2021-2022学年五年级数学下册典型例题系列之

第四单元求最大公因数和最小公倍数专项练习

（解析版）

1．用你喜欢的方法求出下列各组数的最大公因数。

（1）15和20

（2）24和18

（3）13和19

【答案】（1）5；（2）6；（3）1

【解析】

【分析】

（1）（2）对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；

（3）13和19是互质数，是互质数的两个数，它们的最大公因数是1；由此解答。

【详解】

（1）15和20

15＝3×5

20＝2×2×5

最大公因数是5；

（2）24和18

24＝2×2×2×3

18＝2×3×3

最大公因数是2×3＝6；

（3）13和19

13和19是互质数，

最大公因数是1。

2．求下面各组数的最大公因数。

4和13             18和27             20和50

【答案】1；9；10

【解析】

对每一组的两个数分别分解质因数，两个数的最大公因数是这两个数公共的质因数的乘积。

【详解】

4和13互质，4和13的最大公因数是1；

， ；

18和27的最大公因数是 ；

， ；

20和50的最大公因数是 。

3．求出下面每组数的最大公因数。

12和48     36和6       9和81

9和11     11和15        16和32

【答案】12；6；9

1；1；16

【解析】

【分析】

把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。

【详解】

12＝2×2×3

48＝2×2×2×2×3

所以12和48的最大公因数是：

2×2×3

＝4×3

＝12

36＝2×2×3×3

6＝2×3

所以36和6的最大公因数是：2×3＝6

9＝3×3

81＝3×3×3×3

所以9和81的最大公因数是：3×3＝9

9＝1×9

11＝1×11

所以9和11 的最大公因数是：1

11＝1×11

15＝1×15＝3×5

所以11和15的最大公因数是：1

16＝2×2×2×2

32＝2×2×2×2×2

所以16和32的最大公因数是：

2×2×2×2

＝4×2×2

＝8×2

＝16

【点睛】

掌握求最大公因数的方法是解决本题的关键。

4．求下列各组数的公因数与最大公因数。

9和18                            60和90                       17和37             

25和40                            39和52                       28、42和84

【答案】9和18的公因数有：1，3，9；9和18的最大公因数是：9

60和90的公因数有：1，2，3，5，6，10，15，30；60和90的最大公因数是：30

17和37的公因数是1；17和37的最大公因数是：1

25和40的公因数有：1，5；25和40的最大公因数是：5

39和52的公因数有：1，13；39和52的最大公因数是：13

28、42和84公因数有：1，2，7，14；28、42和84的最大公因数是：14

【解析】

【分析】

根据求一个数因数的方法，写出每组数的所有因数，重复的因数是公因数，公因数中最大的是最大公因数。

【详解】

9的因数有：1，3，9；

18的因数有：1，2，3，6，9，18；

9和18的公因数有：1，3，9；

9和18的最大公因数是：9

60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60；

90的因数有：1，2，3，5，6，9，10，15，18，30，45，90；

60和90的公因数有：1，2，3，5，6，10，15，30；

60和90的最大公因数是：30

17和37的公因数是1；17和37的最大公因数是：1

25的因数有：1，5，25；

40的因数有：1，2，4，5，8，10，20，40；

25和40的公因数有：1，5；

25和40的最大公因数是：5

39的因数有：1，3，13，39；

52的因数有：1，2，4，13，26，52，；

39和52的公因数有：1，13；

39和52的最大公因数是：13

28的因数有：1，2，4，7，14，28；

42的因数有：1，2，3，6，7，14，21，42；

84的因数有：1，2，3，4，6，7，12，14，21，28，42，84

28、42和84公因数有：1，2，7，14；

28、42和84的最大公因数是：14

【点睛】

本题考查了公因数与最大公因数，如果单独求最大公因数，直接用短除法计算比较方便。

5．求下列各组数的最大公因数。

48和108                              65和39                    54和180        

36和128                              54和256                 12、24和36

【答案】12；13；18；4；2；12

【解析】

【分析】

把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。

【详解】

，2×2×3＝12，48和108的最大公因数是：12；

，65和39的最大公因数是：13；

，2×3×3＝18，54和180的最大公因数是：18；

，2×2＝4，的最大公因数是：4

，54和256的最大公因数是：2

，2×2×3＝12，12、24和36的最大公因数是：12

【点睛】

本题考查了最大公因数，两数互质，最大公因数是1，两数成倍数关系，最大公因数是较小数。

6．最大公因数（需要用短除的用短除）。

36和48                 51和18                  72和60

【答案】12；3；12。

【解析】

【分析】

最大公因数是指两个数字共同因数中最大的一个。

【详解】

（1）

最大公因数是：2×2×3＝12。

（2）

最大公因数是3。

（3）

最大公因数为：2×2×3＝12。

【点睛】

本题主要考查短除法求最大公因数，关键是最大公因数是把短除法左侧所有的公因数乘起来的积。

7．求48和72的最大公因数

【答案】24

【解析】

【分析】

求最大公因数的方法

方法一：质因数分解法

全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。

方法二：短除法

短除法运算方法是先用一个除数除以能被它除尽的一个质数，以此类推，除到商是质数为止。

把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。

【详解】

48=2×2×2×2×3；

72=2×2×2×3×3；

2×2×2×3=24

所以48和72的最大公因数是24.

故答案为：24

【点睛】

本题考察了两个数的最大公因数求法，利用短除法更方便一些。

8．求42和56的最大公因数

【答案】14

【解析】

【分析】

分别求出42和56的因数，再把共有的因数相乘，就是它们的公因数。

【详解】

42=2×3×7,56=2×2×2×7，2×7=14，所以42和56的最大公因数就是14.

【点睛】

不同情况的两个数，一般采用不同的方法去求它们的最大公因数。

9．求36和48的最大公因数

【答案】12

【解析】

【分析】

求最大公因数的方法

方法一：质因数分解法

全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。

方法二：短除法

短除法运算方法是先用一个除数除以能被它除尽的一个质数，以此类推，除到商是质数为止。

把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。

【详解】

36=2×2×3×3

48=2×2×2×2×3

2×2×2×3=12

所以36和48的最大公因数是12.

【点睛】

本题考察了最大公因数的求法，一般情况短除法比较好用。

       

10．用短除法求下列各组数的最大公因数．

45和60             26和78               286和429               42，168和126

【答案】（45,60）=5   （26,78）=26 （286,429）= 143 （42，168，126）= 42

【解析】

【详解】

略

11．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。

11和12             20和30             30和150             8和9

【答案】（1）最大公因数是1，最小公倍数是132；

（2）最大公因数是10，最小公倍数是 60；

（3）最大公因数是30，最小公倍数是150；

（4）最大公因数是1，最小公倍数是72

【解析】

【分析】

（1）11和12是互质数，是互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两个数的乘积；

（2）先把20和30进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数；这两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；

（3）因为150÷30＝5，即30和150成倍数关系，当两个数成倍数关系时，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数，较小的那个数，是这两个数的最大公因数；

（4）8和9是互质数，是互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两个数的乘积。

【详解】

（1）11和12是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是11×12＝132；

（2）20＝2×2×5

30＝2×3×5

所以20和30的最大公因数是10，最小公倍数是：2×2×3×5＝60。

（3）30和150成倍数关系，它们的最大公因数是30，最小公倍数是150。

（4）8和9是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是9×8＝72。

【点睛】

此题主要考查了求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，掌握对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数，这两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；对于两个数为倍数关系时的最大公因数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数；是互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两个数的乘积是解题关键。

12．求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。

9和15                    17和51

【答案】3，45；17，51

【解析】

【分析】

先对各个数分解质因数，再根据最大公因数和最小公倍数的求法，求出两组数的最大公因数和最小公倍数。

【详解】

9＝3×3，15＝3×5，3×5×3＝45，所以9和15的最大公因数是3，最小公倍数是45；

51＝3×17，所以17和51的最大公因数是17，最小公倍数是51。

13．求下列每组数的最小公倍数。

4和15                    12和36                    24和32

【答案】60；36；96

【解析】

【分析】

全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。

【详解】

4×15＝60，4和15的最小公倍数是60；

12×3＝36，12和36的最小公倍数是36；

24＝2×2×2×3

32＝2×2×2×2×2

2×2×2×2×2×3＝96

24和32的最小公倍数是96。

14．找出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。

48和8       24和18       10和11

【答案】48和8的最大公因数是8；最小公倍数是48；

24和18的最大公因数是6；最小公倍数是72

10和11的最大公因数是1；最小公倍数是110

【解析】

【分析】

两个数为倍数关系时：最大公因数为较小的数，较大的那个数是这两个数的最小公倍数；对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；互质的两个数，它们的最大公因数是1 ，最小公倍数是这两个数的乘积；据此解答。

【详解】

48和8

48和8的最大公因数是8；

48和8的最小公倍数是48；

24和18

24＝2×2×2×3

18＝2×3×3

24和18的最大公因数：2×3＝6；

24和18的最小公倍数：2×2×2×3×3

＝4×2×3×3

＝8×3×3

＝24×3

＝72

10和11

10和11的最大公因数：1

10和11的最小公倍数：110

15．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。

（1）12和42                                          （2）6和30

【答案】（1）最大公因数6；最小公倍数是84

（2）最大公因数是6；最小公倍数是30

【解析】

【分析】

求两个数的最大公因数就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数就是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；当两个数成倍数关系时，最大公因数为较小的数，最小公倍数为较大的数，据此解答。

【详解】

（1）12和42

12＝2×2×3

42＝2×3×7

最大公因数是2×3＝6

最小公倍数是2×2×3×7＝84

12和42的最大公因数是6；最小公倍数是84。

（2）6和30

6和30为倍数关系

最大公因数是6

最小公倍数是30

6和30的最大公因数是6；最小公倍数是30。

16．写出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。

8和7             5和45            16和24

【答案】1，56；5，45；8，48

【解析】

【分析】

两数互质，最大公因数是1，最小公倍数是两数的积；

两数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；

全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。

【详解】

8×7＝56，8和7的最大公因数是1，最小公倍数是56；

45÷5＝9，5和45的最大公因数是5，最小公倍数是45；

16＝2×2×2×2，24＝2×2×2×3，2×2×2＝8，2×2×2×2×3＝48

16和24的最大公因数是8，最小公倍数是48

【点睛】

关键是掌握最大公因数和最小公倍数的求法，一般情况可以用短除法直接计算。

17．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。

24和8          30和12          13和10

【答案】8，24；6，60；1，130

【解析】

【分析】

第一组，24是8的倍数，那么最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；

第二组，30和12分解质因数，最大公因数是相同质因数的乘积，最小公倍数是相同质因数的乘积再乘各自不同的质因数；

第三组，两个数互质，最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积。

【详解】

（1）24÷8＝3

24是8的倍数；

24和8最大公因数是8；

24和8最小公倍数是24；

（2）30＝2×3×5

12＝2×2×3

30和12最大公因数是2×3＝6

30和12最小公倍数是2×2×3×5＝60

（3）13和10互质；

13和10最大公因数是1；

13和10最小公倍数是130。

【点睛】

掌握灵活求最大公因数和最小公倍数的方法是解决此题的关键。

18．用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。

18和30                                     36和12

【答案】18和30的最大公因数是6，最小公倍数是90；36和12的最大公因数是12，最小公倍数是36。

【解析】

【分析】

短除法运算方法是先用一个除数除以能被它除尽的一个质数，以此类推，除到商是质数为止。

把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。

把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。然后把所有的除数、商都相乘，得到最小公倍数。

【详解】

2×3＝6

2×3×3×5＝90

18和30的最大公因数是6，最小公倍数是90。

2×2×3＝12

2×2×3×3＝36

36和12的最大公因数是12，最小公倍数是36。

19．求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。

15和75            8和36

【答案】最大公因数15，最小公倍数75；

最大公因数4，最小公倍数72

【解析】

【分析】

（1）当两个数成倍数关系时，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数，较小的那个数，是这两个数的最大公因数。

（2）先把8和36进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数；这两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；由此解答即可。

【详解】

（1）15和75最大公因数15，最小公倍数75；

（2）8＝2×2×2，

36＝2×3×2×3，

所以15和12的最大公因数是2×2＝4，最小公倍数是：2×2×3×2×3＝72。

20．写出每组数的最大公因数和最小公倍数。

3和15       7和8

9和15       91和39

【答案】3，15；1，56

3，45；13，273

【解析】

【分析】

15是3的5倍，所以最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；7和8互质，所以最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积；

9和15、91和39可以通过分解质因数的方法找最大公因数和最小公倍数。

【详解】

3和15的最大公因数是3，最小公倍数是15；

7和8的最大公因数是1，最小公倍数是 ；

，

9和15的最大公因数是3，最小公倍数是 ；

，

91和39的最大公因数是13，最小公倍数是 。