第十三讲 沙漏与金字塔

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观察故事中的第4幅图，太阳照下来在桌面上形成一个圆形的亮斑，如图1所示，我们将图形抽象成三角形，如图2所示．观察一下，这个图形与生活中的什么东西比较像？对了，沙漏！今天，就让我们来学习一下有关“沙漏”的知识．

沙漏有一个必要条件：线段AB平行于线段CD，如图2所示．在沙漏中，我们总结出了如下性质：

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这就是我们今天要研究的平行线间的比例关系——即沙漏形三角形间的比例关系，简称沙漏．

例题1．

如图所示，梯形ABCD的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？

分 析：图中给出的是一个梯形，梯形的上底和下底是平行的，你能找到平行线间的沙漏吗？如何利用这个沙漏呢？

练习1．

如图所示，梯形的面积是48平方厘米，下底是上底的3倍，求阴影部分的面积．

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在沙漏模型中，各线段的长度有比例关系，各区域的面积也有比例关系．如图所示，如果沙漏形的上下底之比为a:b，四个三角形的面积之比为a²:ab:ab:b²．

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例题2．

如 图，平行四边形ABCD的面积是90．已知E点是AB上靠近A点的三等分点，求阴影部分的面积．

分析：图中有没有沙漏形？它的上底与下底之比是多少？

练 习2．

如图，正方形ABCD的边长是6，E点是BC的中点．求△AOD的面积．

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寻找沙漏的时候，一定把握住一点：平行线．题目中如果出现了平行线，那么只要找到平行线间的相交线就可以找到沙漏．同学们在做题的过程中一定要用心体会这一点．

小故事

沙 漏

沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．西方沙漏由两个玻璃球和一个狭窄的连接管道组成．利用上面的玻璃球的沙子穿过狭窄管道流入底部玻璃球所花费的时间来对时间进行测量．一旦所有的沙子都已流到底部玻璃球，该沙漏就可以被颠倒以重新测量时间了．一般的沙漏有一个名义上的运行时间1小时．

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例题3．

如图所示，边长为8厘米和12厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影部分的面积．

分 析：图中有很多组平行线，那么这些平行线就构造出很多沙漏，你能找出这些沙漏吗？那么想求阴影部分的面积，该利用哪一个沙漏呢？

练习3．

如图所示，图中的两个正方形的边长分别是10和6，那么阴影部分的面积是多少？

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我们发现，沙漏模型由一组平行线和一组相交线构成，且相交线的交点在平行线之间．如果交点在两条平行线的同一侧，就会构成一种新的模型，我们形象的称之为金字塔模型．在金字塔模型中也有相应的比例关系．

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例 题4．如图，直角三角形ABC中，AB=4，BC=6．又知BE:EC=1:3，求△CDE的面积．

练 习4．如图，EF与BC平行， ．已知 ， ，那么CE的长度是多少？AC的长度是多少？BC的长度是多少？

例题5．

如 图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，已知正方形ABCD的面积为60平方厘米，求阴影部分的面积．

分析：如图所示，假设阴影三角形的另外两个顶点是G和H．

容易看出，三角形AGH在三角形ABD中，而三角形ABD的面积是正方形ABCD的一半，如果我们能够找到这两个三角形之间的面积关系，那么本题也就迎刃而解了．

例题6．

已知三角形ADE的面积为3平方厘米，D是AB边的三等分点（靠近A点），且DE与BC平行，请求出三角形OBC的面积为多少平方厘米？

分 析：图中既有沙漏形，也有金字塔形．沙漏形的上底和下底分别是DE和BC，它们的比是多少？是不是需要用到金字塔形中的比例关系？

埃及金字塔

在非洲古国埃及的尼罗河畔，开罗城近郊的广裹沙漠中，巍然耸立着一群巨大的方锥形建筑物，这就是全球著名的古代世界八大奇观之首的埃及金字塔．它气势威严，历经沧桑，迄今已有四、五千年的历史．它又是古埃及高度文明的象征，是人类遥远历史的见证．

金字塔以其形体极似汉字的“金”字，因此在中国称为“金字塔”．在欧洲则称为“庇拉米斯”，是古埃及语“高” 的意思，可见高大是金字塔的特征．

埃及金字塔是奴隶制帝王的陵墓，国王生前穷奢极欲，死后也仍想主宰天下．因此，在生前就不惜一切为自己修造所谓的“永久坚固的寓所”——金字塔，帝王希图永远保存自己的尸骨和尊严，于是从埃及第三王朝起便开始兴建金字塔．约在公元前2800-2300年之间，那是金字塔盛行的时代．

在埃及有大、小金字塔70余座．第1座是埃及第三王朝国王杰赛尔的阶梯形金字塔，后来的角锥形金字塔，是在此基础上发展演变而来的．其中位于开罗郊区吉萨城附近的胡夫和哈夫拉两座金字塔，被列为世界古代八大奇观之首．这两座金字塔加上显示国王威严的狮身人面像，成为埃及金字塔风光的象征．

胡夫金字塔规模最大，所以又称为“大金字塔”．它高 146.5米，像一座40层高楼，拔地而起．在1889年巴黎埃菲尔铁塔(312.5米)修建之前，一直是世界上最高的建筑物．该塔占地80亩，边长2300多米，周长约1公里．全塔用230多万块大、小不同的巨石砌成，总体积250万立方米．平均每块石头重2.5吨，最重的一块约160吨．石块连接没有使用丝毫粘着物，但石块间丝隙皆无，使人赞叹!

塔内有甫道、石阶、通风道和墓室．墓室分3层，位于塔底正中地下30米深处．胡夫大金字塔建筑之奇，至今仍是不解之谜．金字塔这样宏伟的建筑，有人认为是天外来客所建，但毕竟金字塔巍峨壮观地坐落在地球上，成为人类史上一座不朽的丰碑．它生动具体地告诉人们：古代埃及的奴隶们是怎样地在没有火药、没有机械的年代，利用双手及简单工具而创造出这一惊人的奇迹．

金字塔至今作为世界奇观，傲对碧空，成为当今闻名世界的旅游胜地．

1. 如图所示，DE与BC平行，已知 ， ， ，则BC的长度是多少？

2. 如 图所示，DE与BC平行，已知 ， ，△ADE的面积为32，则四边形DECB面积是多少？
   
   
   
   
   
   

3. 如 图所示，梯形ABCD的面积是50，下底长是上底长的1.5倍，阴影三角形的面积是多少？
   
   
   
   
   
   

4. 如 图所示，正方形ABCD的边长是6，E点是BC的三等分点．△AOD的面积是多少？

5. 如 图，平行四边形ABCD的面积是12， ，AC与BE的交点为F，那么图中阴影部分面积是多少？