第二十一讲 余数的性质与计算

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这一讲我们来学习余数问题．在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况．当不能整除时，就会产生余数．

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是 ）, 0≤r＜b；

当 时，我们称a能被b整除；

当 时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商

余数问题和整除问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起了．余数有如下一些重要性质．

基本性质：被除数=除数×商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数

除数=（被除数-余数）÷商；

商=（被除数-余数）÷除数．

余数小于除数．

理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．

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例题1．用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被除数和除数各是多少？

「分析」如果设除数为a，被除数可以表示为什么？

练习1．

甲、乙两数的和是2014，甲数除以乙数商99余14，求甲、乙两数．

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我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除特性．这些数的整除特性稍加改造，即可成为求解余数的一类简便算法：

（1）一个数除以2或5的余数，等于这个数的个位数字除以2或5的余数；

一个数除以4或25的余数，等于这个数的末两位数除以4或25的余数；

一个数除以8或125的余数，等于这个数的末三位数除以8或125的余数；

（2）一个数除以3或9的余数，等于这个数的各位数字和除以3或9的余数；

一个数除以99（包括11、33）的余数，等于将它两位截断再求和之后的余数；

此外，求3和9的余数还可应用乱切的方法．

（3）一个数除以11的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11再减即可．

（4）一个数除以7、11和13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11和13的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个7、11或13再减即可．

这种利用整除特性来计算余数的方法叫做特性求余法．

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例题2．

（1）20132013除以4和8的余数分别是多少？

（2）20142014除以3和9的余数分别是多少？

「分析」根据4、8、3、9的特性，可以很快计算出结果．

练习2．

（1）20121221除以5和25的余数分别是多少？

（2）20130209除以3和9的余数分别是多少？

例题3．

（1）123456789除以7和11的余数分别是多少？87654321呢？

（2）360360360除以99的余数是多少？

「分析」根据7、1、99的特性，可以计算出结果．在截断的时候要特别小心．

练习3．

201420132012除以13和99的余数分别是多少？

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为了更好地了解余数的其它一些重要性质，我们再来做几个练习：

（1）211除以9的余数是______； （2）137除以9的余数是______；

（3） 的和除以9的余数是______； （4） 的差除以9的余数是______；

（5） 的积除以9的余数是______； （6） 除以9的余数是______．

比较上面的结果，我们发现余数还有一些很好的性质：

和的余数等于余数的和；

差的余数等于余数的差；

积的余数等于余数的积．

这 三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性．在计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性质进行简算．例如计算 的结果除以7的余数就可以像右侧这样计算．这一简算方法又称替换求余法．

需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗上口，但并不严格，在使用时还需要注意：（1）如果替换之后余数的计算结果大于除数，还需要再次计算结果的余数．例如：在计算 除以6的余数时，利用“和的余数等于余数的和”，结果就变成了 ， ，所以还需要再次计算8除以6的余数是2，才是 除以6最后的余数．再比如：在计算 除以6的余数时，也会遇到 的情况，同样的还需要计算15除以6的余数是3，才是最终的结果．（2）在计算减法时，会出现余数不够减的情况，这时只要再加上除数或除数的倍数即可．例如：在计算 除以6的余数时，会发现结果变成了 不够减．此时，只要再加上6，用 来计算即可．

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例题4．

一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个．年终将这些零件按6个一包的规格打包，最后一包不够6个．请问：最后一包有多少个零件？

「分析」最后一包的零件数实际上就是零件总数除以19的余数．

练习4．

（1） 除以111的余数是多少？

（2） 的结果除以22余数是多少？

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如果我们将“特性求余法”和“替换求余法”相结合，便可大大简化余数的计算．

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例题5．

（1） 除以4、9的余数分别是多少？

（2） 除以7、11、13的余数分别是多少？

「分析」要把结果算出来，再求余数，计算量很大．看看如何利用“替换求余”以及“特性求余”的方法来进行求解．

例题6．

（1） 的个位数字是多少？ 除以10的余数是多少？

（2） 除以7的余数是多少？

「分析」一个数的个位数字就是它除以10的余数，大家来找一下个位数字的变化规律．

小熊分粽子

今天是端午节，猴爸爸一大早就领着猴儿们去观看龙舟比赛。在回家的路上，猴爸爸买了一筐粽子准备分给孩子们。回到家，猴爸爸将粽子数了数，一共70多个。猴爸爸把9个孩子叫到身边说：“孩子们，今天过节，爸爸要将这些粽子分给你们吃。”说完，就开始分粽子，可猴爸爸怎么分也不能将粽子均分给孩子们。正在犯愁时，门铃响了，原来是小熊来串门。

小熊是出了名的小精灵，脑瓜特灵活。猴爸爸一见他就高兴地说：“小熊老弟，你来得正好，我正有问题要找你帮忙呢。于是，猴爸爸将自己分粽子的事情告诉了小熊。小熊眼珠一转，计上心头，笑着说：“猴大哥，这件事好办，只要你答应将分剩下的粽子给我，我保证把这些粽子均匀地分给你的孩子们。”猴爸爸一听小熊有办法，连想都没想就答应了小熊的要求。

小熊将筐中的粽子一个个地分给猴儿们，猴儿们帮分到了同样多的粽子，谁也没有意见，都高高兴兴地吃起了粽子。这时，猴爸爸却不高兴了，因为他发现，小熊分得的粽子个数最多。他生气地对小熊说：“熊老弟，这就是你不对了，你明知道你得的粽子会最多，为什么还要骗我上你的当呢？你也太不够朋友了。”小熊笑着说：“猴大哥，我们可是有言在先，你可是答应了我的条件，我才帮你分粽子的，你难道想反悔吗？那才真是不够朋友呢！”猴爸爸自知理亏，不好再争辩什么，只是埋怨自己不该轻信小熊的话，叹了叹气说：“谁叫我当初不多读点书呢!”猴爸爸只顾着生气，猴儿们聚在一起吃得正香，谁也没有再理会小熊，小熊见自己不再受欢迎，只好拿着分到的粽子离开了猴子山。小朋友，请你想一想，猴爸爸一共买了多少个粽子?猴儿们和小熊各分得了多少个粽子?

1. 1234567除以3、5、9的余数分别是多少？

2. 151515151515除以8、11、7的余数分别是多少？

3. 算式 除以31的余数是多少？

4. 自然数 除以9的余数是多少？

5. 算式 的结果除以9、13的余数分别是多少？