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第十一讲 分数与循环小数
同学们在计算分数的时候一定碰到过除不尽的情况．比如计算
，我们会发现商在0和小数点之后一直出现3，怎么也计算不完；再比如在计算
的时候，我们会发现商在0和小数点之后不停的出现428571．
像这样，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数，叫做循环小数．例如0.333…、0.428571428571…和1.2357357357…都是循环小数．
通常我们把0.333…简写成
，把0.428571428571…简写成
，把1.2357357357…简写成
．一个循环小数的小数部分里，依次不断重复出现的一段数字，叫做这个循环小数的循环节．上面三个循环小数的循环节分别为3、428571和357．循环节从小数点后第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数，例如
和
．不是从第一位开始的循环小数，叫做混循环小数，例如
．
下面我们来学习一下分数与小数之间的互化．把分数化为小数非常简单，直接用分子除以分母即可．例如
，
．
将下列分数化为小数：
，
，
，
，
．
「分析」要把分数化小数，可以列除法竖式计算．对于除不尽的情况，注意寻找循环节．
将下列分数化为小数：
，
，
，
，
．
对于任意一个分数，我们一定可以把它化成有限小数或循环小数．反过来，我们怎么把一个小数化成分数呢？有限小数化分数很简单，例如
，
，每个有限小数都可以化成分母是10、100、1000、……的分数．那么循环小数呢？循环小数化分数有以下的规律．
（1）纯循环小数化分数：我们从分子和分母两方面来考虑．
分子是由循环节所组成的多位数；而分母则由若干个9组成，且9的个数恰好等于循环节的位数．比如
，
，
．
（2）混循环小数化成分数：我们同样从分子与分母两方面来考虑．
分子是两数相减所得的差，其中被减数是从小数点后第一位到第一个循环节末位所组成的多位数，而减数则是小数点后不循环的数字组成的多位数；分母由若干个9和若干个0组成，9的个数等于循环节的位数，0的个数等于小数点后不循环部分的位数．比如
，
，
．
请同学们务必牢记以上方法，熟练使用．
把下列循环小数转化为分数：
，
，
，
，
．
「分析」把循环小数化成分数，我们可以直接使用上面所学的方法，最后一定要注意将结果约分成最简分数．
把下列循环小数转化为分数：
，
，
，
．
在把分数化成循环小数时，除了直接除，还可以通过扩分把分母变成9、99、999等特殊形式来转化．
把下列分数化成循环小数：
，
，
，
，
．
「分析」除了直接除，还可以先把分母变成特殊数后再转化．11可以扩成99，那37、101可以扩成多少呢？45和35呢？
把下列分数化成循环小数：
，
，
，
，
．
可以发现，分数转化成的小数的类型和分母中含有质因数2和5的个数有关．如果最简分数的分母的质因数只有2和5，会化成有限小数；如果最简分数的分母的质因数中没有2或5，会化成纯循环小数；如果最简分数的分母的质因数中既有2或5，也有其他质数，会化成混循环小数．
对于循环小数的加减法，我们既可以先化成分数再计算，也可以直接列竖式计算．
但
在列竖式时，同学们一定要把数位对齐．要计算出正确结果，我们应该多写出几位再加减，然后看最后的和或差的数字规律，尤其在加数循环节位数不一样时，更要多加小心，再多写几位．
在计算时同学们要多注意进位问题，我们必须牢牢记住省略号表示后面还有无穷多位数字，它们在计算时仍然可能出现进位的情况．
计算：（1）
；（2）
；（3）
；（4）
；
（5）
；（6）
．
「分析」对于一般小数的加法，我们都可以列竖式计算．那么循环小数的加法，是不是也一样呢？在竖式中的循环节又应该怎么处理呢？
另外，我们已经学过了循环小数如何化为分数，那么我们能不能利用分数来计算呢？
计算：（1）
；（2）
；（3）
．
由于循环节的存在，循环小数小数点后数字排列具有周期性．比如
的循环节有两位，小数部分以4、8为一个周期．利用周期性，我们就可以知道小数点后若干位的数字是多少．
把真分数
化成小数后，小数点后第2013位上的数字是1．a是多少？
「分析」
是一个真分数，所以a必须小于7，只能是1、2、3、4、5、6中的一个．请同学们，自己试着计算一下分母是7的各个分数，发现什么规律了吗？
将最简真分数
化成小数后，从小数点后第一位开始的连续n位数之和为9006，a与n分别为多少？
「分析」a是1、2、3、4、5、6中的一个．试着计算一下
、
、…、
化成小数后，小数点后连续1000位之和．发现什么规律了吗？
神奇的
“
和1谁更大？”数学课上，老师请同学们做这样的比较．
“肯定是1大”，同学们异口同声地回答．
“等会儿大家自己算吧”老师神秘地笑了笑．
为了验证这个答案，老师讲循环小数化分数的时候，同学们听得特别认真．老师一讲完，他们就迫不及待的开始验证了：
由循环小数化分数的公式：
的循环节有一位，所以它化为分数之后，分母为9，分子也是9．
因此，
．
“咦，
和1怎么是一样的？”
“
竟然是个假冒的循环小数！”这下，同学们你看看我，我看看你，都傻眼了．
“对啊，
就等于1．大家现在不但能把循环小数化为分数，还查出了冒牌货！”老师笑着鼓励大家．
将下列分数化为小数：
，
，
，
．
把下列循环小数转化为分数：
，
．
把下列循环小数转化为分数：
，
．
计算：（1）
，（2）
．
化成小数后，小数点后第2013
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