第十二讲 几何计数

1. 答案：16；15
   详解：注意有序枚举：（1）左图中由一部分组成的三角形有6个，由两部分组成的三角形有3个，由三部分组成的三角形有6个，由六部分组成的三角形有1个，共计16个．（2）右图中由一部分组成的三角形有4个，由两部分组成的三角形有6个，由三部分组成的三角形有2个，由四部分组成的三角形有2个，由六部分组成的三角形有1个，共计15个．
   
   
   

2. 答案：78
   详解：恰当分类，有序枚举．图中的三角形可以分为两类，一类是尖朝上的，一类是尖朝下的．设最小的三角形边长为1．（1）尖朝上的：边长为1的三角形有 个；边长为2的三角形有 个；边长为3的三角形有 个；边长为4的三角形有 个；边长为5的三角形有 个；边长为6的三角形有1个．共计56个．（2）尖朝下的：边长为1的三角形有 个；边长为2的三角形有 个；边长为3的三角形有1个．共计22个．图中一共有78个三角形．
   
   

3. 答案：91，112
   详解：分别考虑边长为1、2、3、4、5、6的正方形各有多少个即可．左图有 个，右图有 个．
   
   
   

4. 答案：（1）756；（2）216；（3）240；（4）108；（5）348；（6）408
   详解：（1）7条横线选2条作为长，9条竖线选2条作为宽，有 个．
   （2）含★的长方形上下左右边分别有3、4、3、6种选法，这样长方形有 个．
   （3）含☆的长方形上下左右边分别有4、3、5、4种选法，这样长方形有 个．
   （4）两个五角星都含的长方形上下左右边分别有3、3、3、4种选法，长方形有 个．
   （5）根据容斥原理，至少包含一个五角星的长方形有 个．
   （6）用排除法，两个五角星都不包含的长方形有 个．
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

5. 答案：135个
   详解：如图，下方阴影部分中一共有长方形 个；右方阴影部分中一共有长方形 个．

其中右下方3×2长方形中的长方形被重复计算了，共有 个．所以图中一共包含长方形 个．

6. 答案：45个．

详解：所有平行四边形一共有三种不同的方向：尖朝右、尖朝左和尖朝上，如图：

这就提示我们可以按这个特点来分类，因为根据图形的对称性，这三种平行四边形的个数是一样多的．只需数出其中的一种，就能算出最后的答案了．

下面我们来数尖朝上的平行四边形．所有这种平行四边形的边都是斜的，没有横线，所以要数它们的个数，可以把图中的所有横线都去掉，变成如下图形：

这样一来图形就简单了，这个图里的平行四边形很容易数出来：最小的平行四边形有10个，两个小平行四边形拼成的有12个，三个小平行四边形拼成的有6个，四个小平行四边形拼成的有5个，六个小平行四边形拼成的有2个，共35个．而对于另外两种平行四边形，也可根据同样的方法数出，都是35个．因此原来图形中一共有 个平行四边形．

1. 答案：8个；12个
   简答：（1）左图中由一部分组成的三角形有3个，由两部分组成的三角形有4个，由四部分组成的三角形有1个，共计8个．（2）右图中由一部分组成的三角形有5个，由两部分组成的三角形有4个，由三部分组成的三角形有2个，由五部分组成的三角形有1个，共计12个．
   
   

2. 答案：48个
   简答：由1个小三角形组成的三角形有 个；由4个小三角形组成的三角形有 个；由9个小三角形组成的三角形有6个；由16个小三角形组成的三角形有3个；由25个小三角形组成的三角形有1个；共有48个．
   
   

3. 答案：2470个
   简答：按正方形的大小分类，共有 个．
   
   

4. 答案：（1）450；（2）144
   简答：（1）5条横线选2条作为长，10条竖线选2条作为宽，有 个．（2）含黑点的长方形上下左右边分别有2、3、6、4种选法，这样长方形有 个．
   
   

1. 答案：10个
   简答：由一个部分组成的三角形有5个，由两个部分组成的三角形有4个，由三个部分组成的三角形有1个，共计10个．
   
   
   

2. 答案：14个
   简答：边长为1的有10个，边长为2的有4个，共计14个．
   
   
   

3. 答案：20个
   简答：正方形数目：边长为1的12个，边长为2的6个，边长为3的2个，共计20个．

4. 答案：90个
   简答：长方形有 个．
   
   

5. 答案：（1）180个；（2）192个；（2）108个
   简答：（1） 个；（2） 个；（3） 个．