【320529】【课本】5年级第15讲_公约数与公倍数进阶

第十五讲 公约数与公倍数进阶

这一讲我们来继续学习有关约数与倍数更深入的知识．首先来看一下最大公约数、最小公倍数与原数之间的关系．

两个数，如果它们的最大公约数是k．那么可以假设这两个数分别为 、 ，其中a、b互质．

而它们的最小公倍数可以表示为 ．

通过观察，我们发现 ．由此可得：

两数的最大公约数乘以最小公倍数等于两数乘积

注意，这个性质只在两个数的时候有效，如果数更多就不成立，同学们可以尝试举例说明．

性质虽然好用，但它要求给出最大公约数，最小公倍数和两数中的一个才行．如果只给出最大公约数和最小公倍数，能不能把原来的两个数都求出来呢？

例题1．（1）两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18，最小公倍数是216．这两个数是多少？
（2）若两个数的最大公约数是18，最小公倍数是1080．这两个数有哪几组？

「分析」最大公约数是18，说明两个数都是18的倍数，可以分别设为 和 ，且a、b互质．接下来，我们讨论一下a、b的取值．

（1）两个互质的自然数的最小公倍数是432．求这两个数．
（2）若两个不成倍数关系的自然数，最大公约数是45，最小公倍数是900．求这两个数．

经过前面的例题，我们知道，如果知道两个数的最大公约数，就可以把这两个数表示出来．比如说两数的最大公约数是12，那么这两个数都是12的倍数，可以设为12a和12b，而且a和b互质．那么这两个数的最小公倍数、和、差以及乘积就都可以用a和b表示出来了．

例题2．两个小于150的自然数的乘积是2028，它们的最大公约数是13，求这两个数．

「分析」可以设两个数分别是 和 ，且a、b互质．

两个自然数的乘积是288，它们的最大公约数是6，求这两个数．

例题3．两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的数是多少？

「分析」两个数的最大公约数是6，我们可以假设这两个数是 ， ，它们的最小公倍数是 ，那么可知 等于420．那a，b可以取哪些值呢？相差18又怎么保障呢？

两个数的最大公约数是10，最小公倍数是300，如果这两个数相差70，那么较小的数是多少？（30）

约数与倍数的问题，最重要的就是分析清楚数的构成，最常用的方法就是分解质因数，由此同学们可以看出分解质因数在数论问题中是多么的重要．

例题4．甲、乙两个数的最小公倍数是90，乙、丙两个数的最小公倍数是105，甲、丙两个数的最小公倍数是126．请问：甲数是多少？

「分析」这道题只告诉了三个数中每两个数的最小公倍数，能否通过分解质因数，然后比较它们质因数的构成来求解呢？

三个正整数a、b、c，已知a与b，a与c，b与c的最小公倍数分别是525，28和300．那么a的值是多少？

例题5．有4个不同的自然数，它们的和是1111．它们的最大公约数最大是多少？

「分析」这4个数的最大公约数和1111有什么关系呢？根据前面的题目可知，几个数的和，一定是这几个数的最大公约数的倍数．那么最大公约数可能是多少？

之前在学习约数的时候，我们学习过如果知道约数个数怎么去反求原数．有些题目里面，利用约数个数反求原数和利用公约数公倍数反求原数都会用到．

例题6．甲、乙是两个不同的自然数．它们都只含有质因数2和3，并且都有12个约数．它们的最大公约数是12．请问：甲、乙两数之和是多少？

「分析」甲、乙只含有质因数2和3，且它们都是12的倍数，所以都是 的形式．并且它们都有12个约数，由约数个数公式可得 ．所以要把12拆成两个大于1的数相乘，这只能是 或 ．我们可以把这样的数都写出来，从中选取符合题目要求的数．

亲和数

你能看出220和284之间有什么关系吗？

大数学家毕达哥拉斯的回答是：220的约数除本身外为1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110，它们的和为284；而284的约数除本身外为1，2，4，71，142，它们的和为220。

这两个数，一个数的所有约数之和等于另一个数，我们称之为亲和数。

这对特殊的数还带着神秘的色彩。很多人相信，刻着这两个数字的护身符能让佩带它的人们永葆完美的友情。假如其中一个人受到了伤害，即使只是被针扎了一下，远在地球另一边的伙伴也能感觉。在魔法、巫术、占星和算命等活动中，这对数扮演着重要的角色。

奇怪的是，以后再没发现新的亲和数。直到1636年，伟大的法国数论专家费马才宣布17296与18416结成另一对亲和数。两年后，法国数学家、哲学家笛卡儿发现了第三对。1747年，瑞士数学家欧拉系统研究了亲和数，推出了30对，然后又扩充到60多对。

今天，我们已经知道900多对亲和数，这些数对都有相同的奇偶性。如果它们是奇数对，就都是3的倍数；如果是偶数对，它们的数字总和都是9的倍数。

1. 甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？
   
   

2. 已知两个不成倍数关系的自然数的积为240，最小公倍数为60，那么这两个数分别是多少？
   
   

3. 两个数不成倍数关系，它们的最大公约数是8，和是80．那么这两个数分别是多少？
   
   

4. 有3个不同的自然数，它们的和是105，它们的最大公约数最大是多少？
   
   

5. 甲、乙两数的最小公倍数是60，乙、丙两数的最小公倍数是70，甲、丙两数的最小公倍数是84，那么甲数是多少？