2021-2022学年五年级数学下册典型例题系列之

第二单元因数与倍数拓展篇（解析版）

编者的话：

《2021-2022学年五年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

本专题是第二单元因数与倍数拓展篇。本部分内容主要是因数与倍数单元的思维拓展题型，在选题上虽偏向奥数，但契合教学知识，可作为学习进阶知识的门槛，题目综合性强，难度较大，建议根据学生掌握情况选择性进行讲解，一共划分为五个考点，欢迎使用。

【考点一】倍数特征的拓展应用一。

【方法点拨】

个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。

个位上是0或5的数是5的倍数。

一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

【典型例题】

如果五位数□436□是45的倍数，那么这个五位数是多少？

解析：我们可以把45分解成9×5，这个五位数要是45的倍数，就一定能被5和9整除，是5的倍数，末尾的数字一定是0或5，还要满足各位数字之和是9的倍数。

当末尾数字填0时，首位数字填5，即54360

当末尾数字填5时，首位数字填9，即94365

答：这个五位数是54360和94365。

【对应练习1】

一个四位数8A1B能同时被5和6整除，这个四位数是多少？

解析：8010。

【对应练习2】

在358后面补上三个数字组成一个六位数，使它能被4、5、9整除，这个六位数最小是多少？

解析：358020。

【对应练习3】

一个六位数23A56A是88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？

解析：A为8或0，所以，商为2620或2711。

【对应练习4】

学校买来72只桶，共交了□67.9□元钱，（□内的数字辨认不清）请你算出每只桶要用多少元？

解析：我们可以把□67.9□元看成□679□分，因为是72个桶的总价，所以，这个数一定能被72整除，72=8×9，可以根据能被8和9整除的特征求出各□的数。

被 8 整除的特征是末三位数字之和是8的倍数，所以，79□的□内应填2。又知□+6+7+9+2=24+□能被9整除，因此前面□内应填3。那么72只桶总价钱是 367.92 元，367.92÷72=5.11（元）

答：每只桶要用5.11元。

【考点二】倍数特征的拓展应用二。

【方法点拨】

个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。

个位上是0或5的数是5的倍数。

一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

【典型例题】

一个大于2的自然数，除以3余2，除以5余2，除以7也余2，那么这个自然数最小是多少？

解析：这个自然数分别除以3、5、7余数都为2，那么这个数减去2就是3、5、7的倍数，即：

这个数是3、5、7的最小公倍数再加上2。

[3、5、7]=105

105+2=107

答：这个数最小是107。

【对应练习1】

已知某小学六年级学生超过100人，而不多于140人，将他们按每组12人分组，多3人，按每组8人分，也多3人，求出该校六年级的确切人数。

解析：

[12，8]=24

24×5+3=123（人）

答：略。

【对应练习2】

甲、乙两个数是一位数的自然数，它们的和被5除余2，它们的差能被5整除，那么甲数被5除，余数是多少？

解析：

由题意，和被5除余2，则余数之和为2；差被5整除，则余数相同。

所以，甲的余数是1。

【对应练习3】

某数加上22的和除以9余4，这个数加上31的和除以9余几？

解析：余2。

【考点三】倍数特征的拓展应用三。

【方法点拨】

个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。

个位上是0或5的数是5的倍数。

一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

【典型例题】

三个数的和是 555，这三个数分别能被3、5、7 整除，而且商都相同，这三个数分别是多少？

X÷3=A

Y÷5=A

Z÷7=A

3A+5A+7A=555

解得 A=37

X=3×37=111

Y=5×37=185

Z=7×37=259

答：这三个数分别是111、185、259。

【对应练习1】

三个数的和是351，这三个数分别能被7、9、11整除，而且商相同，这三个数分别是多少？

解析：91、117、143

【对应练习2】

已知 A 是一个自然数，它是15的倍数，并且它的各个数位上的数字只有0和8两种，A 最小是多少？

解析：8880

【考点四】分解质因数的拓展应用。

【方法点拨】

分解质因数指的就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。

例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。

【典型例题】

四个连续偶数的乘积是5760，求这四个数各是多少？

解析：

5760=2×2×2×2×2×2×2×3×3×5=6×8×10×12

答：这四个连续偶数是6、8、10、12。

【对应练习】

四个连续偶数的乘积是13440，求这四个偶数各是多少？

解析：8，10，12，14

【考点五】分解质因数的实际应用。

【方法点拨】

分解质因数指的就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。

例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。

【典型例题】

有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分法？

解析：先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10颗，也不能多于50颗，所以，每份有2×2×3=12颗，2×7=14颗，3×7=21颗，2×2×2×3=24颗，2×3×7=42颗，共有5种分法。

【对应练习1】

有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人。有哪几种分法？

解析：因为60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60；又因为每组不少于6人，也不能多于15人，只有6，10，12，15，共4种分法：当每组是6人时，可以分成10组；当每组是10人，可以分成6组；当每组是12人时，可以分成5组；当每组是15人时，可以分成4组。

【对应练习2】

把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组，每小组人数在10至25人之间，求每组的人数及分成的组数。

解析：先把462分解质因数，再用质因数相乘使积在10到25之间。

462=2×3×7×11

根据题目要求，应在2，3，7和11中选用若干个数，使它们的乘积在10到25之间，于是得三种答案：

（1）2×7=14，,每组11人，分为33组；

（2）3×7=21，每组21人，分为22组；

（3）2×11=22，每组22人，分为21组。

【对应练习3】

学生1430人参加团体操，分成人数相等的若干队，每队人数在100至200之间,问有哪几种分法?

解析：

1430=2×5×11×13

①2×5×11=110（人），即每队110人，分13队；

②2×5×13=130（人），即每队130人，分11队；

③11×13=143（人），即每队143人，分10队。