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第十九讲 行程问题中的变速
行程问题是小学应用题中很重要的一部分，从同学们刚刚接触行程问题开始，同学们已经学习了很多类型的行程问题，例如：火车问题、流水行船问题、环形路线问题等．几年的积累，相信同学们已经对行程问题已经有了一定的认识．但我们仅仅见识到了行程问题中的冰山一角，我们以后还会在学习数学和物理的过程中，更深入的了解行程问题的本质．
行程问题来源于生活．在现实的生活中，不可能以同样的速度一直朝同一个方向走，经常会出现变向和变速的情况．我们将利用两次课的时间来深入的研究一下这类问题．
首先我们来介绍一个概念——平均速度．平均速度是一种特殊的速度，它衡量的是一段时间内物体在所有路程上运动的平均快慢程度，体现在公式中：
．
关于平均速度，尤其值得大家注意的是平均速度不是速度的平均．比如：在一段长为480米的跑道上，前一半路程速度为每秒4米，后一半路程速度为每秒6米，那么平均速度就为：
，而速度的平均为：
，这两个值是不等的．
邮递员早晨7点出发送一份邮件到对面的村里，从邮局开始先走12千米的上坡路，再走6千米的下坡路．上坡的速度是3千米/时，下坡的速度是6千米/时，请问：
邮递员去村里的平均速度是多少？
邮递员返回时的平均速度是多少？
邮递员往返的平均速度是多少？
「分析」一定严格按照平均速度的公式解题．
练习1、阿瓜要去小高家玩．一共要走1200米，前400米阿瓜的速度是5米/秒，后面800米的速度是2.5米/秒．那么他全程的平均速度是多少？
如
图所示，一只蚂蚁沿等边三角形的三条边爬行，在三条边上它每分钟分别爬行60厘米、20厘米、30厘米．蚂蚁由A点开始，如果顺时针爬行一周，平均速度是多少？如果顺时针爬行了一周半，平均速度又是多少？
「分析」对于等边三角形的边长，不妨采用设数法．
练习2、如果例题中的这只蚂蚁逆时针爬行2周半，平均速度是多少？
在很多行程问题中，我们并不能一下子弄清楚整个过程，特别是在运动过程中有变向和变速的时候，那就需要分段来考虑整个过程．下面就来看一个这样的问题．
男
、女两名田径运动员在长120米的斜坡上练习跑步（如图所示，坡顶为A，坡底为B）．两人同时从A点出发，在A、B之间不停地往返奔跑．已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒5米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米．请问：两人第一次迎面相遇的地点离A点多少米？第二次迎面相遇的地点离A点多少米？
「分析」本题可采用分段计算，一些速度发生变化或方向发生变化的位置可作为分段计算的线索．
练习3、在30世纪的某一天，卡莉娅和墨莫两人在地球和火星间进行往返旅行．如果卡莉娅从地球飞向火星的速度是300万公里/天，而从火星返回地球的速度是400万公里/天；墨莫从地球飞向火星的速度是200万公里/天，而从火星返回的速度是300万公里/天．现两人同时从地球出发，在地球和火星间往返，请问两人第二次迎面在太空中相遇时距离地球多少万公里？（已知地球和火星间的距离约为6000万公里）
通过例题3，我们对于变速和变向问题有了基本的解题思路，那就是分段考虑．分段考虑就是把一个大的问题进行分割，化整为零，各个击破．将复杂的问题简单化，不仅在行程问题中，在很多其他的问题中都有应用，特别是对于一些过程复杂的问题具有很好的效果．
在一条南北走向的公路上有A、B两镇，A镇在B镇北面4.8千米处．甲、乙两人分别同时从A镇、B镇出发向南行走，甲的速度是每小时9千米，乙的速度是每小时6千米．甲在运动过程中始终不改变方向，而乙向南走3分钟后，便转身往回走2分钟，接着按照先向南走3分钟，再向北走2分钟的方式循环运动．请问：两人相遇的地点距B镇多少千米？
「分析」注意分析两人路程差的变化规律．
练习4、在东西方向上的A、B（A地在B的西面）两地相距6千米．甲乙分别同时从A、B两地出发向东走，甲的速度是每小时12千米，乙的速度是每小时6千米．甲在运动的过程中始终不改变方向，而乙向东走了2分钟后，便转身往回走1分钟，再转向东走2分钟，再转身走1分钟，……，那么甲、乙两人相遇的地点距B地多远？
龟兔赛跑，全程1.04千米．兔子每小时跑4千米，乌龟每小时爬0.6千米．乌龟不停地爬，但兔子却边跑边玩，兔子先跑了1分钟然后玩15分钟，又跑2分钟然后玩15分钟，再跑3分钟然后玩15分钟，……．请问：先到达终点的比后到达终点的快多少分钟？
「分析」首先可确定乌龟到达终点的时间，然后再确定兔子到达终点的时间，两个时间直接对比即可得出答案．
如
图所示，正方形边长是1200米，甲、乙两人于8:00同时从A，B沿图中所示的方向出发，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米，且两人每到达一个顶点都需要休息1分钟．求甲从出发到第一次看见乙所用的时间．
「分析」注意甲与乙的路程差是一个边长，且恰好到达拐角处时甲即可看见乙．
田径比赛——障碍跑
障碍跑作为田径项目，始于英国．它和越野跑可算是一对“孪生兄弟”．越野跑是从儿童游戏脱胎而来的．有人设想把越野跑搬到运动场上来．于是，运动场上出现了篱笆、栅栏、水坑等人工障碍物．1837 年，在英国乐格比高等学校里，首创了一种叫做“障碍跑”的比赛项目．从此，这项活动在英国普遍开展起来．随后又相继传到其他国家，这才逐渐被人们所接受．
19世纪，障碍跑在英国兴起．最初在野外进行，跨越的障碍是树枝、河沟，各障碍间的距离也长短不一，19世纪中叶开始在跑道上进行．有研究报告指出：19世纪时障碍跑的距离不统一，具有很大的随意性，短的440码，长的可达3英里．
1900年第2届奥运会首次设立障碍跑，分2500米和4000米两个项目．从1904年第3届奥运会起将障碍跑的距离确定为3000米，并沿用至今．全程必须跨越35次障碍，其中包括7次水池．障碍架高91.1~91.7厘米，宽3.96米，重80~100公斤．400米的跑道可摆放5个障碍架，各障碍架的间距为80米．运动员可跨越障碍架，也可踏上障碍架再跳下，或用手撑越．国际田联直到1954年才开始承认其世界纪录．
作业
如
图所示，一个蜗牛从A点出发沿着一个三角形的三边爬行，速度如图所示（单位：厘米/分），那么这个蜗牛顺时针爬行一周的平均速度是多少厘米/分？顺时针爬行一周半的平均速度是多少厘米/分？
小山羊去山上吃草，前一半路程速度为每秒4米，后一半路程开始跑步，速度为每秒6米．那么整段路程的平均速度是多少米/秒？
山谷和森林相距2000米，小老虎从森林出发去山谷，速度为5米/秒．它每走120米都会休息10秒钟，那么走完全程一共需要多少秒？
如
图，B地是AC两地的中点，AC之间的距离是12千米．人在AB上的速度是3千米/时，在BC上的速度是2千米/时．现在甲、乙二人分别从A、C两地同时出发，几时几分后两人相遇？
在一条河的相距24千米的两个码头A、B之间，客船和货船同时从上游的A码头出发，在A、B之间不停的往返运动．已知，水速是每小时2千米，客船的速度是每小时6千米，货船的速度是每小时4千米，那么两船第一次迎面相遇的地点距离A码头多少千米？第二次迎面相遇的地点距离A码头多少千米？
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