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第四讲 计算综合一
看完前面的故事，同学们可能有些疑问，真的需要那么多麦子吗？同学们可以试着算一算：从第一个棋盘开始，需要的麦子数分别为：1粒、2粒、4粒、8粒、16粒、32粒、64粒、128粒、256粒、512粒、1024粒、2048粒、……写到这里，同学们可以看出，开始的时候麦粒数量并不大，但越到后面数量越多，最终会达到全世界都无法承受的程度．我们的直觉往往是正确的，但有的时候我们也会被直觉所欺骗．
麦粒数量形成的这串数列，就叫做等比数列．等比数列就是按照相同的倍数增加（或减少）的数列，例如“麦粒数列”就是按照2倍的速度增加的，这个相同的倍数就是公比，“麦粒数列”的公比就是2．
同等差数列一样，等比数列同样有首项，末项及项数，同学们可以想一想如何通过首项和公比将等比数列的每一项都表示出来．等差数列求和是利用“倒序相加”或“配对求和”的方法，那么等比数列如何求和呢？我们来看一个例题．
例题1．
计算： （1）
；
（2）
．
分析：这是一个等比数列求和的问题.如果一个一个的计算会有点复杂，那么该如何简便地算出数列的和呢？
练习1．
（1）
；
（2）
．（
）
等比数列求和，最常用的是“错位相减”法.其基本步骤是：
设等比数列的和为S；
等式两边同时乘以公比（或者公比的倒数）；
两式对应的项相减，消去同样的项，求出结果．
有关等比数列的知识，同学们到中学以后还会继续学习，在这里只需掌握简单的等比数列求和即可．下面我们看一些技巧性比较强的分数计算的题目，首先我们先来看一个整体约分的题目．
例题2．
计算：
．
分析：注意到
是
的
倍，
是
的
倍，
是
的
倍，那么可以把
都提出来．分母也可以同样处理．
练习2．
计算：
．
除了整体约分，有时候我们也可以对计算中的某些数进行适当的拆分，从而避免很多冗繁的计算．使得计算过程呈现出“四两拨千斤”的效果．
例题3．
计算：
．
分析：把算式里的某些数适当拆分，可以简化计算的过程．
练习3．
计算：
．
例题4．
计算：
．
分析：利用前面两道题目用过的技巧，就可以解决这道题目了．
练习4．
计算：
．
例题5．
定义新运算
为a与b之间（包含a，b）所有与a奇偶性相同的自然数的平均数，例如：
，
．
（1）计算：
；
（2）在算式
的方框中填入恰当的自然数后可使等式成立，请问：
所填的数是什么？
分析：根据题意，可知
是公差为2的等差数列的平均数．想一下，等差数列的平均数有什么简便算法吗？
最后我们来看一下数列数表的问题，数列数表的问题一般难度比较大，需要我们仔细观察，寻找规律．
例题6．
观察数列
的规律，求：
（1）
是数列中第几项？
（2）数列中第100个分数是多少？
分析：观察数列，你找到什么规律了吗？又如何来利用这些规律呢？
心算能力超强的数学家
“欧拉进行计算看起来毫不费劲儿，就像人进行呼吸，像鹰在风中盘旋一样．”(数学家阿拉戈语)
欧拉是历史上最多产的数学家，写下了浩如烟海的书籍和论文．他心算能力极强，如果你问他前一百个质数中任何一个数的六次方，他都可以瞬间告诉你结果．有一次欧拉的两个学生算无穷级数求和，算到第17项时两人在小数点后第50位数字上发生争执，欧拉这时进行心算，迅速给出了正确答案．
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）约翰·冯·诺依曼（John Von Neumann）
（1707年4月15日～1783年9月18日）（1903年12月28日~1957年2月8日）
约翰·冯·诺依曼，被誉为“现代电子计算机之父”，也是公认的数学天才．据说：六岁时他能心算八位数乘除法，八岁时掌握微积分，十二岁就读懂领会了波莱尔的大作《函数论》要义．
有一次，美国物理学家塞格雷（诺贝尔奖获得者）和同事（也是个诺贝尔奖牛人）为一个积分问题奋斗了一个下午，却毫无进展．这时他们从开着的门缝中看到冯·诺依曼正沿着走廊朝他们的办公室走来，于是他们问冯·诺依曼：“您能帮我们解决这个积分问题吗？”困扰他们的积分问题就写在移动黑板上，冯·诺依曼走到门口，看了一眼黑板，立即给出了答案（大概花了3秒钟）．
计算：
计算：
．计算：
．计算：
．数列
、
、
、
、
、
、
、…中，第100项是多少？
是数列的第几项？
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