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第十四讲 数论相关的计数
在前面的学习中，我们学习了解决计数问题的一些基本方法，包括：枚举法、树形图、分类讨论、加法原理和乘法原理、排列与组合等．计数问题是多种多样的，它经常与其他的知识联系在一起，比如几何、数论、数字谜等等．今天让我们来研究一下结合了数论知识的计数问题．
恰好能同时被6，7，8，9整除的四位数有多少个？
「分析」大家还记得公倍数怎么求吗？
练习1、恰好能同时被4，5，6整除的三位数有多少个？
用1、2、3、4、5、7这6个数字各一次组成六位数，并且使这个六位数是11的倍数，有多少种不同的方法？
「分析」根据11的整除特性，通过分析奇位数字和与偶位数字和，再结合本题的已知条件可以获得解题的线索．
练习2、用1，2，3，4各一次组成四位数，使得它是11的倍数，有多少种不同的方法？
从1~10这10个数中选出2个数，请问：
（1）要使这2个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？
（2）要使这2个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？
「分析」（1）两个数的乘积能被3整除，那么这两个数中至少有一个能被3整除．如何选取才能保证选到3的倍数呢？（2）要考虑两个数的和是否能被3整除，只需要考虑每个数除以3的余数的情况，那么怎样的两个数相加才能被3整除呢？
练习3、从1~12这12个数中选出2个数，请问：
（1）要使这2个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？
（2）要使这2个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？
如果称能被8整除或者含有数字8的自然数为“吉利数”，那么在1至200这200个自然数中有多少个“吉利数”？
「分析」这道题目可以从两方面入手，8的倍数和含有数字8的数，注意其中重复的情况．
练习4、在1至200这200个自然数中，含有数字9或者能被9整除的有多少个？
前面几个例题都是计数与整除相结合的题目．而除了整除之外，与数字相关的问题也属于数论的范畴，下面我们来看两道与数字有关的计数问题．
有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”按从小到大的顺序排成一行：1234，1235，1236，…，6789．请问：此列数中的第100个数是多少？
「分析」数字从左往右依次增大的数是“上升数”，那么四位“上升数”一共有多少个呢？显然，不能将前100个“上升数”都写出来，那怎么才能方便的计算出第100个数呢？
一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是回文数．请问：六位回文数有多少个？五位回文数又有多少个？五位的回文数中，有多少个是4的倍数？
「分析」“回文数”一定是左右对称的，不妨从左往右分析，一旦左面的一个数字确定，右面一定有一个数字和其相同．
回文联
数学当中有回文数，在文学当中也有回文联．回文联，它是我国对联修辞奇葩(pā)中的一朵．用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅它的意思不变，而且颇具趣味．兹举数例如下．
其一：河南省境内有一座山名叫鸡公山，山中有两处景观：“斗鸡山”和“龙隐岩”．有人就此作了一副独具慧眼的回文联：
斗鸡山上山鸡斗
龙隐岩中岩隐龙
其二：厦门鼓浪屿鱼脯浦，因地处海中，岛上山峦叠峰，烟雾缭绕，海淼淼水茫茫，远接云天．于是，一副饶有趣味的回文联便应运而生：
雾锁山头山锁雾
天连水尾水连天
其三：清代，北京城里有一家饭馆叫“天然居”，乾隆皇帝曾就此作过一副有名的回文联：
客上天然居
上联是说，客人上“天然居”饭馆去吃饭．下联是上联倒着念，意思是没想到居然像是天上的客人．乾隆皇帝想出这副回文联后，心里挺得意．即把它当成一个联，向大臣们征对下联，大臣们面面相觑，无人言声．只有大学士纪晓岚即席就北京城东的一座有名的大庙——大佛寺，想出了一副回文联：
人过大佛寺
寺佛大过人
上联是说，人们路过大佛寺这座庙．下联是说，庙里的佛像大极了，大得超过了人．纪学士的下联，想得挺不错．
这副回文联放到乾隆皇帝的一块，就组成一副如出一口的新回文联了：
其四：湛江德邻里有一副反映邻里之间友好关系，鱼水深情的回文联，至今传颂不衰：
邻居爱我爱居邻
鱼傍水活水傍鱼
作业
1~100中，7的倍数有多少个？除以7余2的数有多少个？
从1~15中，选出2个数，使它们的和是3的倍数，共有多少种选法？
用1、2、3、4、5、8、9组成不重复的七位数，其中有多少个能被11整除？
如果把三位的“上升数”从小到大排列一下，如123、124、…，那么第20个上升数是多少？
有一类六位数，组成每个数的六个数字互不相同，并且每个数中任意两个相邻的数字组成的两位数都能被3整除．这类六位数共有多少个?
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