的吨数，再乘以磨粉机的台数即为6台磨粉机1小时能磨面粉的吨数。

【详解】

13÷3÷5.5×6

＝13×2÷5.5

＝4.

≈4.73（吨）

答：6台磨粉机1小时能磨面粉4.73吨。

【点评】

考查了小数除法，解答本题的关键是求出每台磨面机每小时加工面粉重量。

14．5     87

【解析】

【详解】

3÷7＝

10÷6＝1……4

第十位上的数字是5

20÷6＝3……2

(4＋2＋8＋5＋7＋1)×3＋4＋2＝87

答：第十位上的数字是5．小数部分前二十位上的所有数字之和是87．

15．203位

【解析】

【分析】

1.2 的循环节是45，一个循环节是2位，它的和是4＋5＝9，906－2的差除以9的商是循环节个数，余数是这位数字之前最后一个循环节数字之和，1＋循环节个数×2＋1＋1即可。

【详解】

4＋5＝9，循环节中数字的和；

（906－2）÷（4＋5）＝100……4，100是循环节的个数，4表示循环节第一个数4；

100×2＋1＋1＋1＝203（位）

答：这一位是小数部分第203位。

【点评】

注意1.2 循环节之前还有一个数字2不要忽略了，解题关键是根据循环节找出这一位小数前面过了几个循环周期，以及整个循环周期之后小数位数，最后记得加上它本身占1位。