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第八讲 分数计算与比较大小
前面我们学习了分数计算的基本方法，这一讲我们来学习一些常见巧算方法在分数计算中的应用．
在分数加减法的算式中，如果分数的分母不同，我们需要先通分才能继续计算．如果在计算之前我们适当的分下组，把分母相同的分数放在一起算，就可以减少通分的次数，使计算变得简便
计算：
．
「分析」这个算式有什么特点呢？你能发现前面括号里四个数分母的规律吗？怎样利用这个规律简算呢？
计算：
．
计算：
．
「分析」对于第一个括号中的分数，如果把它们加起来通分后的分母会非常大．有没有能避免通分的方法？
计算：
．
计算：
．
「分析」这个问题的特点是什么呢？我们发现六个括号中的减数都含有
，那么能不能把这些含有
的部分放在一起计算呢？
计算：
接下来我们学习如何比较分数的大小．
我们知道分数的意义是：把“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数．易知：
如果两个分数分母相同，分子越大分数越大．
如果两个分数分子相同，分母越大分数越小．
如果两个分数分子和分母都不同，我们应该怎么比较它们的大小呢？
最常用的方法是利用分数的基本性质把它们化成分母相同或分子相同的分数．
例如我们要比较
和
的大小，可以先把它们通分，变成分母相同的分数：
和
，然后再比较分子的大小：
，所以
．
因为最后比较的是两个乘积，因此这个方法也被称为交叉相乘法．要比较两个分数，只需要将这两个分数的分子分别与另
一个分数的分母相乘，比较两个乘积的大小．分子所在的乘积大，则分数就大．例如比较
和
的大小，因为
，
的分子所在的乘积大，所以
．
除了我们介绍的方法外，比较分数大小还有许多其它的巧妙方法，但这些巧妙方法都需要我们多观察，看出题目中分数的特点，针对分数的特点来使用．
比较下列分数的大小：
（1）
与
；（2）
与
；（3）把5个数
，
，
，
，
由小到大排列起来．
「分析」这里的分数分子分母都不相同，我们就应该观察分数的特点，来选择最适当的方法来比较它们的大小．大家能找出这些分数的特别之处吗？
比较下列分数的大小：（1）
与
；（2）
与
；（3）把5个数
、
、
、
、
由小到大排列起来．
计算：
．
「分析」363636和636363看起来是不是很相似？它们都是谁的倍数呢？
（1）把3个数
，
，
由小到大排列起来；
（2）把3个数
，
，
由小到大排列起来．
「分析」注意到这几个分数都与1很接近，能不能通过与1作比较来确定它们的大小？
分数的历史
在我国古代，《九章算术》中就有了系统的分数运算方法，这比欧洲大约早1400年．
西汉时期，张苍、耿寿昌等学者整理、删补自秦代以来的数学知识，编成了《九章算术》．在这本数学经典的《方田》章中，提出了完整的分数运算法则．
从后来刘徽所作的《九章算术注》可以知道，在《九章算术》中，讲到约分、合分（分数加法）、减分（分数减法）、乘分（分数乘法）、除分（分数除法）的法则，与我们现在的分数运算法则完全相同．另外，还记载了课分（比较分数大小）、平分（求分数的平均值）等关于分数的知识，是世界上最早的系统叙述分数的著作．
分数运算，大约在15世纪才在欧洲流行．欧洲人普遍认为，这种算法起源于印度．实际上，印度在七世纪婆罗摩笈多的著作中才开始有分数运算法则，这些法则都与《九章算术》中介绍的法则相同．而刘徽的《九章算术注》成书于魏景元四年（263年），所以，即使与刘徽的时代相比，印度也要比我们晚400年左右．
刘徽（约公元225年—295年）
计算：
．
计算：
．
比较下列分数的大小（填
）：
（1）
___
；（2）
___
；（3）
___
．
将下列分数按照从小到大的顺序排列起来：
，
，
，
．
计算：
．
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