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第二十六讲 比较与估算
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在前面的章节中，同学们已经对分数的计算有了一定的认识，也学习了很多比较分数大小的方法．今天我们将继续研究一些较复杂的分数比较大小和估算的问题．
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例题1．
现有7个数，其中5个是
、
、
、
、
．如果按照从小到大排列的第三个数是
，那么位于最中间的数是多少？
「分析」这是一个比较多个数大小关系的推理题，虽然其中有着两个数未知，但是我们还应该先比较已知数之间的大小关系，再利用其他条件来推理出题目的结果．
练习1．
有8个数，
、
、
、
、
、
是其中的6个．如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是
．那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数？
例题2．
在不等式
的方框中填入一个自然数，使得不等式成立．
「分析」分子相同，分母大的分数小．但分子不一样怎么比较大小呢？
练习2
在不等式
的方框中填入一个自然数，使得不等式成立．那么方框中最大可以填多少？
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在算式的估算中，有一种方法比较常用，就是用非常接近的数来替换原来的数，这样可以得到一个和真实答案非常接近的近似值，但一定要注意近似值与真实值之间的误差是否符合题意．
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例题3．
算式
计算结果的整数部分是多少？
「分析」本题需要计算两个较复杂的数相乘，但是不要求计算出最后结果，只要求出结果的整数部分就可以了．我们可以从以下两个方面考虑：
（1）估算结果的大致情况，推出整数部分．
（2）计算出准确结果，确定整数部分．
那大家想一想应该怎么办？
练习3．
算式
计算结果的整数部分是多少？
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算式的缩放是估算问题中经常用到的方法．缩放的方法有很多．在放缩的时候要注意不可将范围放缩得过大，这样将无法起到放缩本来应该有的作用．
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例题4．
算式
计算结果的整数部分是多少？
「分析」本题显然不能硬算，不然太麻烦．如果能将该算式稍加变形，使它不仅变得好算，还能确定大小范围，那就可以求出它的整数部分是多少了．
练习4．
算式
计算结果的整数部分是多少？
例题5．
求出
的计算结果的整数部分．
「分析」同例题4，需要对算式稍作变形，加以放缩来确定大小范围，进而求出整数部分．
例题6．
（1）两个小数的整数部分分别是4和5，那么这两个小数乘积的整数部分共有多少种可能的取值？
（2）将两个小数四舍五入到个位后，所得到的数值分别是7和9．将这两个小数的乘积四舍五入到个位后共有多少种可能的取值？
「分析」注意到题目中的两个小数分别有一个连续的取值范围，那么乘积也一定有一个连续的取值范围．
等号与不等号的历史
一、等号，不等号
为了表示等量关系，用“＝”表示“相等”，这是大家最熟悉的一个符号了．
说来话长，在15、16世纪的数学书中，还用单词代表两个量的相等关系．例如在当时一些公式里，常常写着aequ或aequaliter这种单词，其含义是“相等”的意思．
1557年，英国数学家列科尔德，在其论文《智慧的磨刀石》中说：“为了避免枯燥地重复isaequalleto（等于）这个单词，我认真地比较了许多的图形和记号，觉得世界上再也没有比两条平行而又等长的线段，意义更相同了．”于是，列科尔德有创见性地用两条平行且相等的线段“＝”表示“相等”，“＝”叫做等号．
用“＝”替换了单词表示相等是数学上的一个进步．由于受当时历史条件的限制，列科尔德发明的等号，并没有马上为大家所采用．历史上也有人用其它符号表示过相等．例如数学家笛卡儿在1637年出版的《几何学》一书中，曾用“∞”表示过“相等”．直到17世纪，德国的数学家莱布尼兹，在各种场合下大力倡导使用“＝”，由于他在数学界颇负盛名，等号渐渐被世人所公认．
顺便提一下，“≠”是表示“不相等”关系的符号，叫做不等号．“≠”和“=”的意义相反，在数学里也是经常用到的，例如a＋1≠a＋5．
二、大于号，小于号
现实世界中的同类量，如长度与长度，时间与时间之间，有相等关系，也有不等关系．我们知道，相等关系可以用“＝”表示，不等关系用什么符号来表示呢？
为了寻求一套表示“大于”或“小于”的符号，数学家们绞尽了脑汁．1629年，法国数学家日腊尔，在他的《代数教程》中，用象征的符号“ff”表示“大于”，用符号“§”表示“小于”．例如，A大于B记作：“AffB”，A小于B记作“A§B”．1631年，英国数学家哈里奥特，首先创用符号“＞”表示“大于”，“＜”表示“小于”，这就是现在通用的大于号和小于号．例如5＞3，－2＜0，a＞b，m＜n．
与哈里奥特同时代的数学家们也创造了一些表示大小关系的符号．例如，1631年，数学家奥乌列德曾采用“
”代表“大于”；用“
”代表“小于”．1634年，法国数学家厄里贡在他写的《数学教程》里，引用了很不简便的符号，表示不等关系，例如：a＞b用符号“a3|2b”表示；b＜a用符号“b2|3a”表示．因为这些不等号书写起来十分繁琐，很快就被淘汰了．只有哈里奥特创用的“＞”和“＜”一直广为使用．
下面的分数中，最大的是哪个？
，
，
下面三个算式的结果中，最大的是哪个？最小的是哪个？
，
，
．
算式
的整数部分是多少？
的整数部分是多少？
小高将算式的两个乘数都四舍五入后得到
，那么原算式结果的整数部分有多少种可能？
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