2021-2022学年五年级数学下册典型例题系列之

期中复习拓展篇（解析版）

编者的话：

《2021-2022学年五年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

本专题是期中复习拓展篇。本部分内容考察第一单元至第四单元的拓展性内容及题型，考点和题型相对困难，偏于思维理解，建议作为根据学生情况选择性进行讲解，一共划分为八个考点，欢迎使用。

【考点一】倍数特征的应用。

【方法点拨】

个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。

个位上是0或5的数是5的倍数。

一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

【典型例题1】

如果五位数□436□是45的倍数，那么这个五位数是多少？

解析：我们可以把45分解成9×5，这个五位数要是45的倍数，就一定能被5和9整除，是5的倍数，末尾的数字一定是0或5，还要满足各位数字之和是9的倍数。

当末尾数字填0时，首位数字填5，即54360

当末尾数字填5时，首位数字填9，即94365

答：这个五位数是54360和94365。

【典型例题2】

一个大于2的自然数，除以3余2，除以5余2，除以7也余2，那么这个自然数最小是多少？

解析：这个自然数分别除以3、5、7余数都为2，那么这个数减去2就是3、5、7的倍数，即：

这个数是3、5、7的最小公倍数再加上2。

[3、5、7]=105

105+2=107

答：这个数最小是107。

【典型例题3】

三个数的和是 555，这三个数分别能被3、5、7 整除，而且商都相同，这三个数分别是多少？

解析：

X÷3=A

Y÷5=A

Z÷7=A

3A+5A+7A=555

解得 A=37

X=3×37=111

Y=5×37=185

Z=7×37=259

答：这三个数分别是111、185、259。

【考点二】分解质因数的应用。

【方法点拨】

分解质因数指的就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。

例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。

【典型例题1】

四个连续偶数的乘积是5760，求这四个数各是多少？

解析：

5760=2×2×2×2×2×2×2×3×3×5=6×8×10×12

答：这四个连续偶数是6、8、10、12。

【典型例题2】

有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分法？

解析：先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10颗，也不能多于50颗，所以，每份有2×2×3=12颗，2×7=14颗，3×7=21颗，2×2×2×3=24颗，2×3×7=42颗，共有5种分法。

【考点三】长方体表面积的三种增减变化方式。

【方法点拨】

长方体表面积的增减变化问题主要有三种形式，即切片问题，拼接问题，高的变化引起的表面积增减变化，根据题目不同变化方式采用不同的方法解决问题。

【典型例题1】

把一根长40厘米的长方体木条锯成两段，表面积增加了18平方厘米。原来木条的体积是（ ）立方厘米。

解析：360

【典型例题2】

如图，把一根长6分米的长方体木料沿横截面平均截成三段，表面积比原来增加16平方分米，原来长方体木料横截面的面积是多少平方分米？这根木料的体积是多少立方分米？

解析：

横截面的面积∶16÷（2×2）=4（平方分米）

这根木料的体积∶4×6=24（立方分米）。

【典型例题3】

一块蛋糕长12cm，宽5cm，厚6cm，切一刀表面积最少增加多少平方厘米？最多增加多少平方厘米？

解析：

切一刀增加两个面，增加的这两个面完全相同，要使表面积增加的最少，以长为6厘米、宽为5厘米为横截面切开，即6×5×2求出增加的面积；要使表面积增加的最多，以长为12厘米、宽为6厘米为横截面切开，即12×6×2，可据此解答。

表面积最少增加：

6×5×2

＝30×2

＝60（cm²）

表面积最多增加：

12×6×2

＝72×2

＝144（cm²）

【典型例题4】

用长6cm、宽3cm、高1cm的两个小长方体拼成一个大长方体。这个大长方体的表面积最小是( )cm²，表面积最大是( )cm²。

解析：

最小表面积：（6×3＋6×1＋3×1）×2×2－3×6×2

＝27×4－36

＝108－36

＝72（平方厘米）

最大表面积：（6×3＋6×1＋3×1）×2×2－3×1×2

＝27×4－6

＝108－6

＝102（平方厘米）

【典型例题5】

一个长方体，如果高减少 就变成了一个正方体，表面积比原来减少 。原来长方体的表面积是多少平方厘米？

解析：

根据题意可知：一个长方体，如果高减少2 cm，就变成一个正方体，说明原来长方体的底面是正方形；又表面积比原来减少了72cm2，表面积减少的是高为2 cm的长方体的4个侧面的面积，由此可以求出减少部分的1个侧面的面积，进而求出底面边长和高，再根据长方体的表面积公式：s＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答即可。

原长方体的底面边长是：

72÷4÷2

＝18÷2

＝9（cm）     

高是：

（9×9＋9×11＋9×11）×2

＝（81＋99＋99）×2

＝279×2

＝558（cm²）

答：原来长方体的表面积是558平方厘米。

【考点四】染色问题。

【方法点拨】

三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面：

染三个面的小正方体数量∶8个。

染两个面的小正方体数量∶12×（a-2）。

染一个面的小正方体数量∶6×（a-2）x（a-2）。

没有染色的面的小正方体数量∶（a-2）×（a-2）×（a-2）。

【典型例题】

如图，是由125个小正方体拼成的一个大正方体，把它的表面全部涂上颜色。

（1）没有涂到颜色的小正方体有（ ）块。

（2）一面涂色的小正方体有（ ）块。

（3）两面涂色的小正方体有（ ）块。

（4）三面涂色的小正方体有（ ）块。

解析：27；54；36；8

【对应练习】

如图，一个4×4×4的正方体，将其平均分成64块，如果将其表面涂成红色，那么其中只有两个面被涂成红色的小正方体有多少块?

解析：两面涂红色的在棱长处，共2×12=24块。

【考点五】复杂的体积问题。

【方法点拨】

注意理解题意，充分利用公式综合解决问题。

【典型例题1】

长方体的长为12厘米，高为8厘米，阴影部分的两个面的面积和是200平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？

解析：200÷（12+8）=10（厘米）

12×8×10=960（立方厘米）

答：略。

【典型例题2】

一个正方体木块，把它锯成两个完全一样的长方体后，每个长方体的表面积比原来正方体的表面积小32平方厘米。求原正方体的体积。

解析：一个面的面积：32÷2=16（平方厘米）

棱长是4厘米。

4×4×4=64（立方厘米）

答：略。

【典型例题3】

一个长方体，如果高增加3厘米，就变成棱长为8厘米的正方体。原长方体的体积是多少？

解析：原来的高：8-3=5（厘米）

8×8×5=320（立方厘米）

答：略。

【考点六】复杂的排水法问题。

【方法点拨】

形状不规则的物体可以用排水法求体积：

排水法的公式：V物体 =V现在－V原来

也可以 V物体 =S×(h现在- h原来)

V物体 = S×h升高

【典型例题1】

在一个装满水的棱长40分米（从里面量）的正方体水缸里，有一块被水浸没了的长方体铁块，它的长20分米，宽16分米，当把铁块取出后，水位下降了4分米，求长方体铁块的高是多少？

解析：40×40×4÷（20×16）=20（分米）

答：略。

【典型例题2】

一 个无水观赏鱼缸（如图）中放有一块高为28cm、体积为4200cm³的假石山，如果水管以每分钟8dm³的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间才能将假石山完全淹没？

解析：8立方分米=8000立方厘米

（46×25×28-4200）÷8000=3.5（分钟）

【典型例题3】

一个长为25厘米，宽为18厘米的长方形玻璃缸，水深20厘米，水下有一个棱长为3厘米的正方体铁块，若取出铁块，现在水深多少厘米？

解析：现在水的体积：25×18×20=9000（立方厘米）

正方体铁块的体积：3×3×3=27（立方厘米）

取出铁块后的体积：9000-27=8973（立方厘米）

现在水深：8973÷25÷18=19.94（厘米）

答：略。

【典型例题4】

一个长方体玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深3分米，如果投入棱长4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少？

解析：4×4×4+8×6×3-8×6×4=16（升）

答：略。

【考点七】最小公倍数的复杂应用。

【方法点拨】

同余数问题：余数相同时，减去余数得到整除。

同差问题：差相同时，加上差得到整除。

【典型例题】

一盒围棋，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，5颗5颗数多4颗。如果这盒围棋子的数量在150至200颗之间，这盒围棋子有多少颗？

解析：

4、6和5的最小公倍数是60。

200÷60＝3……20

60×3－1

＝180－1

＝179（颗）

【对应练习】

育才小学五年级同学排成3路纵队多出1人，排成5路纵队多出1人，排成7路纵队还多出1人，五年级的人数在200人左右。五年级有多少人？

解析：

3、5、7两两互质，所以它们的最小公倍数是：3×5×7＝105

3、5、7的公倍数有：105、210、315……

200左右的是210

210＋1＝211（人）

答：五年级有211人。

【考点八】约分的复杂应用。

【方法点拨】

约分的复杂应用主要有三种形式，即知和型、知差型、差不变关系。

【典型例题1】知和型。

把一个分数约成最简分数后是 ，约分前分子与分母的和等于200，那么约分前的分数是多少?

解析：7＋13=20，200÷20=10，所以约分前的分数是 。

【典型例题2】

一个分数的分母比分子大24，约分后是 ，这个分数是 。

解析：

一份数：

24÷（8－5）＝8；

这个分数是 。

【典型例题3】差不变关系。

的分子和分母同时减去一个数，约分后得 ，同时减去的这个数是多少？

解析：

差：30-23=7

一份：7÷（4-3）=7

约分前为

减去：23-21=2

答：同时减去的这个数是2。