【320815】第4讲 分数的意义和性质(教师版）（知识梳理+典例分析+举一反三+阶梯训练）人教新课标

第4讲 分数的意义和性质热点难点一网打尽

1、分数的意义：一个物体、一物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。

2、单位“1”：一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。（也就是把什么平均分什么就是单位“1”。）

3、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如 的分数单位是 。

4、分数与除法：A÷B= （B≠0，除数不能为0，分母也不能够为0） 例如： 4÷5=

5、真分数和假分数、带分数

1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数<1。

2、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数≧1

3、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数＞1.

4、真分数＜1≤假分数 真分数＜1＜带分数

6、假分数与整数、带分数的互化（1）假分数化为整数或带分数，用分子÷分母，商作为整数，余数作为分子， 如： =10÷5=2 =21÷5=4 （2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子 如：把2化成分母是4的假分数;2= 2×4=8 （8作分子）（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变，如：5 = 5×5+1=2（4）1等于任何分子和分母相同的分数。如：1= = = = =…= =…

7、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。分数的基本性质：分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数的大小不变。

8、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。

一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。反之则不可以。

9、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。如： = 10、最简分数;分子分母互质的分数叫做最简分数。

分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数（最简真分数、最简假分数）

11、通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。如：

和 可以化成 和

12、分数和小数的互化（1）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是10；两位小数，分母是100…… 能约分的要约分 如：0.3= 0.03= 0.003=

（2）分数化为小数：

方法一：把分数化为分母是10、100、1000……如： =0.3

= =0.6 = =0.25

方法二：用分子÷分母 ，分子除以分母，除不尽的取近似值 如： =3÷4=0.75

（3）带分数化为小数：先把整数后的分数化为小数，再加上整数 如：2 =2+0.3=2.3

13、比分数的大小： 分母相同，分子大，分数就大；分子相同，分母小，分数才大。

分数比较大小的一般方法：同分子比较；通分后比较；化成小数比较。

14、分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。

=0.5 =0.25 =0.75 =0.2 =0.4 =0.6 =0.8

=0.125 =0.375 =0.625 =0.875 =0.05 =0.04。

考点1：分数的意义

例1．（2019秋•黄岩区期末）一根24分米长的绳子，对折、再对折，每段绳子占全长的 ，长 　　 分米．

【思路分析】把这条绳子对折后被平均分成2段，每段占全长的 ，再对折后被平均分成4段每段占全长的 ；求每段长，用这根绳子的长度除以平均分成的段数．

【规范解答】解：一根24分米长的绳子，对折、再对折被平均分成4份

（分米）

答：每段绳子占全长的 ，长6分米．

故答案为： ，6．

【名师点评】解决此题关键是弄清求的是“分率”还是“具体的数量”，求分率：平均分的是单位“1”；求具体的数量：平均分的是具体的数量，要注意：分率不能带单位名称，而具体的数量要带单位名称．

1．（2019秋•上街区期末）下图是佳佳在等边三角形中涂的 ．她涂错的原因是　没有将等边三角形平均分成3份　．请你正确地涂出三角形的 ．

【思路分析】根据分数的意义，把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数．佳佳错误的原因是没有把等边三角形平均分成3份，所以就不能用分数表示．

【规范解答】解：佳佳错误的原因是没有把等边三角形平均分成3份．

如图：涂色部分表示这个三角形的 ．

故答案为：没有将等边三角形平均分成3份．

【名师点评】此题考查的目的是理解掌握分数的意义及应用．明确：分数必须在平均分的前提下产生．

2．（2019春•无锡期末）有15本练习本，平均分给3个同学，每本练习本是练习本总数的 ，每人分得的练习本是总数的 ．

【思路分析】把这15本练习本看作单位“1”，每本是这些练习本的 ；把这15本练习本平均分成3份，每个同学分得1份．每份是这些练习本的 ，即每个同学分得总本数的 ．

【规范解答】解：

答：每本练习本是练习本总数的 ，每人分得的练习本是总数的 ．

故答案为： ， ．

【名师点评】此题是考查分数的意义．把单位“1”平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数．

3．（2019秋•路北区期末）用分数表示下面各图的涂色部分．

【思路分析】图一：把这个圆形的面积看作单位“1”，把它平均分成了3份，阴影部分占2份，根据分数的意义，阴影部分用 表示；

图二：把这个长方形看作单位“1”，把它平均分成了4份，阴影部分占2份，根据分数的意义，阴影部分用 表示；

图三：把这个正方形看作单位“1”，把它平均分成了9份，阴影部分占4份，根据分数的意义，阴影部分用 表示；

图四：把这10个香蕉看作单位“1”，把它平均分成了5份，阴影部分占2份，根据分数的意义，阴影部分用 表示．

【规范解答】解：根据思路分析填空如下：

故答案为： ， ， ， ．

【名师点评】此题考查分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份或几份的数．

考点2：分数与除法的关系

例2．（2019秋•靖州县期末）丽丽读一本书，已读了32页，还剩48页没有读．

（1）已读了全书的几分之几？

（2）还剩全书的几分之几没有读？

【思路分析】（1）用加法求出一共多少页，再用已读的页数除以总页数就是已读了全书的几分之几．

（2）把总页数看作单位“1”，用单位“1”减去已读了全书的几分之几就是还剩全书的几分之几没有读．

【规范解答】解：（1）

答：已读了全书的 ．

（2）

答：还剩全书的 没有读．

【名师点评】本题考查了分数除法的意义和分数减法的意义．

1．（2019秋•江都区期末）一块月饼平均切成8份，东东吃了其中的3份，丽丽吃了其中的2份．

（1）两人一共吃了这块月饼的几分之几？

（2）丽丽比东东少吃了这块月饼的几分之几？

【思路分析】（1）求两人一共吃了这块月饼的几分之几，要先计算两个各吃月饼的几分之几，根据分数的意义，把一块几块月饼平均分成8块，1块就是 ．

（3）丽丽吃了其中的2份，就是整个月饼的 ；东东吃了其中的3份，就是整个月饼的 ，用 计算．

【规范解答】解：（1）东东吃了整个月饼的 ，丽丽吃了整个月饼的 ，两个人一 共吃了整个月饼的：

答：两人一共吃了这块月饼的 ．

（2）东东吃了整个月饼的 ，丽丽吃了整个月饼的 ，丽丽比东东少吃：

答：丽丽比东东少吃了这块月饼的 ．

【名师点评】本题考查了分数的计算，掌握分数的意义及计算方法．

2．（2019秋•阳朔县期末）从学校到笑笑家有400米，放学后笑笑走了240米，余下的路是已走的几分之几？

【思路分析】由题意，用学校到笑笑家的路程400米减去已经走的路程240米求得余下的路程，再除以已走的路程得解．

【规范解答】解：

答：余下的路是已走的 ．

【名师点评】求一个数是另一个数的几分之几，用除法规范解答．

3．（2019春•邹城市期末）圣泉村购进一批树苗共800棵，已经植了350棵，没植的棵数占这批树苗的几分之几？

【思路分析】把这批树苗的总棵数看成单位“1”，用总棵数减去已经植树的棵数，求出没植的棵数，再除以总棵数，即可求出没植的棵数占这批树苗的几分之几．

【规范解答】解：

答：没植的棵数占这批树苗的 ．

【名师点评】此题属于分数除法应用题中的一个基本类型：已知两个数，求一个数是另一个数的几分之几．

考点3：真分数和假分数

例3．（2019春•佛山校级期末）要使 是假分数， 是真分数， 应是 　　

A．11 B．9 C．10

【思路分析】在分数中，分子小于分母的分数为真分数，分子大于或等于分母的分数为假分数．由此可知，要使 是假分数， 是真分数，则 ．即 ．

【规范解答】解：根据真分数与假分数的意义可知，

要使 是假分数， 是真分数，

则 ．即 ．

故选： ．

【名师点评】根据真分数、假分数的意义确定分子的取值范围是完成此类问题的关键．

1．把下面的假分数化成整数或带分数．你有什么发现？

我发现：当假分数的分子是分母的倍数时，假分数可以化成　整数　；当假分数的分子不是分母的倍数时，假分数可以化成　　．

【思路分析】假分数化带分数事整数时，用分子除以分母，商为整数部分，余数作分子，分母不变．把这几个假分数化成带分数后可以发现：当假分数的分子是分母的倍数时，假分数可以化成整数；当假分数的分子不是分母的倍数时，假分数可以化成带分数．[来源:学。科。网]

【规范解答】解：（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

；

（5）

；

（6）

．

我发现：当假分数的分子是分母的倍数时，假分数可以化成整数；当假分数的分子不是分母的倍数时，假分数可以化成带分数．

故答案为：整数，带分数．

【名师点评】此题是考查假分数化带分数或整数，属于基础知识，要掌握．

2．下面的分数中哪些是真分数？哪些是假分数？在直线上表示出来，你能发现什么？

、 、 、 、 、 、 、 ．

我发现：　真　分数可以用直线上0和1之间的点表示．　　分数可以用直线上1以及大于1的点表示．

【思路分析】真分数的意义：分子小于分母的分数叫做真分数，假分数的定义为：分子大于或等于分母的分数为假分数，进而在直线上面表示出来，会发现真分数可以用直线上0和1之间的点表示．假分数可以用直线上1以及大于1的点表示．据此规范解答．

【规范解答】解根据真分数和假分数的意义可知：

真分数有： 、 、 、 、 ；

假分数有： 、 、 ．

如图：

我发现：真分数可以用直线上0和1之间的点表示．假分数可以用直线上1以及大于1的点表示．

故答案为：真，假．

【名师点评】本题考查了学生对于真分数、假分数意义的理解．

3．读出下面的分数，再按要求填空．

真分数有：　 、 、 　；

假分数有：　　；

带分数有：　　．

【思路分析】在分数中，分子小于分母的分数为真分数；分子大于或等于分母的分数为假分数．带分数有整数部分与分数部分，据此完成即可．

【规范解答】解：真分数： 、 、 ．

假分数： 、 、 、 ．

带分数： 、 、 ．

故答案为： 、 、 ， 、 、 、 ， 、 、 ．

【名师点评】本题重点考查了学生对于分数与假分数意义的理解．

考点4：分数的基本性质

例4． ；　　 ； ；　　 ．

【思路分析】①分母由8变为 即为24，扩大了3倍，根据分数的基本性质，分子也得扩大3倍，变为 ， ；分子由3变为 ，即为15，扩大了5倍，那么分母也得扩大5倍，即为 ，增加了 ；

②分子由4变为 ，即为16，扩大了4倍，那么分母也得扩大4倍，即为 ；所以分子变为16，分母是28；

③分母由30变为 即为10，缩小到原来的3倍，那么分子也得除以3；即为 ．

④ ，分子扩大了9倍，那么分母也得扩大9倍．即为45；由 得：分母扩大4倍，所以分子也得扩大4倍，即为 ．

【规范解答】解：根据分数的性质可得：

①

②

所以：

③

所以：

④

故答案为：6，32；4，14，28；3，6，10；16，45．

【名师点评】此题主要利用分数的基本性质规范解答问题，先观察分子或分母之间的变化，发现规律，再进一步通过计算规范解答问题．

1．一个分数是 ，如果将它的分子加上9，要使这个分数的大小不变，分母应该加上多少？

【思路分析】首先观察分子的变化，分子由3变为 ，扩大了4倍，要使这个分数的大小不变，分母应该扩大4倍，由此通过计算解决问题．

【规范解答】解：原分数的分子是3，现在的分子是 ，扩大了4倍，

原分数的分母是5，要使这个分数的大小不变，分母应该扩大4倍，所以分母应该加上 ．

答：分母应该加上15．

【名师点评】此题主要根据分数的基本性质解决问题，首先观察分子或分母的变化规律，再通过计算解决问题．

2．（2007•南充自主招生）把分数 的分母减去15，要使分数的大小不变，分子应减去　6　．

【思路分析】本题要运用分数的基本性质进行规范解答，先求出分母减去15后是 ，由原分母20改变为5缩小的倍数是： 即4倍，分子也应缩小4倍即 ，即缩小后的分子是2，所以应减少 ．

【规范解答】解：由分数的基本性质得，

；

故答案为：6．

【名师点评】本题考查了分数的基本性质的意义及应用．

3．一个分数，分母比分子大20，它与 相等，这个分数是 　　

A． B． C． D．

【思路分析】根据“一个分数的分母比分子大20，约分后是 ，逐项思路分析是否符合以上条件，再做出选择．[来源:Zxxk.Com]

【规范解答】解： 、 的分母比分子大15，此数不符合题意；

、 的分母比分子大15，不符合题意；

、 的分母比分子大15，不符合题意；

、 的分母比分子大20，且约分后是 ，符合题意．

故选： ．

【名师点评】考查了分数的基本性质，解决此题关键是逐项思路分析，找出符合条件的分数：必须是分母比分子大20，约分后是 ．

考点5：最大公因数和最小公倍数

例5．（2019春•高密市期中）用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数．

45和75 39和52 18和60

【思路分析】求两个数的最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可

【规范解答】解：（1）45和75

45和75的最大公因数是 ，

45和75的最小公倍数是 ；

（2）39和52

39和52的最大公因数是13，

39和52的最小公倍数是 ；

（3）18和60

18和60的最大公因数是 ，

18和60的最小公倍数是 ．

【名师点评】此题主要考查求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以 用短除法规范解答．

1．（2019春•李沧区期中）用短除法求下列每组数的最大公因效和最小公倍数．

9和15

26和39

19和57

【思路分析】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此依次规范解答即可．

【规范解答】解：

9和15的最大公因数是3，最小公倍数是 ；

26和39的最大公因数是13，最小公倍数是 ；

19和57的最大公因数是19，最小公倍数是57．

【名师点评】此题主要考查求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数．

2．（2019春•曲阜市期中）求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．

12和60

18和45

27和30

【思路分析】求两个数的最大公因数、最小公倍数，把两个数分解质因数，最大公因数是这两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是这两个数的公有的质因数和各自独有的质因数的乘积．如果两个数是倍数关系的最小公倍数是较大数，最大公因数是较小数，12和60是倍数关系，60是较大数，12是较小数，据此规范解答；如果两个数是互质数的最小公倍数是它们的乘积，最大公因数是1，据此规范解答．

【规范解答】解：12和60是倍数关系

所以12和60的最大公因数是12，最小公倍数是60；

18和45

所以18和45的最大公因数是： ，最小公倍数是： ；

27和30

所以27和30的最大公因数是：3，最小公倍数是： ．

【名师点评】此题主要考查了求两个数的最大公因数和最小公倍数：对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；对于两个数是互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两个数的乘积．倍数关系的最小公倍数是较大数，最大公因数是较小数．

3．求下面每组数的最大公约数和最小公倍数（三个数的只求最小公倍数）

18和27 24和56 54和72 27、45和60．

【思路分析】三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的乘积是它们的最小公倍数；求两个数的最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可．

【规范解答】解：

最大公约数是

最小公倍数是 ；

最大公约数是

最小公倍数是 ；

最大公约数是

最小公倍数是 ；

最小公倍数是

【名师点评】此题主要考查求几个数的最大公约数与最小公倍数的方法：三个数的公有质因数连乘积是最大公约数，三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法规范解答．

考点6：约分和通分

例6．（2019秋•惠来县期末）下面各组数先通分，再比较它们的大小．

（1） 和 （2） 、 和 ．

【思路分析】根据分数的基本性质，把几个异分母分数（式 化成与原来分数（式 相等的同分母的分数（式 的过程，叫做通分．据此将各组中的分数通分后化为同分母的分数比较大小即可．

【规范解答】解：（1） ，

因为 ，所以 ．

（2） 、 、

因为 ，所以 ．

【名师点评】比较异分母分数大小的时候，一般要先将异分母分数化成同分母分数后，再进行比较．

1．（2019春•城固县期末）圈出最简分数，并把其余的分数约分．

【思路分析】根据最简分数的意义，分数的分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数．再根据分数的基本性质，把不是最简分数的约分即可．

【规范解答】解：最简分数有： 、 ．

；

；

【名师点评】此题考查的目的是理解掌握最简分数的意义及应用，以及约分的方法及应用．

2．（2019秋•金昌期中）将下列各分数化成最简分数

【思路分析】在分数中，分子与分母只有公 因数1的分数为最简分数．据此将题目中的分数进行约分即能将它们化成最简分数．

【规范解答】解： ，

，

．

【名师点评】在约分时，要注意确定分子与分母的最大公约数是多少．

3．（2019春•李沧区期中）一个分数约分后是 ，如果约分前的分子与分母的和是66，这个分数约分前是多少？

【思路分析】根据约分后的分数是 ，可知分子与分母的比为 ，分别求出分子、分母各占分子与分母和的几分之几，用乘法计算即可．

【规范解答】解：

答：这个分数约分前是 ．

【名师点评】此题主要利用分数的基本性质和按比例分配解决问题．

例7．（2019春•抚宁区期末）某食品店有三种数量相同的冷饮．星期五销售情况如下：

第一种：售出 第二种：售出 第三种：售出

这个食品店要进货，应该多进哪种冷饮？为什么？

【思路分析】销售量大的应该多进一些，通过比较三种冷饮销售量所占的分率，即可得知哪种冷饮销售量所占的分率大．这三个分数分母不同，要先通分化成同分母或同分子的分数再比较．或直接看出哪种饮料销售量所占的分率大， 大于 ， 小于 ，由此得知： ．

【规范解答】解：8、2、9的最小公倍数是72

即

或因为， ，

所以 ．

答：这个食品店要进货，应该多进第一种冷饮．因为第一种冷饮销售量大．

【名师点评】分数的大小比较方法是：同分母的比分子，分子大的就大；同分子的比分母，分母大的反而小；分子、分母都不同的，首先通分化成同分母或同分子的分数再比较．

1．（2019秋•长阳县校级期末）小红和小丽同看一本书，小红看了 ，小丽看了 ，他们谁剩的多？

【思路分析】根据题意，把这本书看作单位“1”，分别用1减去两人看的占的分率，求出他们各剩下了几分之几；然后根据同分子分数大小比较的方法，判断出他们谁剩的多即可．

【规范解答】解：

答：小红剩的多．

【名师点评】此题主要考查了分数比较大小的方法的应用，要熟练掌握，规范解答此题的关键是要明确同分母、同分子、异分母分数大小比较的方法．

2．（2019春•寻乌县期中）甲、乙、丙三名同学进行拍球比赛，都拍了300个球．甲用了0.7小时，乙用了 小时，丙用了 小时，谁拍得最快？

【思路分析】首先比较出甲、乙、丙三名同学用的时间的长短；然后根据：工作量一定时，谁用的时间越短，则谁拍得最快，判断出谁拍得最快即可．

【规范解答】解： ， ，

因为 ，

所以 ，

所以拍相同的球，甲用的时间最短，

所以甲拍得最快．

答：甲拍得最快．

【名师点评】此题主要考查了分数大小的比较，以及工程问题的应用，要熟练掌握，规范解答此题的关键是要明确：工作量一定时，谁用的时间越短，则谁拍得最快．

3．亚洲、非洲、南美洲这三个洲中，哪个洲的面积最大？哪个洲的面积最小？

【思路分析】依据分数基本性质，把三个洲占陆地面积通分为分母为75的分数，再依据同分母分数大小比较方法即可规范解答．

【规范解答】解：

因为：

所以： ．

答：亚洲的陆地面积最大，南美洲的陆地面积最少．

【名师点评】本题考查知识点：依据分数基本性质正确解决问题．

考点7：分数与小数的互化

例8．今天在手工课上，老师给每人发了一张同样大的彩纸．小明用了 张彩纸，小丽用了0.4张彩纸．

（1）谁用得多呢？

（2）两人一共剩下多少张彩纸？

【思路分析】（1） 的分子大于分母的一半，这个分数大于 ；0.4小于0.5，即小于 ．由此可得出 ，根据这个分数与这个小数的大小比较，即可确定谁用梨多．

（2）把一张纸看作单位“1”，小明用了 张，还剩下 （张 ，小丽剩下 （张 ，再把二人用的剩下的张数相加就是两人一共剩下彩纸的张数．

【规范解答】解：（1）因为 的分子大于分母的一半，这个分数大于

0.4小于0.5，即小于

所以

答：小明用得多．

（2）

（张

答：两人一共剩下 张彩纸．

【名师点评】（1）也可把0.4化成分数，然后再与 进行通分，然后再作比较；（2）先根据分数减法分别求二人剩下的张数，然后把二人剩下的张数相加（把小数化成分数再计算）．

1．把下面的小数化成分数，分数化成小数（除不尽的保留两位小数）

【思路分析】把小数化分数，一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几 先写成分数的形式，能约分的要约成最简分数；

把分数化小数，用分数的分子除以分母即得小数商，除不尽时按要求保留两位小数．

【规范解答】解：

[来源:学§科§网]

．

【名师点评】此题考查分数与小数互化方法的灵活运用，熟记化法是解题关键．

2．把下面分数化成小数（不能化成有限小数的保留三位小数）把小数化成分数．

0.08 1.45 0.75 2.064

【思路分析】分数化成小数的方法是：用分数的分子除以分母．

小数化成分数的方法是：看是几位小数，就中1后面添几个0作分母，用去掉小数点的数作分子，能约分的要约成最简分数

【规范解答】解：

【名师点评】本题主要考查了学生对小数和分数互化知识的掌握情况．

3．食堂第一周烧煤 ，第二周烧煤 ，第三周烧煤 ，哪一周烧煤最少？

【思路分析】把第二周烧煤的吨数与第三周烧煤的吨数的化成小数，除不尽保留三位小数，然后再比较规范解答．

【规范解答】解：

所以， ．

答：第三周烧煤最少．

【名师点评】分数化成小数，用分子除以分母，除不尽保留三位小数，然后再比较规范解答．

考点8：利用公因数解决实际问题

例9．（2019春•兴化市期末）房间的地面长3.6米，宽3米．现在想用正方形的地砖铺地，要求地砖无需切割并且尽可能大，那么每块地砖的边长是多少分米？共要多少块这样的地砖？

【思路分析】3.6米 分米，3米 分米，求正方形地砖的边长最长是多少就是求36和30的最大公因数是多少，按求最大公因数的方法求出边长，然后再求块数．

【规范解答】解：3.6米 分米，3米 分米，

， ，

所以36和30的最大公因数为 ，

即地砖的边长最长是6分米，

（块

答：地砖的边长最长是6分米，需要这样的地砖30块地板砖．

【名师点评】此题主要考查求几个数的最大公因数并解决实际问题．

1．男、女生排队，男生24人，女生28人．要使每排人数相同且人数最多，每排最多有多少人？男生和女生分别能排几排？

【思路分析】（1）由男女生分别排队，要使每排的人数相同，可知每排的人数是男生和女生人数的公因数，要求每排最多有多少人，就是每排的人数是男生和女生人数的最大公因数；

（2）求这时男、女生分别有几排，只要用男、女生人数分别除以每排的人数即可．

【规范解答】解：（1）

所以24和28的最大公因数是： ．

即每排最多有4人；

（2）男生分的排数： （排

女生分得排数： （排

答：每排最多有4人，这时男有6排，女生有7排．

【名师点评】本题考查了公倍数和公因数应用题．规范解答本题关键是理解：每排的人数是男生和女生人数的公因数，要求每排最多有多少人，就是每排的人数是男生和女生人数的最大公因数．

2．把一块长 、宽 的铁板裁成同样大小的正方形且没有剩余，正方形的边长最长是多少厘米？可以裁成多少块？

【思路分析】根据题意可知，要把这块长方形的铁板裁成同样大小的正方形且没有剩余，正方形的边长最大是120和80的最大公因数，根据求两个数最多公因数的方法规范解答．

【规范解答】解： ，

，

所以，120和80的最大公因数是 ，

（块 ，

答：正方形的边长最多是40厘米，可以裁成6块．

【名师点评】此题考查的目的是理解掌握求两个数的最大公因数的方法及应用．

3．把 绿豆和 红豆分别装在若干个纸箱中，要使每箱绿豆和每箱红豆的质量最多且相等．

（1）每箱绿豆或红豆质量是多少千克？

（2）一共需要准备多少个纸箱？

【思路分析】（1）要使每箱绿豆和每箱红豆的质量最多且相等，就是求140和160的最大公因数，

（2）用绿豆或红豆总质量除以每箱绿豆或红豆的质量，据此规范解答即可．

【规范解答】解：（1）

所以140和160的最大公因数是：

答：每箱绿豆或红豆质量是20千克．

（2）

（个

答：最少需要15个这样的纸箱．

【名师点评】解决本题先求140 和160 的最大公因数，再根据除法的包含意义进行求解．

考点9：．利用公倍数解决实际问题

例10．李大伯家养了一群鸭子2只装一笼正好装完；如果3只装一笼也正好装完；如果5只装一笼也正好装完．已知这群鸭子比300只少，但比100只多，李大伯家养的鸭子最多是多少只？最少是多少只？

【思路分析】根据题意可知，这群鸭子的只数是2、3、5的公倍数，且鸭子的只数大于100只小于300只，根据求几个数的公倍数的方法规范解答即可．

【规范解答】解：2、3、5的最小公倍数是 ，

在大于100小于300的数中，30的倍数有：30、60、90、120、150、180、210、240、270；

所以鸭子的只数最少是120只，最大是270只．

答：李大伯家养的鸭子最多是270只，最少是120只．

【名师点评】此题考查的目的是理解掌握求几个数的公倍数的方法及应用．

1．小文每3天去一次游泳馆，小青每4天去一次游泳馆，一天小文和小青在游泳馆相遇了，再经过多少天他们会在游泳馆再次相遇？

【思路分析】甲每3天去一次，乙每4天去一次，3和4的最小公倍数就是它们下次去游泳的时间间隔，据此规范解答即可．

【规范解答】解：3和4的最小公倍数是：

答：再经过12天他们会在游泳馆再次相遇．

【名师点评】考查了求几个数的最小公倍数的方法，日期和时间的推算，本题的关键是求出强强和华华去同一个游泳馆游泳间隔天数的最小公倍数．

2．1路、2路公交车都从始发站发车，1路车每10分钟发车一次，2路车每15分钟发车一次，上午7时1路车与2路车同时发车，下次这两路车同时发车的时间是几时几分？

【思路分 析】要求下次同时发车应是几时几分，先求出再一次发车时要隔多长时间，间隔时间即10和15的最小公倍数；根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行规范解答即可．

【规范解答】解： ， ，

10和15的最小公倍数为： ，即30分钟；

7时 分 时30分；

答：下次这两路车同时发车的时间是7时30分．

【名师点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除规范解答．

2．实验小学五（1）班学生的总人数在 之间，可以分成4人一组，也可以分成6人一组，都正好分完．这个班可能有多少人？

【思路分析】先求出4、6的最小公倍数，再找到4、6的公倍数在40以内的最多的数即为所求．

【规范解答】解：

4、6的最小公倍数是 ，

因为 ，学生的总人数在 人以内，

所以可能有48人．

答：这个班可能有48人．

【名师点评】此题考查了公倍数问题，规范解答该题关键是会求两个数的最小公倍数，并用它解决实际 问题．

例11．（2019春•南京期中）花店运来一批花，要扎成花束，如果每5朵扎一束，则多2朵；如果每8朵扎一束，则差6朵，这批鲜花最少有几朵？

【思路分析】“如果每8朵扎一束，则差6朵”理解为：如果每8朵扎一束，则多2朵，求这批鲜花最少有几朵，也就是求5和8的最小公倍数多2的数，由此规范解答即可．

【规范解答】解： （朵

答：这批鲜花最少有42朵．

【名师点评】明确要求的问题即5和8的最小公倍数多2的数，是规范解答此题关键．

1．五（1）班全体同学分组做游戏，如果3个人一组或5个人一组都剩下2人．已知人数大于40且小于50．五（1）班共有多少人？

【思路分析】根据题意可知：这个班的人数在40至50人之间，如果3个人一组或5个人一组都剩下2人，也就是求出40至50之间3和5的公倍数，然后加上2即可．

【规范解答】解：3和5的最小公倍数是 ，

40至50之间，3和5的公倍数有：15、30、45，

（人 ，

答：五（1）班一共有47人．

【名师点评】此题考查的目的是理解掌握求两个数的公倍数的方法及应用．

2．桌子上有一堆糖果，如果把它们平分成3堆，就多2块；如果平分成4堆，又少1块．这堆糖果最少有多少块？

【思路分析】首先根据3堆，就多2块；分成4堆，又少1块； 如果加上一块糖，则正好分完；然后根据求几个数的最小公倍数的方法，求出3、4的最小公倍数，再用它减去1，求出这袋糖最少有多少块即可．

【规范解答】解：根据题意，可得

如果加上一块糖，则正好分完，

因为3、4互质，

所以3、4的最小公倍数是：

所以这堆糖最少有：

（块

答：这堆糖果最少有11块．

【名师点评】此题主要考查了公因数和公倍数应用题，要熟练掌握，规范解答此题的关键是判断出：如果加上一块糖，则正好分完．

3．在一条长72米的大路一边每隔8米栽树（首尾都栽），现在改为每隔6米栽一棵，那么不需要移栽的树有多少棵？

【思路分析】因为8和6的最小公倍数是24，所以在距离是24米的倍数的位置上的树不用移栽，用全长除以间距再加上1即可得出不用移栽的树的棵数．

【规范解答】解： ，

所以8和6的最小公倍数是 ，

所以 （棵 ，

（棵 ，

答：不用移栽的树有4棵．

【名师点评】本题考查了公倍数应用题，利用8和6的最小公倍数和基本的数量关系求出一边栽树的棵数是规范解答此题的关键，注意首尾都栽，所以要加1．

1．（2019秋•古丈县期末）把一根 长的绳子连续对折2次，每段占全长的　 　，每段长　　 ．

【思路分析】把这根绳子 的长度看作单位“1”，把它连续对折2次，被平均分成4段，每段占全长的 ；求每段长，原来的长度除以平均分成的段数．

【规范解答】解：把一根 长的绳子连续对折2次被平均分成4段

答：每段占全长的 ，每段长 ．

【名师点评】解决此题关键是弄清求的是“分率”还是“具体的数量”，求分率：平均分的是单位“1”；求具体的数量：平均分的是具体的数量， 要注意：分率不能带单位名称，而具体的数量要带单位名称．

2．分数单位是 的最小假分数是　 　，最大真分数是　　，最小的带分数是　　，所有最简真分数的和是　　．

【思路分析】（1）最小假分数是分子等于分母的分数，分数单位是 的最小假分数是 ；

（2）真分数是分子小于分母的分数，分数单位是 最大真分数是 ；

（3）带分数是分子大于分母的假分数的另一种表示形式，分数单位是 且分子大于分母的假分数最

小是 ，转化成带分数为 ；

（4）先写出分数单位 的所有最简真分数，再进一步求和即可．

【规范解答】解：（1）分数单位是 的最小假分数是 ；

（2）分数单位是 的最大真分数是 ；

（3）分数单位是 的最小的带分数是 ；

（4）分数单位是 的最简真分数有： ， ， ， ，

它们的和是： ．

故答案为： ， ， ，2．

【名师点评】解决此题要明确真分数、假分数、带分数和最简真分数的概念．

3．（2019春•南充期末）如果把 的分子加上6，要使分数的大小不变，那么分母应该乘　2　；如果把 的分子分母同时减去一个数后，得到的分数化简后是 ，那么减去这个数是　　．

【思路分析】如果把 的分子加上6，分子变成原来的2倍，根据分数的基本性质，要使分数的大小不变，那么分母应该乘2；

设把 的分子分母同时减去 后，得到的分数化简后是 ，所以 ，求出 的值，即可判断出减去这个数是多少．

【规范解答】解：

所以如果把 的分子加上6，要使分数的大小不变，那么分母应该乘2．

设把 的分子分母同时减去 后，得到的分数化简后是 ，

所以 ，

所以减去这个数是1．

故答案为：2、1．

【名师点评】此题主要考查了分数的基本性质，要熟练掌握，规范解答此 题的关键是要明确：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数 除外），分数的大小不变．

4．（2019春•李沧区期中）一个最简分数的分子比分母小12，如果分母加上3，这个分数可以约分成 ，这个分数原来是　 　．

【思路分析】根据题意可设这个分数的分子是 ，则原来的分母是 ，根据题意得 ，据此可求出分子是多少，进而可求出这个分数是多少，据 此规范解答．

【规范解答】解：设这个分数的分子是 ，则原来的分母是 ，

这个分数的分子是5，分母是 ，所以这个分数是 ．

答：这个分数原来是 ．

故答案为： ．

【名师点评】本题的重点是找出题目中的数量关系，再列方程进行规范解答．

5．（2019•东莞校级模拟）两位数“2□”是3和4的公倍数，□里的数是　4　．这个两位数与16的最大公因数是　 　．

【思路分析】首先根据同时是3和4的倍数的特征，个位上必须是偶数，且个位和十位上的数字之和是3的倍数，由此确定个位上是4，再根据求两个数的最大公因数的方法规范解答．

【规范解答】解：根据同时是3和4的倍数的特征，个位上必须是偶数，且个位和十位上的数字之和是3的倍数，由此确定个位上是4．

，

，

24和16的最大公因数是： ，

故答案为：4，8．

【名师点评】此题考查的目的是掌握3、4的倍数的特征以及求出两个数的最大公因数的方法．

6．（2019春•郾城区期末）在 、0.87、 和0.875中，最大的数是　 　，最小的数是　 　．

【思路分析】把分数化为小数，按照小数大小比较的方法得出答案即可．

【规范解答】解： ， ，

因为 ，

所以 ．

最大的是 ，最小的是 ．

故答案为： ， ．

【名师点评】此题考查分数与小数的互化，以及小数大小的比较方法，注意掌握基础知识，灵活解决问题．

7．（2019春•上海月考） ， 是自然数且 ，如果 和 的最大公因数是33，则 是　11　， 和 的最小公倍数是　　．

【思路分析】根据求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，得出 和 的最大公因数 ，得出 ；然后根据最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，带入数据，由此解决问题即可．

【规范解答】解：

和 的最大公因数是

和 的最小公倍数是 ；

故答案为：11，330．

【名师点评】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法规范解答．

8．（2019春•邓州市期末）如果 、 不为 ，则 、 两数的最大公因数是 　　

A．6 B． C．

【思路分析】倍数关系的两个数的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数，由 、 都是非零自然数，如果 ，则 ，可知： 和 是倍数关系， 是较小数， 是较大数，据此规范解答．[来源:学&科&网Z&X&X&K]

【规范解答】解： 、 都是非零自然数，如果 ，则 、 两数的最大公因数是 ；

故选： ．

【名师点评】答本题关键是能由 ，知道 和 是倍数关系．

9．（2019春•苏州期中）一个分数的分子和分母相加，和是33，把它约分后得 ．这个分数是　 　．

【思路分析】首先用原来分数的分子、分母的和除以约分后的分子、分母的和，求出约分后分母、分子各缩小了多少倍；然后根据分数的基本性质，求出这个分数是多少即可

【规范解答】解：

所以这个分数是：

．

故答案为： ．

【名师点评】此题主要考查了分数的基本性质的应用，要熟练掌握，规范解答此题的关键是求出约分后分母、分子各缩小了多少倍．

10．分数单位是 的最大真分数是　 　；最小假分数是　　；最小带分数是　　，再添上　　个这样的单位就等于最小的质数．

【思路分析】（1）真分数是指分子小于分母的分数；假分数是指分子大于和等于分母的分数．

（2）最小的质数是2，用2减去原分数的结果，再看有几个分数单位即可规范解答．

【规范解答】解：（1）分数单位是 的最大真分数是 ；最小假分数是 ；最小带分数是 ，

（2）最小的质数是2， ，再添上 11个这样的单 位就等于最小的质数．

故答案为： ， ， ，11．

【名师点评】此题考查对分数单位和真分数假分数的运用．[来源:Zxxk.Com]

11．（2019春•简阳市 期中）若分数 的分母加上20，要使分数的大小不变，分子应该 　　

A．加上20 B．加上16 C．乘4 D．乘6

【思路分析】首先发现分母之间的变化，由5变成25，扩大了5倍，要使分数的不变，分子也应扩大5倍，据此规范解答即可．

【规范解答】解： 的分母加上20，分母变成 ，

分母就扩大了 倍，

要使分数的大小不变，分子也应该扩大5倍．

即分子应加上16．

故选： ．

【名师点评】此题主要利用分数的基本性质规范解答问题，先观察分子或分母之间的变化，发现规律，再进一步通过计算规范解答问题．

12．（2019•滨海县模拟）若 ， 、 、 均是不等于0的整数），那么 　　

A． 是 和 的公倍数 B． 是 和 的公倍数

C． 是 和 的公倍数

【思路分析】通过思路分析可知：若 ， 、 、 均是不等于0的整数），那么 能被 和 整除，据此规范解答即可．

【规范解答】解： ， 、 、 均是不等于0的整数），那么 能被 和 整除，即 是 和 的公倍数．

故选： ．

【名师点评】此题考查运用求公倍数的方法来解决问题的方法．

13．（2019春•海南区期末） 的分子加上6，要是分数的大小不变，分母应加上 　　

A．6 B．8 C．15 D．20

【思路分析】根据分数的基本性质，原来的分子是2，分子加上6后是8，也就是分子扩大4倍，要使分数的大小不变，分母也要扩大4倍，用扩大后的分母减去原来的分母即可．

【规范解答】解： ，

，

，

答：分母应加上15．

故选： ．

【名师点评】此题考查的目的是理解掌握分数的基本性质及应用．

14．（2019春•庆云县期末）大于 而小于 的分数有 　　 个．

A．1 B．2 C．无数

【思路分析】依据分数的基本性质，将两个分数的分子和分母同时扩大若干倍，介于它们中间的真分数就会有无数个，据此即可进行判断即可．

【规范解答】解：将 和 的分子和分母扩大若干个相同的倍数，同分母的分数只有2个即 、 ，而不同分母的分数有很多个，所以在 和 间会出现无数个真分数．

故选： ．

【名师点评】规范解答此题的关键是依据分数的基本性质将两个的分子和分母扩大若干倍，即可找到无数个介于它们中间的真分数 ，从而解决问题．

15．（2019春•金溪县校级期末）把下面分数小数互化．

0.72 1.8 20.6 90.7 0.625

．

【思路分析】把小数化成分数，有几位小数就在1的后面添上几个0作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分要约分．把分数化成小数用分子除以分母．据此规范解答．

【规范解答】解：

【名师点评】此题考查的目的是理解掌握小数与分数的互化方法，并且能够正确熟练地进行互化．

16．（2019春•绿园区期中）通分并比较大小：

和 和 和 ．

【思路分析】首先确定每组分数的分母的最小公倍数，然后根据分数的基本性质进行通分，将异分母分数化为同分母分数后，再进行比较大小．

【规范解答】解：（1） ， ，

所以 ；

（2） ， ，

所以 ；

（3） ，

所以 ．

【名师点评】比较异分母分数的大小时，一般要将异分母分数化成同分母的分数后再进行比较．

17．（2019春•卢龙县期末）五（1）班有41人，大课间活动中，有10人跳绳，25人踢毽子，其他同学跑步．跳绳和踢毽子的人数占全班人数的几分之几？跑步的占全班人数的几分之几？

【思路分析】把全班的总人数看成单位“1”，先把跳绳和踢毽子的人数相加，求出它们的人数和，再除以全班的总人数，即可求出跳绳和踢毽子的人数占全班人数的几分之几，再用1减去这个分率，即可求出跑步的占全班人数的几分之几．

【规范解答】解：

答：跳绳和踢毽子的人数占全班人数的 ，跑步的占全班人数的 ．

【名师点评】此题属于分数除法应用题中的一个基本类型：已知两个数，求一个数是另一个数的几分之几．

18．（2019春•寻乌县期中）甲、乙、丙三名同学进行拍球比赛，都拍了300个球．甲用了0.7小时，乙用了 小时，丙用了 小时，谁拍得最快？

【思路分析】首先比较出甲、乙、丙三名同学用的时间的长短；然后根据：工作量一定时，谁用的时间越短，则谁拍得最快，判断出谁拍得最快即可．

【规范解答】解： ， ，

因为 ，

所以 ，

所以拍相同的球，甲用的时间最短，

所以甲拍得最快．

答：甲拍得最快．

【名师点评】此题主要考查了分数大小的比较，以及工程问题的应用，要熟练掌握，规范解答此题的关键是要明确：工作量一定时，谁用的时间越短，则谁拍得最快．

19．红旗连锁超市新进了一批口味不同的饼干，草莓味的占全部饼干的 ，葡萄味的占全部饼干的 ，黄瓜味的占全部饼干的 ，哪种口味的饼干最多？

【思路分析】通过比较三种饼干所占全部饼干的几分之几，即可确定哪种口味的饼干最多．可把三个分数化成同分子的分数再比较．1、2、3的最小公倍数是6，根据分数的基本性质， 的分子、分母都乘6， 的分子、分母都乘3， 的分子、分母都乘2．然后根据同分子的分数比较大小，分母大的分数反而小即可比较．

【规范解答】解：

因此

即

答：黄瓜味的饼干最多．

【名师点评】分数的大小比较方法是：同分母的比分子，分子大的就大；同分子的比分母，分母大的反而小；分子、分母都不同的，首先通分化成同分母或同分子的分数再比较．

20．（2019春•高密市期末）在学校的“艺术月”活动中，五年级八班的同学用 纸鹤来装饰教室．张宙3分钟折5个纸鹤，李红7分钟折9个纸鹤，王强5分钟折7个纸鹤．谁折的最快？请写出思路分析过程．

【思路分析】张宙3分钟折5个纸鹤，用5除以3，求出张宙每分钟折几个纸鹤，同理求出李红、王强每分钟折纸鹤的个数，再比较即可求解．

【规范解答】解： （个

（个

（个

答：张宙折的快．

【名师点评】解决本题先根据工作效率 工作量 工作时间，求出三人的工作效率，再根据分数比较大小的方法求解．

21．（2019春•桐梓县期末）李老师买了60个语文本和48个数学本，要将它们平均分给若干名同学，如果语文本和数学本都没有剩余，且保证分到语文本和数学本的同学人数相同，最多能分给多少名同学？

【思路分析】根据题意，属于求最大公因数的问题，“如果语文本和数学本都没有剩余，且保证分到语文本和数学本的同学人数相同，最多能分给多少名同学？”就是求60与48的最大公约数即可．

【规范解答】解：

所以48与60的最大公约数为12．

答：最多能分给12名同学．

【名师点评】此题属于求最大公因数问题，掌握求两个数的最大公因数的方法，能够利用求最大公因数的方法解决有关的实际问题．

22．（2019春•简阳市 期末）一箱苹果在40个和60个之间，如果4个4个地数，最后 剩下3个，如果个5个地数，最后剩下4个．这箱苹果共多少个？

【思路分析】如果4个4个地数，最后剩下3个，如果个5个地数，最后剩下4个．把苹果的个数加1个，就正好数完，也就是说苹果的个数就是比4、5的公倍数少1，要求这箱苹果有多少个，即是40个和60之间4和5的最小公倍数再减1即可．

【规范解答】解：4和5是互质数，

所以4和5的最小公倍数是 ，

20的倍数有20，40，60，80，

40个和60之间只有 （个

答：这箱苹果共59个．

【名师点评】考查了求几个数的最小公倍数的方法，规范解答本题关键是理解：苹果的个数加1就是4、5的公倍数．