2021-2022学年五年级数学下册典型例题系列之

第二单元因数与倍数基础篇（解析版）

编者的话：

《2021-2022学年五年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

本专题是第二单元因数与倍数基础篇。本部分内容主要是考察因数与倍数单元的基础知识和基本概念，包括因数和倍数的定义及特点，2、5、3的倍数特征，质数与合数的定义及特征，分解质因数等，考试多以填空、选择、判断等基础题型为主，题目比较简单，建议重点进行讲解，一共划分为十三个考点，欢迎使用。

【考点一】因数与倍数的定义及关系。

【方法点拨】

1.因数与倍数的定义及关系：

在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。

例如：a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。

2.三点注意：

（1）因数与倍数是相互依存的：

在谈因数与倍数时，一定要说明一个数是另一个数的因数或倍数，不能单独说一个数是因数或是倍数。

（2）0不作为研究因数与倍数的对象。

（3）倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。

【典型例题】

根据18÷2=9，说说（ ）是（ ）的倍数，（ ）是（ ）的因数。

解析：根据已知条件，几个量之间的关系，我们可以把除法算式转化乘法算式。

2×9=18

所以18是2和9的倍数，2和9是18的因数。

【对应练习1】

在42÷3=14中，3和14是42的（ ），42是3的（ ），42也是14的（ ）。

解析：在42÷3=14中，3和14是42的因数，42是3的倍数，42也是14的倍数。

【对应练习2】

根据27÷3=9，我们可以说（ ）是（ ）和（ ）的倍数，（ ）和（ ）是（ ）的因数。

解析：根据27÷3=9，我们可以说27是3和9的倍数，3和9是27的因数。

【对应练习3】

5×6＝30中，（ ）是（ ）和（ ）的倍数；（ ）和（ ）是（ ）的因数。

解析：30；5；6；5；6；30

【考点二】找一个数的因数及因数的特征。

【方法点拨】

1.找一个数的因数的方法：

列乘法或除法算式。

2.因数的特征：

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

【典型例题】

18的因数有哪些？

解析：

18的因数有：1、2、3、6、9、18。

【对应练习1】

10的因数有（ ），其中最大因数是（ ），最小因数是（ ）。

解析：

10的因数有：1，2，5，10共4个；其中最小的因数是1；最大的因数是10。

【对应练习2】

请你有序写出36的因数有哪些？

解析：

1、2、3、4、6、9、12、18、36

【对应练习3】

写出下面各数的因数。

25 12 49 36.

解析：

25的因数：1、5、25；

12的因数：1、2、3、4、6、12；

49的因数：1、7、49；

36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36。

【考点三】找一个数的倍数及倍数的特征。

【方法点拨】

1.找一个数的倍数的方法：

用这个数依次乘非0自然数。

2.倍数的特征：

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。

注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。

【典型例题】

写出50以内6的倍数。

解析：

50以内6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48。

【对应练习1】

写出100以内15的全部倍数。

解析：

100以内15的倍数有：15，30，45，60，75，90。

【对应练习2】

写出50以内8的倍数。

解析：

8、16、24、32、40、48

【对应练习3】

若一个数的最小倍数是12，请写出这个数在50以内的倍数。

解析：

12、24、36、48

【考点四】因数与倍数的综合题型。

【方法点拨】

1.因数的特征：

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

2.倍数的特征：

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。

注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。

【典型例题】

一个数，既是40的因数，又是5的倍数，符合条件的数有（ ）个。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：C

【对应练习1】

一个数，它既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（ ）。

A.6 B.12 C.24 D.144

解析：B

【对应练习2】

猜数，它是5的倍数，又是50的因数，这个数是（ ）。

解析：5、10、25、50

【对应练习3】

有一个电话号码是****﹣ABCDEFG。已知：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5的最大因数；D既是4的倍数，又是4的因数；E的所有因数是1、2、3、6；F的所有因数是1、3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？

解析：

A：5的最小倍数是5；

B：最小的自然数是0；

C：5的最大因数是5；

D：它既是4的倍数，又是4的因数，这个数是4；

E：它的所有因数是1，2，3，6，这个数是6；

F：它的所有因数是1，3，这个数是3；

G：它只有一个因数，这个数是1。

由此得：这个电话号码是****﹣5054631。

【考点五】2、5、3的倍数特征。

【方法点拨】

1. 2、5、3的倍数的特征：

（1）个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。

（2）个位上是0或5的数是5的倍数。

（3）一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

2. 2、5、3倍数特征之间的联系：

3.四种数的相关概念：

（1）偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。

（2）奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n-1表示。

（3）整数：像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整数。

（4）自然数：像 0、1、2、3、4、……都是自然数。

4.倍数特征的补充：

（1）4或25的倍数特征：一个数的末两位是4或25的倍数；

（2）8或125的倍数特征：一个数末三位是8或125的倍数；

（3）11的倍数特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差是 11 的倍数。

（4）7、11、13的倍数特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数）是7、11、13的倍数。

【典型例题1】

要使4□6是3的倍数，□里可以填（ ）。

A．1、2、3 B．2、4、6 C．2、5、8

解析：C

【典型例题2】

一个两位数，既是2的倍数，又是5的倍数，这个数最大是（　　）

A．90 B．92 C．95

解析：A

【典型例题3】

食品店有75个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？为什么？

解析：75满足2、3、5的倍数的特征。

【对应练习1】

要使17□50同时是2、3、5的倍数，那么□里最大能填（ ），最小能填（ ）。

解析：8，2

【对应练习2】

在24□中，方框里填上一个数字，使这个数同时是2、3、5的倍数。 　　

A．1 B．2 C．0

解析：C

【对应练习3】

82至少要加上（ ）才是3的倍数；至少要加上（ ）才能既是2的倍数，又是5的倍数。

解析：2，8

【对应练习4】

已知□8、59□、□531、76□32、□□6都是3的倍数。

（1）□8中□里可以填（ ）。

（2）59□中□里可以填（ ）。

（3）□531中□里可以填（ ）。

（4）76□32中□里最大可以填（ ），最小可以填（ ）。

（5）□□6中□里两数的和最大是（ ），最小是（ ）。

解析：

（1）1、4、7；（2）1、4、7；（3）3、6、9；（4）9、0；（5）18，3

【考点六】根据2、5、3的倍数特征组数。

【方法点拨】

根据倍数特征组数，需要熟悉2、5、3的倍数特征，能够根据不同倍数的特征灵活变换。

【典型例题】

从7，0，2，5四个数字中取出三个，按要求组成三位数（要求写出全部）。

2的倍数有：　 　 3的倍数有：　 　

5的倍数有：　 　

既是2的倍数又是3的倍数有：　 　

既是2的倍数又是5的倍数有：　 　

既是3的倍数又是5的倍数有：　 　

既是2、3的倍数，又是5的倍数有：　 　

解析：

2的倍数有：502、702、750、720、270、570；

3的倍数有：270、720、570、750、705、5 07、702、207；

5的倍数有：270、720、570、750、705、205；

既是2的倍数又是3的倍数有：270，720、750、702、570；

既是2的倍数又是5的倍数有：270，720、750、570，250，520；

既是3的倍数又是5的倍数有：270，720，570，750；

既是2、3的倍数，又是5的倍数有270、720、750、570；

【对应练习1】

按要求写数

用4、5、8、0这4个数字组成符合下列要求的三位数。

（1）是2的倍数，并且最大：　 　

（2）是5的倍数并且最小：　 　

（3）既是偶数，又是3的倍 数：　 　

（4）既含有因数3又含有因数5，并且十位数字是8：　 　

（5）同时是3和5的倍数，并且百位与个位数字之和是9的倍数：　 　

解析：

（1）是2的倍数，并且最大：854

（2）是5的倍数并且最小：405

（3）既是偶数，又是3的倍数：450、540、480、840、504、804、408

（4）既含有因数3又含有因数5，并且十位数字是8：480

（5）同时是3和5的倍数，并且百位与个位数字之和是9的倍数：405

【对应练习2】

写出符合要求的最小的两位数：

（1）既是2的倍数，又是3的倍数：（ ）。

（2）既是3的倍数，又是5的倍数：（ ）。

（3）既是2的倍数，又是5的倍数：（ ）。

（4）既是2和5的倍数，又是3的倍数：（ ）。

解析：

（1）12；

（2）15；

（3）10；

（4）30

【对应练习3】

写出符合要求的最小的三位数：

（1）既是2的倍数，又是3的倍数：（ ）。

（2）既是3的倍数，又是5的倍数：（ ）。

（3）既是2和5的倍数，又是3的倍数：（ ）。

解析：

（1）102；

（2）105；

（3）120。

【对应练习4】

从4、5、8、0这4个数字中任意选出其中的3个组成三位数，至少各写三个。

（1）组成的数是2的倍数：____________________。

（2）组成的数是3的倍数：____________________。

（3）组成的数是5的倍数：____________________。

（4）组成的数同时是含有因数2、3、5 的倍数：____________________。

解析：

（1）584 548 480 480 450

（2）450 540 804 504 408

（3）450 540 485 845 840

（4）450 540 480 840

【考点七】判断奇数与偶数。

【方法点拨】

整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数，0也是偶数。

【典型例题】

在1—100中，因数的个数是奇数的数有哪些？因数的个数是偶数的数有多少个？

解析：100以内（包括 100）因数个数是奇数的有：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100共10个， 因数个数是偶数的一共有100-10=90（个）。

【对应练习1】

在40、12、37、39、45、18、10、26、91、69、234、76、600这些数中

（1）奇数有：_____________________________。

（2）偶数有：_____________________________。

解析：

奇数：37、39、91、69

偶数：40、12、18、10、26、234、76、600

【对应练习2】

个位是（ ）的自然数，叫做奇数。两位数中，最小的奇数是（ ），最大的偶数是（ ）。自然数中最小的奇数是_____ ，最小的偶数是______。

解析：

1、3、5、7、9；11；98；1；2

【考点八】奇数与偶数的基本性质。

【方法点拨】

奇数与偶数的基本性质：

【典型例题】

用“偶数”和“奇数”填空。

偶数+偶数=（ ）

奇数+奇数=（ ）

（ ）+偶数=奇数

偶数×偶数=（ ）

奇数×（ ）=偶数

奇数-（ ）=偶数

解析：

偶数；偶数；奇数；偶数；奇数；奇数

【对应练习1】

判定下面的结果是偶数还是奇数。

①2+5的结果是（ ）

②如果A是自然数（A≠0），2A表示（ ）

③2×3的结果是（ ）

④一个数只有1和本身两个因数，它是（ ）

⑤785＋547的和是（ ）

⑥675+54－465的结果是（ ）

⑦75×71的积是（ ）

⑧奇数×奇数的积是（ ）

解析：

奇数；偶数；偶数；奇数或偶数；偶数；偶数；奇数；奇数

【对应练习2】

选择正确的序号填在括号内

（1）同时是2、3、5的倍数的数是（ ） 。

A．奇数 B．偶数

（2）如果a表示自然数，那么下面一定可以表示偶数的是（ ）。

A. a+1 B. a+2 C. 2a

（3）几个质数的积一定是（ ）。

A. 奇数 B.偶数 C.无法判断

（4）小明晚上放学回家，打开灯，亮了，再开50次，灯是（ ） 。

A.亮着 B.灭了

（5）从1到2005个自然数相加的和是（ ）。

A.奇数 B. 偶数

解析：

（1）B

（2）C

（3）C

（4）A

（5）A

【考点九】质数与合数的定义及特征。

【方法点拨】

质数与合数是根据一个数的因数的个数定义的：

1.一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。

注意：

①质数只要两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。

②最小的质数是2，没有最大的质数。

2. 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。

例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。

注意：

①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。

②最小的合数是4，没有最大的合数。

3. 注意：0、1既不是质数，也不是合数。

【典型例题】

将下面各数分别填入指定的圈里。

56；79；87；1 95；204；630；22；31；57；65

解析：

【对应练习1】

在自然数1～20中，最小的合数是（ ），是偶数又是质数的是（ ），是奇数又是合数的是（ ），既不是质数又不是合数的是（ ）。

解析：4 2 9、15 1

【对应练习2】

在18，19，80，51中，（ ）是质数，（ ）是奇数，（ ）既是奇数又是合数。

解析：19 19和51 51

【对应练习3】

连一连。

解析：

【考点十】因数、倍数、质数、合数的综合应用。

【方法点拨】

1.一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。2. 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。

3.倍数特征：

个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。

个位上是0或5的数是5的倍数。

一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

【典型例题】

10以内（不含10）的质数有哪些？从这些质数中任意选出三个数，再组成一个既是2的倍数又是3的倍数的三位数，符合条件的三位数有哪些？

解析：

10以内的质数有：2、3、5、7；

既是3的倍数，又是2的倍数的是372、732。

【对应练习】

有一个三位数，它的十位上的数字是最小的质数，如果这个三位数能同时被2、3、5整除，这个三位数最大是多少？

解析：720

【考点十一】简单的猜数问题。

【方法点拨】

猜数问题综合性稍强，需要熟悉因数、倍数、质数、合数、奇数、偶数等的定义及一些特殊数。

【典型例题】

巧虎在侦破一个案件时发现了一个保险箱．保险箱设有六位数的密码．

已知： 是5最大的因数； 的所有因数是1、2、4、8； 是最小的自然数； 只有一个因数； 既是质数，又是偶数； 既是9的因数，又是9的倍数．这个保险箱的密码是　 　 。

解析：580129

【对应练习1】

小明家的电话号码是七位数，第一位比3的最小倍数小1，第二位是最小合数，第三位是最小的偶数，第四位是既不是素数也不是合数，第五位数是9的最 小因数，第六位比最小的素数多1，第七位是10以内的既是2的倍数又是4的倍数但不是4，明明家的电话号码是：　 　 。

解析：2401138

【对应练习2】

猜电话号码

提示： 的最小倍数； 最小的合数； 的最大因数； 它既是4的倍数，又是4的因数； 它的所有因数是1，2，3，6； 内最大的质数； 它只有一个因数。

这个号码就是　 　 。

解析：

【对应练习3】

猜数字：一个六位数，个位上是最小的质数，十位上是最小的合数，万位上的数既是质数又是偶数，十万位上的数是一位数中最大的自然数，其余数位上的数是0，这个 六位数是　 　 。

解析：920042

【对应练习4】

唐老师的车牌号从左往右的数字依次是：①既是奇数又是合数的数；②既不是质数也不是合数的奇数；③既是质数，又是偶数；④ 10以内最大的质数；⑤最小的合数聪明的同学，你知道唐老师车牌号的数字部分是多少吗？

解析：912714

【考点十二】分解质因数。

【方法点拨】

1.分解质因数：

指的就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。

例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。

2.注意：

①分解质因数是解决数论最有效最直接的途径；

②100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个。

【典型例题】

在横线里填不同的质数。

42＝　 　×　 　×　 　

解析：2；3；7

【对应练习1】

将102分解质因数。

解析：102=2×3×17

【对应练习2】

将70分解质因数。

解析：70=2×5×7

【对应练习3】

找出1992所有的不同质因数，求出它们的和。

解析：

1992=2×2×2×3×83

2+3+83=88

答：略。

【考点十三】通过分解质因数，找因数的个数。

【方法点拨】

如果一个比较简单的数已经分解为质因数，那么找这个数的因数个数，可以把该数求出来再找因数。

【典型例题】

已知甲数=2×3×5，那么甲数的因数共有多少个？

解析：8

【对应练习】

已知A=2×2×3，那么A的因数共有几个？

解析：6