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第十五讲 数字谜中的计数
上一讲我们讲解了一些与数论相关的计数问题，这一讲我们来研究一下数字谜中的计数问题，首先我们来看竖式问题．
如图，请在方框中填入0~4中的数字，使竖式成立．小高的填法如下中图，卡莉娅的填法如下右图，墨莫说，还有很多种填法．同学们你能判断出一共有多少种不同的填法吗？
+
4
4
4
4
1
3
+
3
1
4
4
4
4
2
1
+
2
3
4
4
4
「分析」观察可知竖式中没有进位，个位、十位、百位上的数字和均为4，本题难度一般，但是同学做题时要注意准确性．
+
3
3
3
练习1、如图，方框中都是0~3中的数字，使竖式成立，一共有多少种填法？
如图，方框中都是3~6中的数字，求出所填九个数字之和为多少？一共有多少种填法？
+
4
9
9
5
「分析」注意题目要求只能填入3至6中的数字，能不能确定每一位的数字和？
+
5
3
7
练习2、如图，方框中都是4~7中的数字，一共有多少种填法？
数字谜中的计数问题，不仅要求填出的方案能满足数字谜的要求，还要把所有情况考虑周全，这也是此类问题比较难的原因．在解决此类问题时，往往分成两步：首先找到所有不同类的填法，然后再考虑每一类填法有多少种即可．但要注意在做这两步时都要做到不重不漏．
将
1到6填入下图，使得每两个相邻的空格中都有1个奇数1个偶数，那么有多少种填法？
「分析」抛开1~6这六个数字的具体数值，只按奇、偶性分析题目是解题关键．
练习3、将1~4填入方框中，使得每相邻的2格都既有奇数又有偶数，那么共有多少种填法？
在图1的空格内各填入一个一位数，使同一行内左面的数比右面的数大，同一列内上面的数比下面的数小，并且方格内的6个数字互不相同，例如图2为一种填法．那么一共有多少种不同的填法？
2
6
4
2
3
7
5
3
图1
图2
「分析」对于这类表格填数问题，我们常常用分步的思想分析：先考虑某几个方格中所填的数会是哪些，再考虑这些数在这些方格中的位置有几种可能．
练习4、在1~7中选出6个互不相同的数字填入下图的的表中，使得相邻的两个方框内，下面的数字比上面大，右边的数字比左边大．一共有多少种填法？
以前在填写数阵图时，一般都需要先找到突破口，再顺藤摸瓜填满所有空格．现在对于数阵图中的计数问题，同样也要先找到数阵图的突破口．
在1~9中选出6个互不相同的数字填入下图的表中，使得相邻的两个方框内，下面的数字比上面大，右边的数字比左边大．一共有多少种填法？
「分析」首先填出可能性比较少的位置或数字，．
将
数字1至6分别填入图中各个圆圈，使得每条线段两个端点处所填的数，上面的比下面的大，那么符合上述要求的不同填数方法一共有多少种？
「分析」这个数阵图中，我们首先应该考虑的位置是哪个？
节日问候
特里格教授在洛杉矶城市学院时提出了如下的问题(《美国数学月刊》问题El241，1956年)：
节日问候“MERRY XMAS TO ALL”是一个数字谜，每个字母代表惟一的数字，而每个词是一个平方数．求所有解．
结果只有两个解：
27556 3249 81 400和34225 7396 81 900
罗森菲尔德(Azriel Rosenfeld)发现，如果加一个条件，要求每个词的数字之和是一个完全平方数，则解是惟一的．
卡斯特(Edgar Karst)发现，同一句问候的方程MERRY+XMAS= TOALL也是一个数字谜．其中每个字母代表惟一的数字，而每个词能被3整除．这时有惟一解：84771+5862=90633．
作业
在右边的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字．这个竖式有多少种不同的填法？
A
B
+
C
A
1
2
3
如
图，方框中都是6~9内的数字，为使竖式成立，一共有多少种填法？
31）将1到9填入图中，使得每两个相邻的空格中都有1个奇数和1个偶数，有多少种填法？
从
数字1~6种选5个填入图中，使每相邻两格中，下边的数字比上边的大，右边的数字比左边的大，有多少种填法？（12）
如图，在1~10中选6个数字填入图中，使得上面的数比下面的数大，那么有种填法？
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