【320532】【课本】5年级第18讲_直线形计算中的比例关系
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第十八讲 直线形计算中的比例关系
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在前面的讲次中我们已经学习了两个等高三角形之间的倍数关系,下面我们复习一下其中的基本结论.
当两个三角形同高或等高的时候,它们面积的比等于对应底之比.
如图所示,对于三角形ABD与三角形BDC,它们有共同的高BH,可知
.
例题1.如图,AE:EB=3:2,CD:DB=7:5,三角形ABC的面积是60,求三角形AED的面积.
「
分析」图中是否有等高的三角形?
练习1.如图,
,
三角形ABC面积为120,求三角形AED的面积.
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在
前面的漫画中我们认识了“小黎飞镖”.把“飞镖”立起来(如图),标好字母,会发现两个三角形:三角形ADE与三角形ABC.这两个三角形有一个公共的角A,并且角A的两边AD、AE分别在AB、AC上.对于符合这种情况的三角形ADE与三角形ABC,我们称之为“共角三角形”.
对于这两个“共角”的三角形,它们的面积之比等于对应两边长度之比的乘积,例如:在“小黎飞镖”中,有
.(同学们,可以想一想如何来证明这个结论.提示:连结四边形BDEC的一条对角线)
例如:如果在“小黎飞镖”中,D点是AB上靠近B的3等分点,E点是AC上靠近A的3等分点,那么
,
,那么三角形ADE的面积就是三角形ABC面积的
.
有了这个结论,在解决一些问题时,就方便很多了.请看下面的问题.
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例
题2.如图,在三角形ABC中,AD的长度是BD的3倍,AC的长度是EC的3倍.三角形AED的面积是10,那么三角形ABC的面积是多少?
「分析」△ADE占△ABC的几分之几?应该怎么利用鸟头模型来计算?
练
习2.三角形ABC中,BD的长度是AB的
,AE的长度是AC的
.三角形AED的面积是8,那么三角形ABC的面积是多少?
例
题3.如图,已知长方形ADEF的面积是16,BE=3BD,CE=CF.请问:三角形BEC的面积是多少?
「分析」鸟头模型中有两个共角的三角形,可是在本题中只有一个三角形,另外一个三角形应该怎么构造呢?
练
习3.如图,长方形ABCD的面积是48,BE:CE=3:5,DF:CF=1:2.三角形CFE的面积是多少?
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接着,我们来看一看在任意四边形中三角形之间的面积关系.如图,对于一个任意的四边形ABCD,连结对角线AC和BD,将整个四边形分成4个小三角形,由等高三角形的基本结论,我们可以得到如下关系:
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例题4.如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC、BD分成4个部分.三角形BOC的面积是2平方千米,三角形COD的面积是3平方千米,三角形AOB的面积是1平方千米.如果公园由大小为6.9平方千米的陆地和一块人工湖组成,那么人工湖的面积是多少平方千米?
「
分析」△BOC、△COD和△AOB的面积都知道了,那么△AOC的面积是多少呢?
练习4.四边形ABCD中,AC、BD两条对角线交于O点,三角形ABO的面积为6,三角形AOD的面积为8,三角形BOC的面积是15,那么四边形ABCD的面积是多少?
例
题5.如图,△ABC的面积是36,并且
,
,
,试求△DEF的面积.
「分析」同学们能从图形中发现“共角三角形”吗?如何利用这些三角形来计算呢?
例题6.图中四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点,如果△ABD的面积是30平方厘米,△ABC的面积是48平方厘米,△BCD的面积是50平方厘米.请问:△BOC的面积是多少?
「
分析」题目中给出了3个大三角形的面积,能不能找出四个小三角形之间的面积关系呢?
三角形中的五心
重心:三角形各边上的中线交于一点,称为三角形重心;
垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心;
外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心;
内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心;
旁心:三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,称为三角形旁心.
如
图,△ABC中,BD的长度是AB的
,如果△ABC的面积为15,那么△ADC的面积是多少?
如图,
,
,三角形ABC的面积是84,三角形AED的面积是多少?
如图,
,
,如果△ABC的面积是120,那么△ADE的面积是多少?
如图所示,在长方形ABCD中,
,
,如果长方形ABCD的面积为18,那么阴影部分的面积是多少?
如
图,四边形ABCD中,AC、BD两条对角线交于O点,△ADO的面积为30,△ABO的面积为6,△DOC的面积是20,那么四边形ABCD的面积是多少?
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