第七讲 位值原理

在十进制中，每个数都是由0~9这十个数字中的若干个组成的，而每个数字在数中都占一个数位，数的大小是由数字和数字所处的数位两方面共同决定的．比如一个数由1、2、3三个数字组成，我们并不能确定这个数是多少，因为1、2、3能组成很多数，例如213、321、123、……．但如果说1在百位，2在十位，3在个位这样去组成一个数，就能很清楚地知道这个数应该是123．

从这个例子可以看出，一个数的大小由数位和数位上的数字共同决定，一个数字在不同的数位上表示不同的大小：

个位上的数字代表几个1；

十位上的数字代表几个10；

百位上的数字代表几个100；

……

_{那么可以利用这种办法将一个多位数拆开，例如} ，这个结论被称为位值原理．有的时候，为了分析问题方便，我们并不将多位数逐位展开，而是采用整体展开的办法，如 ，我们将在后面的例题中看到这些方法的具体应用．

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例题1．

一个两位数等于它的数字和的6倍，求这个两位数．

练习1．

一个两位数等于它的数字和的7倍，这个两位数可能是多少？

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通常我们在利用位置原理的过程中，要利用字母来表示数，所以同学们一定要熟练和掌握这种表示方法，并能利用位值原理将字母表示的数展开．

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例题2．

在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得的三位数比原数大8倍，求这个两位数．

分析：我们可以将两位数设为 ，如果a、b中间加一个0，这个数就变成了 ．接下来我们就可以将新三位数和原两位数用位值原理展开，然后解方程求出两位数．

练习2

在一个两位数的两个数字之间加一个0，所得的三位数是原数的6倍，求这个两位数．

例题3．

一个三位数，把它的个位和百位调换位置之后，得到一个新的三位数，这个新三位数和原三位数的差的个位数字是7．试求两个数的差．
分析：设原来的三位数是 ，个位百位调换位置后，得到的新的三位数就是 ．这两个数的差有什么样的性质？

练习3．
把一个三位数颠倒顺序后得到一个新数，这个数比原来数大792，那么原来的三位数最大可以是多少？

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在一些位数较多的位值原理问题中，如果将每一个数位都拆开，再进行分析，往往会出现太多的字母，让人觉得无从下手．这个时候我们就要将多位数中的一部分作为一个整体来考虑，这样就能避免不必要的计算，从而更轻松地解决问题．

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例题4．

若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式

中，“学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少？
分析：如果本题我们逐位展开，那么题目会变得十分复杂．但注意到题目中的两个六位数都是由“ ”和“ ”两部分构成，我们可以将这两部分作为展开的最小单位，那这两个六位数该展开成怎样的算式呢？

练习4．

若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式

中，“用微信交作业”所表示的六位数最小是多少？

例题5．

在等式“ ”中，相同的汉字代表相同的数字，不同汉字表示不同数字，其中“五”代表“5”，“月”代表“8”，那么“ ”所代表的五位数是多少？

分析：在本题中，我们应该把什么作为展开的最小单位呢？



例题6．

在一个三位数的百位和十位之间加入一个数字后，得到的四位数恰好是原三位数的9倍，那么这样的三位数最小是多少？最大是多少？
分析：假设原来的三位数是 ，在百位和十位之间加入一个数字d，得到的四位数就是 ．那我们该如何进行展开才能简化计算呢？

神奇的杠杆

上图是一杆秤，平时如果陪家长买过菜的同学应该见到过，秤杆的一边是一个秤砣，另一边是要称重的物体，仅仅凭借移动秤砣在撑杆上的位置，就可以与很多重量不同的物品保持平衡，从而根据秤杆上的刻度来确定物品的重量．

这也与位值原理有类似的地方，秤砣放在不同的位置，可以与不同的重量保持平衡．而欲使杠杆保持平衡，只要满足一个简单的比例式就可以了： ．

所以，阿基米德曾经说过：“给我一个支点，我可以撬起地球！”这句话不仅是激励我们奋进的格言，更是有科学根据的．

1. （1） ；（2） ；
   （3） ；（4） ．

2. 在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得到的三位数是原数的7倍，这个两位数是多少？

3. 将一个两位数的个位数字和十位数字交换位置，得到一个新的两位数．它比原来的两位数小54，那么原来的两位数最小是多少？

4. 将一个两位数的个位数字和十位数字交换位置，得到一个新的两位数．它与原来的两位数的和是187，那么原来的两位数是多少？

5. 在等式“ ”中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字．那么，“ ”这个六位数等于多少？