【320819】第6讲 分数的加法和减法(教师版）（知识梳理+典例分析+举一反三+阶梯训练）人教新课标

第6讲 分数的加法和减法热点难点一网打尽

（ 1） 同分母分数加、减法 （分母不变，分子相加减）

1、分数数的加法和减法 （2） 异分母分数加、减法 （通分后再加减）

（3） 分数加减混合运算：同整数。

（4） 结果要是最简分数

2、带分数加减法: 带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。能约分的要约分。

附：具体解释

（一）同分母分数加、减法

1、同分母分数加、减法：同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。

2、计算的结果，能约分的要约成最简分数。

（二）异分母分数加、减法

1、分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减。

2、异分母分数的加减法：

异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。

（三）分数加减混合运算

1、分数加减混合运算的 运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。

在一个算式中，如果有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一级运算，应从左到右依次计算。

2、整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。

考点1：分数的加减法混合运算

例1．（2019春•尚志市期末）列式计算

（1） 加上 减去 的差，和是多少？

（2）从 与 的差里再减去 得多少？

【思路分析】（1）先用 减去 求得差，再用 加上求出的差即可

（2）先算 与 的差，再用求出的差减去 即可．

【规范解答】解：（1）

答：和是 ．

（2）

答：从 与 的差里再减去 得 ．

【名师点评】此题重点考查学生对分数加减法的计算能力，同时注意计算的灵活性．

1．列式计算

（1）从 里减去2个 的和，差是多少？

（2）一个数比 少 ，这个数是多少？

【思路分析】（1）先求出2个 的和，再根据减法的意义规范解答即可．

（2）根据已知把一个数少几的数是多少，求这个数，用减法规范解答．

【规范解答】解：（1）

；

答：差是 ．

（2）

；

答：这个数是 ．

【名师点评】此题考查的目的是理解掌握分数加、减法的意义以及分数加、减法的计算法则．

2．（2019春•兴庆区校级期末）列式计算．

（1） 减去 与 的差，得多少？

（2） 减去 与0.25的和，差是多少？

【思路分析】（1）根据题意，可先计算 减去 ，再用 减去所得的差即可得到答案；

（2）先计算 加0.25，然后再用 减去所得到的和即可．

【规范解答】解：（1）

，

，

答： 减去 与 的差，得 ；

（2）

，

，

答： 减去 与0.25的和，差是 ．

【名师点评】规范解答此题的关键是确定题干算式的运算顺序，然后再进行计算即可．

3．列式计算：

（1） 比 多几分之几？

（2）甲数是 ，比乙数多 ，甲乙两数的和是多少？

【思路分析】（1）求 比 多几几分之几，可用 减去 再除以 进行计算即可；

（2）可用甲数减去 计算出乙数的多少，然后再把甲、乙两数相加即可．

【规范解答】解：（1）

答： 比 多 ；

（2）

答：甲乙两数的和是 ．

【名师点评】求一个数比另一个数多几，用这个数减去另一个数即可；求两个数的和是多少，用加法计算即可．

考点2：分数的加减法简便计算

例2．下面各题，能简算的要简算．

．

【思路分析】（1）按照加法交换律和结合律计算；

（2）先算小括号里面的减法，再算括号外面的加法；

（3）按照加法交换律和结合律计算；

（4）先算小括号里面的加法 ，再算括号外面的减法；

（5）根据减法的性质简算；

（6）按照加法交换律计算．

【规范解答】解：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

【名师点评】本题考查了基本的分数的加减混合运算，要注意思路分析数据，选择合适的简算方法简算．

1．（2019春•宁阳县期末）计算（能简算的要简算）

．

【思路分析】（1）把分数进行通分相加即可；

（2）把分数通分按照从左到右的顺序计算即可；

（3）根据减法的性质进行计算即可；

（4）先算括号里面的减法，再算括号外面的减法；

（5）根据减法的性质进行简算即可；

（6）根据交换律和减法的性质进行简算即可．

【规范解答】解：（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

；

（5）

；

（6）

．

【名师点评】 本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运 算定律进行简便计算．

2．简算题．

．

【思路分析】（1）根据加法交换律和结合律计算；

（2）根据减法的性质简算；

（3）根据加法交换律和结合律计算．

【规范解答】解：（1）

（2）

（3）

【名师点评】本题考查了基本的分数的加减 混合运算， 要注意思路分析数据，选择合适的简算方法简算．

3．脱式计算．（能用简便方法计算的要简便计算）．

【思路分析】（1）、（2）根据减法的性质进行简算；

（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（9）按照从左向右的顺序进行计算；

（8）根据加法交换律进行简算．

【规范解答】解：（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

；

（5）

；

（6）

；

（7）

；

（8）

；

（9）

．

【名师点评】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算．注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算．

考点3：解含有分数的方程

例3．（2019春•武城县期末）解方程．

【思路分析】（1）根据等式的性质，在方程两边同时减去 求解；[来源:Z_xx_k.Com]

（2）根据等式的性质，在方程两边同时加上 求解；

（3）根据等式的性质方程两边同时除以2，再同时减去 求解．

【规范解答】解：（1）

（2）

（3）

【名师点评】本题考查了学生根据等式的性质解方程的能力．注意等号对齐．

1．（2019•宁波模拟）解方程

【思路分析】（1）方程的两边同时加0.5即可求解；

（2）先化简方程的左边，变成 ，然后方程的两边同时除以 即可求解．

【规范解答】解：（1）

（2）

【名师点评】本题考查了学生运用等式的性质解方程的方法，计算时要细心，注意把等号对齐．

2．（2019春•高密市期中）解方程

【思路分析】（1）根据等式的性质，方程两边都减 即可得到原方程的解．

（2）根据等式的性质，方程两边都加 ，再把方程左、右交换位置，再根据等式的性质，方程两边都减 即可得到原方程的解．

（3）根据等式的性质，方程两边都减 即可得到原方程的解．

【规范解答】解：（1）

；

（2）

；

（3）

．

【名师点评】小学阶段解方程的依据是等式的性质．规范解答过程要注意书写格式：上、下行等号对齐；不能连等．另外还要养成验算的习惯．

3．（2019春•营山县期末）解方程．

【思路分析】（1）根据等式的性质，方程的两边同时减去 求解；

（2）根据等式的性质，方程的两边同时加上 求解；

（3）根据等式的性质，方程的两边同时加上 ，然后方程的两边同时除以2求解．

【规范解答】解：（1）

（2）

（3）

【名师点评】本题考查解方程，解题的关键是掌握等式的性质：方程两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立；方程两边同时乘（或除以）相同的数 除外），等式仍然成立．

考点4：分数加减法解应用题

例4．（2019春•绍兴期末）修路队修一条公路，第一周修了 千米，第二周修了 千米，第三周比前两周修的总和少 千米，第三周修了多少千米？

【思路分析】第一周修了 千 米，第二周修了 千米，根据加法的意义，前两周共修了 ，又第三周比前两周修的总和少 千米，根据减法的意义，用前两周修的总长度减去 千米，即得第三周修了多少千米．

【规范解答】解：

千米（千米）

答：第三周修了 千米．

【名师点评】首先根据已知条件求出前两周修的总长度是完成本题的关键，完成本题要注意通分．

1．（2019春•兴化市月考）一根钢筋，第一次截去 米，比第二次多截去 米，还剩 米，这根钢筋的全长多少米？

【思路分析】根据题意，第一次比第二次多截 米，第一次截去的 米减去 米就是第二次的，两次截去的相加再加上剩下的就是全长．

【规范解答】解：

（米

答：这根钢筋的全长 米．

【名师点评】本题的关键是求出第二次的长度，然后再根据截去的加上剩下的就是全长，进行计算即可．

2．（2019春•惠州期中）修一条路，第一天修了全长的 ，第二天修了全长的 ，第三天要把剩下的全修完．第三天修了全长的几分之几？

【思路分析】把全长看成单位“1”，用全长1减去 第一天修的分率，再减去第二天修的分率即可求出第三天修的分率．

【规范解答】解：

，

答：第三天修了全长的 ．

【名师点评】本题关键是理解把全长看成单位“1”，再根据减法的意义列式求解即可．

3．田田、方方和丽丽三人从同一地点出发上学，田田路上用的时间是 小时．比方方多用 小时，丽丽路上所用的时间比方方多 小时，丽丽路上用了多少小时？

【思路分析 】首先根据减法的意义，用田田路上用的时间减去田田比方方多用的时间，求出方方路上用的时间是多少小时；然后用方方路上用的时间加上丽丽路上所用的时间比方方多的时间，求出丽丽路上用了多少小时即可．

【规范解答】解：

（小时）

答：丽丽路上用了 小时．

【名师点评】此题主要考查了分数加减法的运算，要熟练掌握运算方法，规范解答此题的关键是求出方方路上用的时间是多少小时．

例5．小明喝了一杯牛奶的 ，然后加满温开水，又喝了一杯的 ，再倒满水，又喝了 杯后，继续倒满水，最后把一杯喝完了．问：小明喝了牛奶和温水各几杯？

【思路分析】首先根据题意，小明最后把一杯牛奶喝完了，可得小明一共喝了牛奶1杯；然后分别把每次倒的水的杯数相加，求出小明喝了温水几杯即可．

【规范解答】解：因为小明最后把一杯牛奶喝完了，

所以小明一共喝了牛奶1杯；

小明一共喝了水：

（杯

答：小明一共喝了牛奶1杯，温水1杯．

【名师点评】此题主要考查了分数加减法的运算，要熟练掌握运算方法，规范解答此题的关键是弄清楚题中的各个量之间的数量关系．

1．明明喝了一杯牛奶的 ，然后加满水；又喝了 ，再加满水；又喝了 ，再加满水，最后他把整杯水都喝了．明明喝的牛奶多还是水多？

【思路分析】将杯子容量即牛奶的量当作单位“1”，明明喝了一杯牛奶的 ，然后加满水；又喝了 ，再加满水；又喝了 ，再加满水，则第一交加的水占杯子容量的 ，第二次占 ，第三次占 ，根据分数加法的意义，三次加的水共占杯子容量的 ，即明明喝的水占杯子容量的分率，算出后和单位“1”比较即可．

【规范解答】解：

答：明明喝的牛奶多．

【名师点评】首先根据 分数加法的意义求出三次加的水占容量的分率是完成本题的关键．

2．一筐苹果连筐共重 ，卖出一半后连筐重 ，这个水果筐重多少千克？

【思路分析】减少的这部分质量，也就是苹果总质量的一半，用原来的总质量减去后来的总质量就是卖出苹果的质量，再乘上2就是苹果的总质量，进而可以求出筐的质量．

【规范解答】解：

（ 千克）

（千克）

答：这个水果筐重 千克．

【名师点评】本题关键是理解减少的质量就是苹果质量的一半，由此求出苹果的总质量，进而求解．

3．某工地更换一段坏的水管，切下已坏的 米，又接上 米，现在水管长 米．原来的水管长多少米？

【思路分析】用现在的长度减去接上的长度，再加上切下已坏的长度，就是原来的长度．

【规范解答】解：

（米

答：原来的水管长 米．

【名师点评】本题根据分数加减法的意义，直接列式求解即可，要注意根据加法的交换律简算．

1．（2 019•江苏模拟） 表示9个　 　加上6个　 　，和是　 　．

【思路分析】 表示9个 ， 表示6个 ，然后再进一步规范解答．

【规范解答】解： 表示9个 加上6个 ，和是 ．

故答案为： ， ， ．

【名师点评】同分母分数相加，分母不变，只把分子相加．

2．在横线里填上“ ”、“ ”或“ ”．

　 　

　 　

　 　1

　 　 ．

【思路分析】利用分数加减法的计算法则逐一计算得出答案，在进一步比较得出答案即可．

【规范解答】解：

所以 ；

所以 ；

所以 ；

所以 ．

故答案为： ， ， ， ．

【名师点评】掌握分数加减法的计算法则和分数大小的比较方法是解决问题的关键．

3．（2019秋•北票市期末）分母是7的所有真分数是　 、 、 、 、 、 　．它们的和是　 　．

【思路分析】分子小于分母的分数为真分数，由此可知，分母为7的真分数有 、 、 、 、 、 ，根据分数加法的计算法则求出它们的和即可．

【规范解答】解：根据真分数的意义可知，分母是7的所有真分有： 、 、 、 、 、 ；

和是： ．

故答案为： 、 、 、 、 、 ；3．

【名师点评】本题考查了真分数意义，真分数都小于1．

4．（2019•盐田区）甲数是 ，乙数是 ．甲乙两数的和是　 　，甲乙两数的差是　 　．

【思路分析】求甲乙两数的和是多少，用甲数加上乙数即可；

求甲乙两数的差是多少，用甲数减去乙数即可．

【规范解答】解：

答：甲乙两数的和是 ，甲乙两数的差是 ．

故答案为： ， ．

【名师点评】求两个数的和是多少，把这两个数相加即可；求两个数的差是多少，用较大数减去较小数．

5．（2019春•龙岗区校级月考）比 千克少0.2千克的是　 　千克， 米比　　米长 米．

【思路分析】求比 千克少0.2千克的是多少千克，就用 千克减去0.2千克即可；

求 米比多少米长 米，就用 米减去 米即可．

【规范解答】解： （千克）

（米

答：比 千克少0.2千克的是 千克， 米比 米长 米．

故答案为： ， ．

【名师点评】解决本题根据减法的意义直接列式求解．

6．（2019春•通州区期末）学校打算把一批课外书的 分给六年级， 分给五年级， 分给四年级．你觉得这个方案可行吗？　不可行　

【思路分析】首先求出分给四、五、六年级的课外书一共占这批课外书的几分之几；然后把它和1比较大小，判断出这个方案可行不可行即可．

【规范解答】解：

因为

所以这个方案不可行．

答：这个方案不可行．

故答案为：不可行．

【名师点评】此题主要考查了加法的意义的应用，要熟练掌握，规范解答此题的关键是求出分给四、五、六年级的课外书一共占这批课外书的几分之几．

7．（2019春•漳平市校级期末）修一条路，第一天修了全长的 ，第二天修全长的 ．两天共修了全长的 ，第二天比第一天少修全长的 ，还剩下全长的 ，已修的比剩下的多 ．

【思路分析】把全长看成单位“1”：

第一天修的分率加上第二天修的分率就是两天一共修了全长的几分之几；

用第一天修的分率减去第二天修的分率就是第二天比第一天少修全长的几分之几；

用全长1减去两天已经修的分率就是剩下了全长的几分之几；

用乙修的分率减去剩下的分率就是已修的比剩下的多全长的几分之几．

【规范解答】解： ；

；

；

；

故答案为： ， ， ， ．

【名师点评】本题先找出单位“1”，再根据基本的数量关系求解．[来源:学_科_网]

8．（2019秋•靖州县期末）直接写得数．

【思路分析】①同分母分数相加，分母不变，分子相加，可得结果．

②把1转化成 ，在进行同分母分数的减法计算，分母不变，分子相减，可得结果．

③根据加法交换律先计算出 的和，再进行减法计算．

④先通分再进行同分母分数的加法计算，可得结果．

⑤先通分再进行同分母分数的减法计算，可得结果．

⑥把1转化成 ，再进行同分母分数的减法计算，可得结果．

【规范解答】解：

【名师点评】本题主要考查分数的加法和减法，部分题目可以通过简便方法进行计算，部分题目还需要进行通分再计算．

9．（2019春•腾冲县校级期末）直接写得数．

【思路分析】根据分数和小数加减乘除法的计算方法进行计算．

、 根据减法的性质进行简算；

根据加法交换律和结合律进行简算．

【规范解答】解：

【名师点评】口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算．

10．计算，能简便的要简便计算．

① ② ③ ④ ．

【思路分析】①运用减法的性质简算；

②通分计算；

③运用加法交换律和结合律简算；

④运用减法的性质和加法结合律简算．

【规范解答】解：①

②

③

④ ．[来源:Zxxk.Com]

【名师点评】此题考查的目的是理解掌握四则混合运算的顺序，以及它们的计算法则，并且能够灵活选择简便方法进行计算．

11．计算下面各题，怎样简便就怎样计算

．

【思路分析】（1）按照从左向右的顺序进行计算；

（2）根据减法的性质进行简算；

（3）先算小括号里面的减法，再算加法；

（4）、（6）根据加法交换律和结合律进行简算；[来源:学科网ZXXK]

（5）先算小括号里面的加法，再算减法．

【规范解答】解：（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

；

（5）

；

（6）

．

【名师点评】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算．注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算．

12．列式计算

加 减 的差，和是多少？

【思路分析】先算 减 的差，再用 加上它们的差即可．

【规范解答】解：

答：和是 ．

【名师点评】解决此类题目要弄清数量之间的关系，先算什么，再算什么，列式计算即可．

13．列式计算．

与 的和减去一个数后得 ，这个数是多少？

【思路分析】先算出 与 的和，再减去 ，即得这个数是多少．

【规范解答】解：

，

答：这个数是 ．

【名师点评】本题要分清楚数量之间的关系，先求什么再求什么，找清列式的顺序，列出算式求解．

14．（2019春•南充期末）解方程

【思路分析】（1）根据等式的性质，方程的两边同时减去 求解；

（2）根据等式的性质，方程的两边同时加上 ，把方程化为 ，然后方程的两边同时减去 求解；

（3）根据等式的性质，方程的两边同时加上 ，然后方程的两边同时除以3求解；

（4）先计算 ，根据等式的性质，方程的两边同时除以3求解．

【规范解答】解：（1）

（2）

[来源:Zxxk.Com]

（3）

（4）

【名师点评】本题考查解方程，解题的关键是掌握等式的性质：方程两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立；方程两边同时乘（或除以）相同的数 除外），等式仍然成立．

15．（2019秋•招远市期中）某销售公司去年完成销售任务情况如下：第一季度完成 ，第二季度完成 ，第三季度完成 ，第四季度完成 ，超额完成全年销售任务的几分之几？

【思路分析】把去年全年计划的任务看作单位“1”，根据题意，先求出实际四个季度共完成全年任务的几分之几，进而减去1得解．

【规范解答】解：

．

答：超额完成全年销售任务的 ．

【名师点评】解决此题关键是确定单位“1”，再根据加减法的意义求解．

16．（2019•长沙）学校运来一堆沙子．修路用去 吨，砌墙用去 吨，还剩下 吨，剩下的沙子比用去的沙子多多少吨？

【思路分析】根据题意，可用修路用去的沙子加上 砌墙用去的沙子就是总用用去的沙子，再用剩下的沙子减去用去的沙子即可，列式规范解答即可．

【规范解答】解：

（吨 ；

答：剩下的沙子比用去的沙子多 吨．

【名师点评】规范解答此题的关键是确定总共用去了多少沙子，然后再用剩下的减去用去的即可．

17．（2019秋•新泰市校级期中）水果店运来一批水果，第一天运走 吨，第二天运走0.15吨，还剩下 吨，这批水果一共有多少吨？

【思路分析】第一天运走 吨，第二天运走0.15吨，还剩下 吨，根据加法的意义，将第一天、第二天运走的吨数及剩下吨数相加，即得共有多少吨．

【规范解答】解：

（吨

答：这批水果共有1.225吨．

【名师点评】完成本题可先将式中的数据化成统一的数据形式后再计算．

18．（2019春•新罗区期末）五年级环保小分队收集废纸，第一小队收集了 千克．比第二小队少收集 千克，第三小队比第二小队多收集 千克．第三小队收集了多少千克？

【思路分析】用第一小队收集的千克数加 千克，得出第二小队收集的千克数，再加 千克，即可得第三小队收集了多少千克．

【规范解答】解：

（千克），

答：第三小队收集了 千克．

【名师点评】本题考查了分数加减法应用题，等量关系简单，两步即可解决问题．

19．修路队修一条公路，第一周修了 ，第二周修了 ，第三周比前两周的总和少 ，第三周修了多少 ？

【思路分析】第三周比前两周修的总和少 ，根据加法的意义可知两周修的总和为： ，再减去 千米就是第三周修的长度，即： 千米．

【规范解答】解：

．

答：第三周修了 ．

【名师点评】本题考查了学生根据加减法的意义解决实际问题的能力．

20．（2019春•东西湖区校级期末）小红喝一小杯蜂蜜水，分四次喝完．第一次喝了这杯蜂蜜水的 ，觉得太甜了就加满了水；第二次喝了这杯蜂蜜水的 ，还是觉得甜再一次加满了水；第三次喝了半杯后去看了会儿电视，奶奶看到只有半杯水了就又给她加满了；最后一次小红把整杯水都喝完了．请你思路分析：小红喝的蜂蜜水多还是后来加入的水多？你是怎样想的？

【思路分析】把杯子的容积看作单位“1”，首先明确原来的蜂蜜水一直没加，所以小红一共喝了1整杯的蜂蜜水；根据“第一次喝了这杯蜂蜜水的 ”，可知第一次加了杯子容积 的水，根据“第二次喝了这杯蜂蜜水的 ”，可知第二次加了杯子容积 的水，再根据“第三次喝了半杯后去看了会儿电视”，可知第三次加了杯子容积 的水，那么后来一共加入 杯水，据此可确定小红喝的蜂蜜水和后来加入的水一样多．

【规范解答】解：小红一共喝了1整杯的蜂蜜水，

后来一共加入水： （杯

所以小红喝的蜂蜜水和后来加入的水一样多．

答：小红喝的蜂蜜水和后来加入的水一样多．

【名师点评】此题考查利用分数加减法的知识解决生活中的实际问题，关键是明确先后共喝蜂蜜和水分别是多少杯，再比较得解．