2021-2022学年五年级数学下册典型例题系列之

期中复习提高篇（解析版）

编者的话：

《2021-2022学年五年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

本专题是期中复习提高篇。本部分内容考察第一单元至第四单元稍困难的题型，难度中等，属于核心内容，考点众多，建议作为期中复习核心内容进行讲解，一共划分为十七个考点，欢迎使用。

【考点一】正方体的移动引起的平面图形的变化。

【方法点拨】

小正方体的不同位置、不同摆法会确定不同的平面图，要使平面图不变，要让小正方体的位置不出现在视野中。

【典型例题】

小明用4个小正方体摆成了 ，他想再添一个小正方体。

（1）从前面看形状不变，有（ ）种添法；

（2）从右边看形状不变，有（ ）种添法。

解析：

小明用4个小正方体摆成了 ，他想再添一个小正方体。

（1）从前面看形状不变，有 6种添法；

（2）从右边看形状不变，有 5种添法。

【对应练习】

用4个同样大小的正方体摆成下面的长方体，按下面的要求再添加一个同样大小的正方体，各有多少种不同的摆法？

（1）从下面看到的仍是 ，共有（ ）种不同的摆法。

（2）从侧面看到的是　 ，共有（ ）种不同的摆法。

（3）从侧面看到的是 ，共有（ ）种不同摆法。

（4）从侧面看到的仍是 ，共有（ ）种不同摆法。

（5）从上面看到的是 ，共有（ ）种摆法。

（6）如果从（ ）面看到的是 ，那么它另外两个面分别是什么样的？画出来。

解析：

（1）从下面看到的仍是 ，共有4种不同的摆法。

（2）从侧面看到的是 ，共有8种不同的摆法。

（3）从侧面看到的是 ，共有4种不同摆法。

（4）从侧面看到的仍是 ，共有2种不同的摆法。

（5）从上面看到的是 ，共有1种摆法。

（6）如果从上面看到的是 ，那么从侧面看到的是 ；从正面看到的是 。

【考点二】分解质因数。

【方法点拨】

1.分解质因数：

指的就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。

例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。

2.注意：

①分解质因数是解决数论最有效最直接的途径；

②100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个。

【典型例题1】

在横线里填不同的质数。

42＝　 　×　 　×　 　

解析：2；3；7

【典型例题2】

已知甲数=2×3×5，那么甲数的因数共有多少个？

解析：8

【典型例题3】

已知a＝2×3×7，b＝2×5×7，a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。

解析：210     14

a和b的最小公倍数是2×3×5×7＝210；

它们的最大公因数是2×7＝14。

【典型例题4】

三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。

解析：210分解质因数：210=2×3×5×7

可知这三个数是5、6和7。

【典型例题5】

盒里有48块糖块，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，共有多少种拿法？每次拿出多少个？

解析：

48=2×2×2×2×3

不一次拿出可以分为以下4组：

48=2×24=3×16=4×12=6×8

答：有8种不同拿法，每次分别拿出2、3、4、6、8、12、16、24个。

【考点三】偶数与奇数。

【方法点拨】

1.偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。

2.奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n-1表示。

【典型例题1】

用“偶数”和“奇数”填空。

偶数+偶数=（ ）

奇数+奇数=（ ）

（ ）+偶数=奇数

偶数×偶数=（ ）

奇数×（ ）=偶数

奇数-（ ）=偶数

解析：

偶数；偶数；奇数；偶数；奇数；奇数

【典型例题2】

三个连续的偶数和是96，这三个数分别是多少？

解析：

96÷3=32

32+2=34

32-2=30

答：这三个连续偶数分别是30、32、34。

【典型例题3】

三个连续奇数的和是63，这三个奇数分别是多少？

解析：

63÷3=21

21-2=19

21+2=23

答：略。

【考点四】质数的复杂应用。

【方法点拨】

1.一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。2. 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。

3. 100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个。

【典型例题1】

两个质数的和是99，这两个质数的乘积是多少？

解析：奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数。两个质数的和是奇数，所以，一定有一个质数是偶数，偶数中只有2是质数。

99=2+97

97×2=194

答：这两个质数的乘积是 194。

【典型例题2】

两个质数的积是202，这两个质数的和是多少？

解析：由于两个质数的积是202，因此这两个质数不可以都是奇数，所以必有一个是2，可得：

所以这两个质数的和是：

答：这两个质数的和是103。

【典型例题3】

两个质数的和是20，积是91，这两个质数分别是多少？

解析：

7+13=20

7×13=91

答：这两个质数分别是7和13。

【考点五】棱长扩倍问题。

【方法点拨】

1.正方体的棱长扩大到原来的n倍，它的表面积就扩大到原来的n²倍。

例如：若正方体的棱长扩大到原来的3倍，则它的表面积就扩大到原来的9倍。

2.长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，它的表面积就扩大到原来的n²倍。

【典型例题1】

正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的表面积扩大到原来的（ ）倍。

A.3 B.9 C.12 D.27

解析：B

【典型例题2】

一个长方体的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，把它的长、宽、高都扩大至原来的2倍，它的表面积扩大为原来的多少倍?

解析：4倍。

【考点六】正方体表面积的三种增减变化方式。

【方法点拨】

表面积的增减变化问题主要有三种，一种是切片问题，表面积会相应增加，一种是拼接问题，表面积会相应减少，一种是高的变化引起的表面积变化。

【典型例题1】

把一个棱长是2cm的正方体切成两个完全一样的长方体后，表面积比原来增加了（ ）平方厘米，每个小长方体的表面积是（ ）平方厘米。

解析：8；16

【典型例题2】

两个棱长都是4厘米的正方体，拼成一个长方体。长方体的表面积是( )平方厘米，比两个正方体的表面积之和少( )平方厘米。

解析：

拼成一个长方体后，表面积减少的部分为正方体的两个表面。据此，利用正方体的表面积公式，先求出两个正方体的表面积，再将其减去两个面的面积，求出长方体的表面积。根据正方形的面积公式，求出长方体的表面积比正方体的少多少。

4×4×6×2－4×4×2

＝192－32

＝160（平方厘米）

4×4×2＝32（平方厘米）

答：长方体的表面积是160平方厘米，比两个正方体的表面积之和少32平方厘米。

【典型例题3】

一个正方体的底面周长是40厘米，如果把它的高增加3厘米，则表面积比原来增加多少平方厘米？

解析：

根据题意可知，增加的面为前后、左右四个面，根据棱长＝底面周长÷4求出棱长，再根据“表面积增加的数量＝棱长×增加的高度×4”，解答即可。

40÷4＝10（厘米）

10×3×4

＝30×4

＝120（平方厘米）

【考点七】求不规则立体图形的表面积。

【方法点拨】

在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。

【典型例题】

如下图，在棱长是1分米的正方体的一个顶角锯下一个棱长1厘米的小正方体，剩下部分的表面积是( )平方分米。

解析：

根据题图可知，从正方体的一个顶角锯下一个小正方体后，表面积减少了3个小正方形的面，同时又增加了3个小正方形的面，所以表面积不变，据此解答即可。

1×1×6＝6（平方分米）

【对应练习】

如图，一个棱长3分米的正方体。在它的一个顶点处挖掉一个棱长1分米的小正方体。求剩下部分的表面积。

解析：

32×6＝54（平方分米）

答：剩下部分的表面积是54平方分米。

【考点八】求不规则或组合立体图形的体积。

【方法点拨】

求组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加，或用图形整体的体积减去空白部分的体积。

【典型例题1】

有一个形状如下图所示的零件，求它的体积。（单位：cm）

解析：

正方体：3×3×3=27（立方厘米）

长方体：5×12×6=360（立方厘米）

组合图形：27+360=387（立方厘米）

答：略。

【典型例题2】

下面是某一零件，你能求出它的体积吗？（单位：厘米）

解析：2×8×6-1×4×3=84（立方厘米）

答：略。

【考点九】长方形折叠问题。

【方法点拨】

求出对应的长、宽、高即可。

【典型例题1】

一张长30厘米，宽18厘米的长方形硬纸板，在它的四角上各剪去一个边长为2厘米的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒（接头处忽略不计）。这个纸盒的容积是多少毫升?

解析：

长：30-2×2=26（厘米）

宽：18-2×2==14（厘米）

高：2厘米

容积：26×14×2=728（毫升）

答：略。

【对应练习1】

在一张长 25 分米、宽 20 分米的长方形铁皮的四个角上各剪去一个边长是 5 分米的正方形，然后折成一个长方体无盖铁盒，这个铁盒的容积是多少？（铁皮厚度忽略不计）

解析：

长：25-5×2=15（分米）

宽：20-5×2=10（分米）

高：5分米

答：略。

【考点十】等积转化问题。

【方法点拨】

熔铸、锻造以及倒水等问题，体积是不变的。

【典型例题】

一个正方体油箱，容积是216立方分米，把这一箱油倒入另一个长方体油箱内。已知长方体油箱长8分米，宽5分米，这个油箱中油深多少分米？

解析：8×5=40（平方分米）

216÷40=5.4（分米）

答：略

【对应练习】

把一个棱长为 的正方体的钢坯，锻造成一个长 ，宽 的长方体钢件，这个钢件高是多少厘米？

解析：8×8×8÷（32×10）=1.6（厘米）

答：略。

【考点十一】排水法初步。

【方法点拨】

形状不规则的物体可以用排水法求体积：

排水法的公式：V物体 =V现在－V原来

也可以 V物体 =S×(h现在- h原来)

V物体 = S×h升高

【典型例题】

小明在一个底面积为48dm²的长方体水槽中放了一块石头（完全浸没），水面上升了2cm，这块石头的体积有多大？

解析：2厘米=0.2分米

48×0.2=9.6（立方分米）

【对应练习】

一个长50厘米，宽40厘米，高40厘米的长方体鱼缸中水深25厘米，放入几个梨子后，水面上升了3厘米，这几个梨子的体积是多少？

解析：50×40×3=6000（立方厘米）

答：略。

【考点十二】分率与数量的区分。

【方法点拨】

此类题型关键是弄清求的是具体的数量还是分率，求具体的数量平均分的是具体的数量，求分率平均分的是单位“1”。

【典型例题1】

把2米长的绳子平均剪成5段，每段长( )米，每段是全长的( )。

解析：     

【典型例题2】

下图涂色部分的面积是 平方米，涂色部分占总面积的 。

解析： ；

【典型例题3】

一根绳子，第一次截去它的 ，第二次截去 米，两次截去的绳子的长度相比较（       ）。

A．第一次截去的长 B．第二次截去的长 C．无法确定

解析：C

【考点十三】分数基本性质的应用。

【方法点拨】

分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。

【典型例题1】

一个分数是 ，如果把它的分子减去15，要使这个分数的大小不变，分母应减去几？

解析：20-15=5，20÷5=4，32÷4=8，32-8=24

【典型例题2】

的分母增加21，要使分数的大小不变，分子应加上多少?

解析：9

【典型例题3】

写出比 大而比 小的分数。

解析： ； ； ；

【考点十四】求最大公因数和最小公倍数的两种特殊情况。

【方法点拨】

1.当两个数是互质关系时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。

2.当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。

【典型例题1】

b和t是互质数，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。

解析：1     bt

【典型例题2】

如果m＝9n（m和n都是不为0的整数），那么m和n的最大公因数是（       ）。

A．m B．9 C．n D．mn

解析：C

【典型例题3】

3和9的最小公倍数是( )

解析：9

【考点十五】最小公倍数的应用：同余数问题。

【方法点拨】

同余数问题：余数相同时，减去余数得到整除。

遇到有剩余且剩余的数量一样多时，先求最小公倍数，再把剩余的加上。

【典型例题】

王老师给学生们分糖果，每人分到的糖果一样多，无论分给3个人还是分给5个人，最后都剩下2块糖果，那么王老师最少有多少块糖果?

解析：

列式：[3，5]=3×5=15

15+2=17（块）

答：王老师最少有17块糖果。

【对应练习】

把一些苹果平均分给小朋友，无论是分给6人，还是分给8人，都正好多3个，这些苹果最少有多少个?（苹果数大于10）

解析：2×3×4+3=27（个）

【考点十六】最小公倍数的应用：同差问题。

【方法点拨】

同差问题：差相同时，加上差得到整除。

【典型例题】

有一些糖果，平均分给8个人多7块，平均分给6个人多5块，这些糖果最少有多少块?

解析：

由题可知，这些糖果加上1块就变为了8和6的公倍数，通过短除法求出最小公倍数为24，则这些糖果最少有23块。

【对应练习】

某班同学排队，排成7排多3人，排成8排少4人。这个班至少有( )人。

加上4人后，总人数既是7的倍数，也是8的倍数；

解析：

（人）

（人）

所以这个班至少有52人。

【考点十七】约分的应用。

【方法点拨】

该类题型要根据约分的意义，利用乘除法的互逆关系求原分数。

【典型例题】

化简一个分数时，用2约了一次，用3约了两次后，这时得到最简分数是 ，原来的这个分数是( )，约分时是根据( )。

解析： ；分数的基本性质