第二十二讲 物不知数与同余

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故事中的余数问题就是我们今天要研究的“物不知数”问题，也称为中国古余数问题．简单来说，这类问题就是先知道了除数和余数，反求被除数的问题．通常在不同的题目中，余数限制条件的数量也是不同的，但都是从一个条件入手，逐个条件的去满足．

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例题1．

（1）一个数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是多少？第二小是多少？
（2）一个数除以11余7，除以10余6．这个数最小是多少？第二小是多少？

「分析」（1）这个数除以21和20都余17，那么减去17以后得到的差跟21和20有什么关系呢：

（2）除以11和10的余数不一样，所以不能同时减去一个数了．反方向考虑一下？

练习1．

（1）一个自然数除以4余3，除以5也余3，这个自然数最小是多少？

（2）一个自然数除以5余1，除以7余3，这个自然数最小是多少？

例题2．

（1）一个三位数除以8余3，除以12也余3．这个三位数最小是多少？
（2）一个三位数除以6余1，除以10余5．这个三位数最小是多少？

「分析」看起来和例题1没有太多区别．不过要小心哦，8和12的最小公倍数是 吗？

练习2．

一个三位数除以4余3，除以6也余3．这个三位数最大是多少？

例题3．

（1）一个数除以7余2，除以11余1．这个数最小是多少？
（2）有一队解放军战士，人数在150人到200人之间，从第一个开始依次按1，2，3， ，9的顺序报数，最后一名战士报的数是3；如果按1，2，3， ，7的顺序报数，最后一名战士报的数是4．请问：一共有多少名战士？

「分析」所求自然数要满足两个余数条件，直接处理并不容易，但我们可以先让它满足其中一个余数条件，在此前提下满足另一个余数条件．

练习3．

一个三位数除以5余2，除以7余3．这个三位数最小是多少？

如果两个数除以同一个数，所得的余数相同，我们称这两个数同余．例如195除以9余6，15除以9也余6，我们就说“195和15除以9同余”．

我们之前总结的余数性质以及余数的可替代性都是在同余的前提下进行的，例如195与它的数字和除以9是同余的，1135与它的末两位数字除以4是同余的．而处理余数问题的方法，除了用余数性质、余数可替代性以及分解求余几种方法以外，我们还有一个极其有用的手段：转化成整除问题！195与15除以9的时候同余， 则是9的倍数；1135与35除以4的时候同余，则 是4的倍数．也就是说：

如果两个数除以第三个数余数相同，则这两个数的差能被第三个数整除．反之亦然．

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例题4．

（1）1024除以一个两位数，余数为23，那么这个两位数可能是多少？

（2）100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？

「分析」（1）由 ，被除数是1024，余数是23，说明除数和商要满足什么条件？（2）利用同余的定义就可以解决这个问题．

练习4．

（1）用150除以一个整数，所得余数是15，请问：这个除数可能是多少？

（2）80和56除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？

例题5．

刘叔叔养了400多只兔子．如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里也有2只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？

「分析」兔子数量要满足哪些余数条件？

例题6．

把63个苹果，90个桔子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？

「分析」这些同学一共分了多少个水果？人数和分掉的水果数有什么关系？

未来的数学家

——节选自《怎样解题》乔治·波利亚

未来的数学家应该是一个聪明的解题者，但仅仅做一个聪明的解题者是不够的．在适当的时候，他应该去解答重大的数学题目，而首先他应该搞清楚他的天资特别适合于哪种类型的题目．

对他来说，工作中最重要的那部分就是回去再看一下完整的解答．通过考察他的工作过程和最后的解答形式，他会发现要认识的东西真是千变万化，层出不穷．他可以深思题目的困难之处及决定性的观念，他可以尝试去了解是什么阻碍了他，又是什么最后帮助了他．他可以注意寻找简单直观的念头：你能一眼就看出它来吗？他可以比较和发展各种方法：你能以不同的方式推导这个结果吗？他可以尝试通过将当前的题目和以前的解过的题目作比较以使当前的题目更加清晰．他可以尝试创造一些新题目，而这些新题目可以根据他刚刚完成的工作解答出来：你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？如果他对解答过的题目尽可能地完全消化吸收，他就可以获得井然有序的知识，以备今后随时调用．

和其他所有人一样，未来的数学家通过模仿和练习来学习．他应该注意寻找正确的模范；他应该觉察到一个能激励人心的教师；他应该和一位能干的朋友竞赛．然后，可能最重要的是，他不仅应该阅读通用的教材，还应阅读优秀作者的作品，直到他找到一个作者，其方式是他天生倾向于模仿的．他应该欣赏和寻求在他看来简单的或有启发性的或美的东西．他应该解题，选择适合他思路的那些题目，思考它们的解答，并创造新的题目．他应该通过这些方法及所有其他方法来努力做出他的第一个重大发现：他应该发现自己的好恶、趣味以及自己的思路．

陶哲轩（1975-）澳籍华裔数学家，“菲尔兹”奖获得者．13岁成为国际奥林匹克数学金牌得主．20岁获得普林斯顿大学博士学位．24岁成为加利福尼亚大学洛杉矶分校有史以来最年轻的正教授．2006年，31岁时获得数学界的诺贝尔奖“菲尔兹”奖．目前已发表超过230篇学术论文．

1. 在小于50的数中，与67除以11同余的数有哪些？

2. 一个自然数除以7余3，除以27余5，这个自然数最小是多少？

3. 2025除以一个两位数，余数是75，这个两位数是多少？

4. 1986和2011这两个数除以同一个两位数，得到相同的余数，这个两位数是多少？

5. 韩信点兵：有兵四五百，五五数之余三，七七数之余四，九九数之余五．那么这队兵有多少人？