2021-2022学年五年级数学下册典型例题系列之

第三单元长方体和正方体的体积部分（解析版）

编者的话：

《2021-2022学年五年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

本专题是第三单元长方体和正方体的体积部分。本部分内容考察长方体和正方体的体积，编排从易到难，考点划分较多，共划分为十个考点，建议作为本章重点内容进行讲解，欢迎使用。

【考点一】直接求长方体和正方体的体积及反求。

【方法点拨】

1.长方体的体积= 长×宽×高 V=abh

长= 体积÷宽÷高 a=V÷b÷h

宽= 体积÷长÷高 b=V÷a÷h

高= 体积÷长÷宽 h= V÷a÷b

2. 正方体的体积= 棱长×棱长×棱长 V=a×a×a = a³ 读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a）

3.长方体或正方体底面的面积叫做底面积。（横截面积相当于底面积，长相当于高）。

4.长方体的体积= 长×宽×高 = 底面积×高

5.正方体的体积= 棱长×棱长×棱长=底面×棱长

6.长（正）方体的体积用字母表示：V=Sh

【典型例题1】

某纸盒厂生产一种正方体纸板箱，棱长40厘米，它的体积是多少立方分米？

解析：40厘米=4分米

4×4×4=64（立方分米）

答：略。

【典型例题2】

一个长2分米，宽4分米，高5分米的长方体木块，这个木块的体积是多少立方分米？

解析：2×4×5=40（立方米）

答：略。

【对应练习1】

一个正方体玻璃容器的棱长是15厘米，体积是多少立方厘米？

解析：15×15×15=3375（立方厘米）

答：略。

【对应练习2】

希望小学有一间长10米，宽6米，高3.5米的教室。这间教室的空间有多大？

解析：10×6×3.5=210（立方米）

答：略。

【对应练习3】

要挖一个容积是4.8立方米的长方体地窖，如果地窖的长是2米，宽是1.2米，深要挖几米？

解析：4.8÷2÷1.2=2（米）

答：略。

【对应练习4】

一个长方体的花坛，体积是60立方米，高是0.3米。这个花坛占地面积是多少平方米？

解析：60÷0.3=200（平方米）

答：略。

【对应练习5】

一个长方体油箱，容积是20升，这个油箱的底面是个边长为20厘米的正方形。油箱的高是多少厘米？

解析：20升=20立方分米=20000立方厘米

20000÷（20×20）=50（厘米）

答：略。

【考点二】求组合立体图形的体积。

【方法点拨】

求组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加，或用图形整体的体积减去空白部分的体积。

【典型例题1】

有一个形状如下图所示的零件，求它的体积。（单位：cm）

解析：

正方体：3×3×3=27（立方厘米）

长方体：5×12×6=360（立方厘米）

组合图形：27+360=387（立方厘米）

答：略。

【典型例题2】

下面是某一零件，你能求出它的体积吗？（单位：厘米）

解析：2×8×6-1×4×3=84（立方厘米）

答：略。

【对应练习1】

一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？（单位：厘米）

解析：4×10×2+（6-2）×2×10=160（立方厘米）

答：略。

【对应练习2】

有一个形状如下图的零件，求它的体积。（单位：厘米）

解析：2×2×2+4×2×6=56（立方厘米）

答：略。

【对应练习3】

如图，在棱长是8dm的正方体的上面挖去一个棱长4dm的正方体，求挖去以后图形的表面积和体积。

解析：表面积：4×4×4+8×8×6=448（平方分米）

体积：8×8×8-4×4×4=448（立方分米）

【对应练习4】

如图，求下面零件的体积。（单位：厘米）

解析：8×12×4-4×4×4

=384-64

=320（立方厘米）

【考点三】体积的扩倍问题。

【方法点拨】

长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。

【典型例题】

长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的（ 8 ）倍。

正方体的棱长扩大2倍，则体积扩大（ 8 ）倍。

【对应练习】

正方体的棱长扩大3倍，它的体积就扩大（ 27 ）倍。

【考点四】体积进阶问题。

【方法点拨】

先求出对应的体积，再根据已知条件解答问题。

【典型例题】

一个长方体的沙坑装满 沙子，这个沙坑长3米，宽1.5米，深2米，每立方米沙子重1400千克。这个沙坑里共装沙子多少吨？

解析：3×1.5×2×1400=12600（千克）=12.6（吨）

答：略。

【对应练习1】

一块长方体钢材 ，长1米，宽4厘米，厚3厘米，它的体积是多少立方厘米？每立方厘米的钢重7.8克，这块钢材的质量是多少千克？

解析：1米=100厘米

100×4×3=1200（立方厘米）

1200×7.8=9360（克）=93.6（千克）

答：略。

【对应练习2】

学校要砌围墙。已知这道围墙长24米、宽24厘米、高2.5米。如果每立方米用砖头500块，一共要用多少块砖？

解析：24厘米=0.24米

24×0.24×2.5=14.4（立方米）

14.4×500=7200（块）

答：略。

【对应练习3】

一堆货物堆成长方体形状，长8m，宽6m，高4m。如果每立方分米货物重1.8吨，这堆货物有多少吨？

解析：8×6×4=192（立方米）=192000立方分米

192000×1.8=345600（吨）

答：略。

【考点五】稍复杂的求体积问题。

【方法点拨】

长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。

【典型例题1】

长方体的长为12厘米，高为8厘米，阴影部分的两个面的面积和是200平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？

解析：200÷（12+8）=10（厘米）

12×8×10=960（立方厘米）

答：略。

【典型例题2】

一个正方体木块，把它锯成两个完全一样的长方体后，每个长方体的表面积比原来正方体的表面积小32平方厘米。求原正方体的体积。

解析：一个面的面积：32÷2=16（平方厘米）

棱长是4厘米。

4×4×4=64（立方厘米）

答：略。

【典型例题3】

一个长方体，如果高增加3厘米，就变成棱长为8厘米的正方体。原长方体的体积是多少？

解析：原来的高：8-3=5（厘米）

8×8×5=320（立方厘米）

答：略。

【对应练习1】

一个长方体的棱长总和是 厘米，长、宽、高之比是 ，求长方体的表面积和体积分别是多少？

解析：长：72÷4× =8（厘米）

宽：72÷4× =6（厘米）

高：72÷4× =4（厘米）

答：略。

【对应练习2】

一个长方体，如果高减少2厘米就成了一个正方体，表面积比原来减少72平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？

解析：72÷4=18（平方厘米）

棱长：18÷2=9（厘米）

体积：9×9×（9+2）=891（立方厘米）

答：略。

【对应练习3】

一个长方体，高减少 正好成为一个正方体，表面积减少 ，求原长方体的体积。

解析：32÷4÷2=4（厘米）

体积：4×4×（4+2）=96（立方厘米）

答：略。

【对应练习4】

一根长2米的长方体木料锯成两段后，表面积增加了100平方厘米，它的体积是多少？

解析：2米=200厘米

100÷2×200=10000（立方厘米）=10（立方分米）

答：略。

【考点六】长方形折叠问题。

【方法点拨】

求出对应的长、宽、高即可。

【典型例题1】

一张长30厘米，宽18厘米的长方形硬纸板，在它的四角上各剪去一个边长为2厘米的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒（接头处忽略不计）。这个纸盒的容积是多少毫升?

解析：

长：30-2×2=26（厘米）

宽：18-2×2==14（厘米）

高：2厘米

容积：26×14×2=728（毫升）

答：略。

【对应练习1】

在一张长 25 分米、宽 20 分米的长方形铁皮的四个角上各剪去一个边长是 5 分米的正方形，然后折成一个长方体无盖铁盒，这个铁盒的容积是多少？（铁皮厚度忽略不计）

解析：

长：25-5×2=15（分米）

宽：20-5×2=10（分米）

高：5分米

答：略。

【对应练习2】

一块长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为3cm的正方形，然后做成盒子．这个盒子用了多少铁皮？它的容积有多少？

解析：表面积：26×21-3×3×4=510（平方厘米）

体积：（26-3×2）×（21-3×2）×3=900（立方厘米）

答：略。

【对应练习3】

在如图所示的长方形铁皮四角分别剪去一个边长为 的正方形后，正好可以折成一个无盖的铁盒，这个铁盒的表面积是多少？

解析：40×30-4×4×4=1136（平方厘米）

答：略。

【考点七】体积不变原理。

【方法点拨】

熔铸、锻造以及倒水等问题，体积是不变的。

【典型例题】

一个正方体油箱，容积是216立方分米，把这一箱油倒入另一个长方体油箱内。已知长方体油箱长8分米，宽5分米，这个油箱中油深多少分米？

解析：8×5=40（平方分米）

216÷40=5.4（分米）

答：略

【对应练习1】

把一个棱长为 的正方体的钢坯，锻造成一个长 ，宽 的长方体钢件，这个钢件高是多少厘米？

解析：8×8×8÷（32×10）=1.6（厘米）

答：略。

【对应练习2】

把一个长9厘米、宽7厘米、高3厘米的长方体铁块和一个棱长5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体铁块，求这个长方体铁块的高。

解析：（9×7×3+5×5×5）÷20=15.7（厘米）

答：略。

【对应练习3】

有一个完全封闭的容器，里面的长是20厘米、宽是16厘米、高是10厘米，平放时里面装了7厘米深的水，如果把这个容器竖起来放，水的高度是多少？

解析：20×16×7÷（16×10）=14（厘米）

答：略。

【对应练习4】

一个长方体容器长20cm，宽10cm，高8cm，里面水深5cm。把这个容器盖紧后，让宽10cm，高8cm的面朝下，这时里面的水深是多少厘米？

解析：20×10×5÷（10×8）=12.5（厘米）

答：略。

【对应练习5】

如下图所示，一个长方体密封玻璃容器，里面装着水．从容器里面量长是 厘米、宽是 厘米、高是 厘米，水深是 厘米．如果把容器的右侧面和前面作为底面放在桌子上，容器中的水深分别是多少厘米？

解析：

20×12×6=1440（立方厘米）

1440÷12÷10=12（厘米）

答：略。

【考点八】排水法初步。

【方法点拨】

形状不规则的物体可以用排水法求体积：

排水法的公式：V物体 =V现在－V原来

也可以 V物体 =S×(h现在- h原来)

V物体 = S×h升高

【典型例题】

小明在一个底面积为48dm²的长方体水槽中放了一块石头（完全浸没），水面上升了2cm，这块石头的体积有多大？

解析：2厘米=0.2分米

48×0.2=9.6（立方分米）

【对应练习1】

一个长50厘米，宽40厘米，高40厘米的长方体鱼缸中水深25厘米，放入几个梨子后，水面上升了3厘米，这几个梨子的体积是多少？

解析：50×40×3=6000（立方厘米）

答：略。

【对应练习2】

一个金鱼缸的长是6dm，宽是2dm，里面装有4.4dm高的水，放入8条小鱼后，水面上升到4.5dm，请你算一算，平均每条小鱼的体积约是多少？

解析：6×2×（4.5-4.4）÷8=0.15（立方分米）

答：略。

【对应练习3】

在一个长6分米，宽4分米，高3分米的长方体玻璃缸中，水深2分米，把一个实心球放入水中，水深2.5分米，求实心球的体积？

解析：6×4×（2.5-2）=12（立方分米）

答：略。

【对应练习4】

一个长方体容器，从里面量长宽均为3分米，向容器里倒入9升水，再把几个土豆放入水中，这时水深16厘米，这几个土豆的体积是多少？

解析：9L=9立方分米

16厘米=1.6分米

3×3×1.6-9=5.4（立方分米）

答：略。

【对应练习5】

一个底面长和宽都是2dm的长方体玻璃容器，里面装有5.6L水，将一个苹果浸没在水中，这时量得容器内的水深1.5dm。这个苹果的体积是多少立方分米？（玻璃厚度忽略不计）

解析：

原来水高：5.6÷（2×2）=1.4（分米）

现在水高：1.5-1.4=0.1（分米）

苹果体积：0.1×2×2=0.4（立方分米）

答：略。

【考点九】排水法进阶。

【方法点拨】

形状不规则的物体可以用排水法求体积：

排水法的公式：V物体 =V现在－V原来

也可以 V物体 =S×(h现在- h原来)

V物体 = S×h升高

【典型例题1】

在一个装满水的棱长40分米（从里面量）的正方体水缸里，有一块被水浸没了的长方体铁块，它的长20分米，宽16分米，当把铁块取出后，水位下降了4分米，求长方体铁块的高是多少？

解析：40×40×4÷（20×16）=20（分米）

答：略。

【典型例题2】

一 个无水观赏鱼缸（如图）中放有一块高为28cm、体积为4200cm³的假石山，如果水管以每分钟8dm³的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间才能将假石山完全淹没？

解析：8立方分米=8000立方厘米

（46×25×28-4200）÷8000=3.5（分钟）

【典型例题3】

一个长为25厘米，宽为18厘米的长方形玻璃缸，水深20厘米，水下有一个棱长为3厘米的正方体铁块，若取出铁块，现在水深多少厘米？

解析：现在水的体积：25×18×20=9000（立方厘米）

正方体铁块的体积：3×3×3=27（立方厘米）

取出铁块后的体积：9000-27=8973（立方厘米）

现在水深：8973÷25÷18=19.94（厘米）

答：略。

【对应练习1】

在一个长16分米、宽8分米、高7分米的长方体玻璃缸里放水，水深5分米。如果在里面浸没一块棱长是4分米的正方体铁块，水面上升多少分米？

解析：4×4×4÷（16×8）=0.5（分米）

答：略。

【对应练习2】

一个长方体水族箱从里面量长 ，宽 。如果每条金鱼的体积是 ，向水族箱中放入 条金鱼(水没有溢出)后，水族箱中的水位上升了多少厘米？

解析：640×3÷（32×25）=2.4（厘米）

答：略。

【考点十】排水法：溢出问题。

【方法点拨】

物体完全浸没在水中，如果物体的体积超过空白部分的体积，就会溢出，求溢出部分的体积需要用物体的体积减去空白部分的体积。

【典型例题】

一个长方体玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深3分米，如果投入棱长4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少？

解析：4×4×4+8×6×3-8×6×4=16（升）

答：略。

【对应练习1】

西湖饭店门前有一个长7m，宽4m，高1m的水池，张叔叔先在水池中注满水，然后把两条长2m，宽1.5m，高2m的石柱竖着放入池中，水池溢出的水的体积是多少？

解析：2×1.5×1×2=6（立方米）

答：略。

【对应练习2】

一只长方体的玻璃缸，长8dm、宽6dm、高4dm。如果投入一块棱长为4dm的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？

解析：4×4×4-8×6×（4-2.8）=6.4（升）

答：略。

【对应练习3】

一 个长方体玻璃容器长 ，宽 ，高 ，水深 ．如果放入一块棱长为 的正方体石块，玻璃容器中的水溢出多少升？

解析：5×5×5+10×7×3.5-10×7×5=20（升）

答：略。