第一讲 圆与扇形初步

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圆是宇宙中最简单的图形：天上的太阳、月亮、行星和恒星，它们在太空中呈现圆和球形；地上的滚滚车轮，家里的盘子、碗、钟表也都是圆的．

在自然界中，没有像圆那样美的图形了．圆匀称、饱满、光滑、对称，常用来象征吉祥如意，表达人们的良好愿望：圆满、圆梦、团圆……

古希腊毕达哥拉斯学派认为：“一切立体图形中最美的是球体，一切平面图形中最美的是圆形”．他们认为，圆是神创造出来的最完美的东西．

在纸上画一点O，并在纸上找到所有与O距离为1的点，如A、B、C、D、E、F、G……等．这些点合到一起，就构成一个圆．点O就称为该圆的圆心；圆心与圆周上任意一点的连线（例如线段OA、OB、OC、OD等）叫半径；通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫直径．直径长恰好是半径长的两倍．

圆心确定了圆所在的位置，半径长度确定了圆的大小．一个圆只要确定了“圆心”和“半径”，就能完全确定下来．

圆周长与直径的比值是一个固定不变的数，我们称之为圆周率，用希腊字母π表示．很早的时候，人们就利用滚圆法知道了π大约是3．随着科学的进步，现在我们已经知道圆周率是一个无限不循环小数，无法写成分数的形式．在实际问题的计算中，常常取近似值3.14．

直径长度通常用字母d来表示，半径长度通常用r来表示，圆周长通常用C来表示．于是有圆周长公式：

．

习惯上，圆面积用字母S来表示．它的计算公式为：

．

这一计算公式可以通过圆的周长公式推导出来．大家仔细观察下图，想想看应该如何推导？

练一练

下面的题目中，π都取为3.14．

1. 已知一个圆的半径为3厘米，那么这个圆的周长为_______厘米；

2. 已知一个圆的周长为50.24厘米，那么这个圆的直径为_______厘米；

3. 已知一个圆的半径为3厘米，那么这个圆的面积为_______平方厘米；

4. 已知一个圆的面积为78.5平方厘米，那么这个圆的半径为_______厘米．

扇形是指圆上被两条半径和半径之间的弧所包围的部分．其中，圆的半径也称为扇形的半径，而两条半径所成的夹角称为扇形的圆心角．扇形是圆的一部分．

要想知道扇形的弧长与面积，只要知道它是所在圆的几分之几就可以．它是圆的几分之几，它的弧长就是圆周长的几分之几，它的面积也同样就是圆面积的几分之几．

扇形弧长= ；

扇形面积= ．

需要注意的是，扇形的弧长不是它的周长，扇形的周长还必须加上两条半径！

练一练

5. 已知一个扇形的半径是2厘米，圆心角是45°，那么这个扇形所在圆的面积是_______平方厘米；扇形的圆心角占圆周角的____分之____，它的面积占圆面积的____分之____，这个扇形的面积是______．

6. 已知一个扇形的半径为6厘米，圆心角为120°，那么这个扇形的弧长为________厘米，周长是_______厘米；面积为_______平方厘米．

7. 已知一个扇形的半径为4厘米，面积为12.56平方厘米，它的弧长等于_______厘米，周长等于______厘米．

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例题1．

有一个圆形花坛，直径为20米，一只小蜜蜂沿着花坛外周飞了一圈，请问它飞了多少米？如果小蜜蜂沿着图中的虚线，飞一个“8”字，路线构成过花坛圆心的两个小圆，那么这次它飞了多少米？（π取3.14）

分 析：小圆的直径是多少？

练习1．

半径分别为1、2、3、4厘米的四个圆的周长之和是多少厘米？（π取3.14）

例题2．

如 图，在一块面积为28.26平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米？（π取3.14）

分析：大圆的半径是多少？小圆的半径又是多少？

练习2．

如 图，在一块面积为12.56平方厘米的纸板中，裁出了2个同样大小的圆纸板．问：余下的纸板的总面积是多少平方厘米？（π取3.14）

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一个规则的圆或扇形直接利用公式就可以求解，但一个不规则图形就没那么容易．在求解之前，先得当一回“裁缝”，将图形拆分、重组，然后再利用规则图形的相加或相减来进行求解．

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例题3．

如图，图中的三角形都是等腰直角三角形，求各图中阴影部分的面积．（π取3.14）

分析：经过适当的分割和移动，图中不规则的阴影部分可以拼成规则的几何图形．

练习3．

图 中的4个圆的圆心恰好是正方形的4个顶点，如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？（π取3.14）

例题4．

如图是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径．如图所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B点移动到C点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）

分析：图（2）中整个图形的面积是多少，空白部分的面积又是多少？先列出算式，看看有没有可以抵消的部分．

练习4．

下图（1）是一个半径为3厘米的半圆，AB是直径．如图（2）所示，让A点不动，把整个半圆顺时针转30°，此时B点移动到C点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

小知识

圆有很多有意思的性质：

• 圆心到圆上的每个点的距离都相等，这是圆的定义．

• 每条经过圆心的直线都把圆平分为两半，都是圆的对称轴，因而圆有无数条对称轴．

• 圆绕着圆心任意旋转，所得的图形与原来的圆重合．

• 所有的圆之间都可以通过缩放相互转换，因而圆只有唯一一种形状，任意两个圆都是相似的．

• 所有平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的．因而圆也被称为平面上最完美的图形．

例题5．

图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？

分析：图中的阴影部分虽然很对称，但并不规则，无法用公式直接计算．那能不能通过恰当的割补将其变为一个规则图形进行求解呢？同学们不妨动手试一试．

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例 6． 右图是由一个圆与一个直角扇形重叠组成的，其中圆的直径与扇形的半径都是4．图中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）
分析：阴影部分的两个小弓形可以拼到哪里？

圆的历史

圆形，是一个看来简单，实际上十分奇妙的图形．古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的．在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很圆．到了陶器时代，许多陶器都是圆的．圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的．当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤．古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲．后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走，这样当然比扛着走省劲得多．

约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆形的木盘．大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子．会作圆，但不一定就懂得圆的性质．古代埃及人就认为：圆，是神赐给人的神圣图形．一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468~前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330~前275年）给圆下定义要早100年．任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示．它是一个无限不循环小数，π=3.1415926535…但在实际运用中一般只取它的近似值，即π≈3.14．如果用C表示圆的周长：C=πd或C=2πr．《周髀算经》上说“周三径一”，把圆周率看成3，但是这只是一个近似值．

美索不达米亚人在作第一个轮子的时候，也只知道圆周率是3．魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注时，发现“周三径一”只是圆内接正六边形周长和直径的比值．他创立了割圆术，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越逼近圆周长．他算到圆内接正3072边形的圆周率，π=3927/1250．刘徽把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大的成就．

祖冲之（公元429~500年）在前人的计算基础上继续推算，求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，是世界上最早的七位小数精确值，他还用两个分数值来表示圆周率：22/7称为约率，355/113称为密率．

在欧洲，直到1000年后的十六世纪，德国人鄂图（公元1573年）和安托尼兹才得到这个数值．现在有了电子计算机，圆周率已经算到了小数点后12400亿位了．

1. 面积为78.5平方厘米的圆，周长是多少厘米？（π取3.14）

2. 一个半径为3分米的扇形，面积为6.28平方分米，那么它的圆心角是多少度？（π取3.14）

3. 如图，三角形ABC为等边三角形，边长为2，D为BC边中点．分别以B、C为圆心、1为半径作两个扇形（即图中阴影部分）．那么阴影部分的面积是多少？（π取近似值3.14，结果保留2位小数）

4. 如图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，阴影部分的面积是多少？（π取3.14）
   

5. 图 中阴影部分的面积是多少平方厘米？（图中长度单位为厘米，π取3.14）