【320520】【课本】5年级第06讲_直线形计算中的倍数关系

第六讲 直线型计算中的倍数关系

迄今为止，同学们已经学会了很多图形计算面积的方法．在计算这些面积的时候，只要知道相应线段的长度，然后利用公式即可以计算．例如计算长方形的面积，只需知道长方形的长和宽即可利用长方形的面积 进行计算．但很多时候，题目中并不给出长和宽，那怎么来求面积呢？我们来看下面这个例题．

1. 如图，有9个小长方形，其中的5个小长方形的面积分别为4、8、12、16、20平方米．其余4个长方形的面积分别是多少平方米？

「分析」如果两个长方形的一条边相等，我们可以比较它们的另一条边来求它们的面积关系，看看下图，能利用左上角的三块面积求出①的面积吗？

对于长方形，我们总结出：如果两个长方形的长（宽）相等，那么它们的面积的比等于它们宽（长）之比．例如：如图所示的长方形ABCD与长方形BEFC宽BC相同，那么 ．

如图，有7个小长方形，其中的5个小长方形的面积分别为20，4，6，8，10平方厘米．求阴影长方形的面积是多少平方厘米？

从上面的例题可以看出，求一个图形的面积不一定要通过公式，有些时候我们也可以利用图形各部分之间的面积关系进行计算．

实际问题中，各图形的形状各异．我们很难直接看出面积间的关系，更容易发现的是长度之间的倍数关系．本章重点就是长度的倍数关系与面积倍数关系的转化．

过三角形一个顶点的直线将三角形分为两个小三角形，则这两个小三角形面积之比等于该直线分对边所得的两条线段长度之比,这是由两个小三角形有共同的高决定的．

2. 下图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍．那么三角形ABE的面积是多少平方厘米？

「分析」你能从图中发现前面讲过的基本图形吗？如何利用其中的比例关系解题呢？

如图，三角形ABC中，D为AB的中点，E为BC的中点，F为BE中点，如果三角形ABC的面积是120平方厘米，那么三角形DEF的面积是多少？

在实际问题中，给出的图形结构往往只能满足上述形式的一部分．比如知道两条线段的长度关系，却找不到合适的图形引出面积关系．此时，我们可以添加适当的辅助线，使得两个图形之间可以找到一个过渡的量，这个量和两个图形都有比较紧密的联系．

3. 如 图，把三角形DEF的各边分别向外延长1倍后得到三角形ABC，已知三角形DEF的面积为1，那么三角形ABC的面积是多少？

「分析」容易看出，本题也需要通过边长的倍数关系去求三角形面积之间的关系．但是我们所求的是三角形DEF的面积，而已知的是三角形ABC的面积，这两个三角形之间一条直接相连的边也没有．那么我们该怎么办呢？

如图，把三角形DEF的各边分别向外延长1倍、2倍、3倍后得到三角形ABC，已知三角形DEF的面积为1，那么三角形ABC的面积是多少？

除了利用图形间的长度关系寻找面积关系外，我们有时候也利用面积的倍数关系反推出长度的倍数关系．

4. 如 图，E是AB上靠近A点的三等分点，梯形ABCD的面积是三角形AEC面积的4倍，那么梯形的下底长是上底长的几倍？

「分析」本题中我们并不知道图形的具体面积，而只知道面积的倍数关系．需要求的则是长度的倍数关系，所以我们考虑如何利用面积的关系求出长度关系．

我们不妨假设三角形AEC的面积是“1”份，那么梯形ABCD的面积就是“5”份．接着可以看看“E是AB上的三等分点”这个条件能得出什么结论，看看怎么利用求出的面积来比较梯形的上下底？

如图，将一个长为18的长方形，分成一个三角形和一个梯形，且梯形的面积是三角形的5倍，那么三角形底边BE的长是多少？

除 了利用长度间的倍数关系外，我们有时候也能从公式入手，寻找图形面积的倍数关系．

5. 把一个正方形的相邻两边分别增加2厘米和4厘米，结果面积增加了50平方厘米，那么原正方形的面积为多少平方厘米？

「分析」由于阴影部分是一个不规则图形，我们需要把它转化为规则形状，可以将它分割成几块．如图所示，我们将阴影部分分割为①、②、③三个长方形．其中，③的长和宽分别为4、2，可以求出它的面积．那么①和②的面积能求出来吗？关键是找出它们面积的关系．

6. 如图，直角三角形ABC套住了一个正方形CDEF，E点恰好在AB边上．又已知直角边AC长20厘米，BC长12厘米，那么正方形的边长为多少厘米？

「分析」注意到EF垂直于AC，ED垂直于BC．我们可以连接CE，将三角形ABC分成两个三角形，这两个三角形的底都给出了长度，而它们的高相等．我们的目标就是求这个高．

欧拉的故事

欧拉是数学史上著名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就。欧拉小时候帮助爸爸放羊，他一面放羊，一面读书。他读的书中，有不少数学书。

爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只。原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈。他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米。正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用。若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米（15+15+40+40=110）父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米。

小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划。他有办法。父亲不相信小欧拉会有办法，没有理会他。小欧拉急了，大声说：“只要稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。”

父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样便宜的事情？”但是，小欧拉却坚信，他一定有两全齐美的办法。父亲终于同意让儿子试试看。

小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁。他以一个木桩为中心，将原来的40米边长截短，缩短到25米。父亲着急了，说：“那怎么成呢？那怎么成呢？这个羊圈太小了，太小了。”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米。经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形。然后，小欧拉很自信地对爸爸说：“现在，篱笆也够了，面积也够了。”

父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用光。面积也足够了，而且还稍稍大了一些。父亲心里感到非常高兴！

1. 如 图，一个长方形被分成了四个小长方形，长方形A的面积是45平方米，长方形B的面积是15平方米，长方形C的面积为15平方米，则长方形D的面积是多少？

2. 如 图，D为AB边上的三等分点，已知三角形ACD面积为12，则三角形BCD面积是多少？

3. 如 图，D、E分别为AB、BC边上的三等分点，已知三角形ABC面积为72，则三角形CDE面积是多少？

4. 如 图，把三角形DEF的各边向外延长2倍后得到三角形ABC，已知三角形DEF的面积为1，那么三角形ABC的面积是多少？

5. 点 B是正方形一条边上的四等分点．连接AB、BC，点D、E又是AB、BC的四等分点，连接CD、DE．如果正方形边长为24厘米，那么：（1）三角形ABC的面积是多少？（2）三角形CDE的面积是多少？