第二十五讲 燕尾模型

之前我们学过等高三角形的比例关系，如下左图所示，△ABC被线段AD一分为二，且有比例关系 ．

如下右图所示，在增加了两条线段后，图中有4个小三角形，这4个小三角形的面积之间的比例关系如图中所示．

由于图中的阴影部分看起来很像燕子的尾巴，所以这个图形我们形象的把它称为燕尾模型．阴影部分我们称之为燕尾形．

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例题1．

如 图，AD=6，CD=14，三角形ABE的面积是24，求三角形BEC的面积．

「分析」 ，据此就可以求出△BEC的面积．

练习1．

已 知三角形ABC中，三角形ABF的面积是60，三角形AFC的面积是20，三角形BFC的面积是56，求三角形BDF和三角形CDF的面积．

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给出不同边上的比例关系，我们就可以用“燕尾模型”解决三角形面积的问题，下面我们先看一个给出两个外比的问题．

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练一练

根 据下列图中所给线段比例来标注各部分的面积份数．

例题2．

如图，△ABC的面积等于28平方厘米．其中 ， ，求阴影三角形的面积．

「 分析」图中并没有燕尾模型，所以第一步需要把它构造出来．应该连哪条线呢？

练 习2．

在三角形ABC中， ， ，阴影部分占△ABC的几分之几？

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有时题目给的不是两个外比，而是一个内比和一个外比，此时在利用燕尾模型解题的时候，既需要由长度的比推出面积的比，也需要由面积的比推出长度的比．

这类问题较简单的一类是已知的内比和外比在同一个燕尾形中．

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练一练

根 据下列图中所给线段比例来标注各部分的面积份数．

例题3．

如图，△ABC中 ， ，阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？

「 分析」这道题目属于知道一外比和一内比的第一种类型，按顺序填份数就可以了．

练习3
在三角形ABC中， ， ，阴影部分占△ABC的几分之几？

练一练

根 据下列图中所给线段比例来标注各部分的面积份数．

例题4

如图，△ABC中， ， ，求四边形CEFD的面积是三角形ABC的几分之几．

「 分析」这道题目属于知道一外比和一内比的第二种类型，按顺序填份数就可以了．

练习4．

在 三角形ABC中， ， ，四边形ADFE的面积是三角形ABC的几分之几？

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有些图形不能直接使用燕尾模型，我们需要添加辅助线后方可使用燕尾模型．

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例题5．

如 图，正方形ABCD的边长是6，E、F分别是DC和AD边的中点，阴影部分的面积是多少？

「分析」连结AC，燕尾模型就出来了．

例 题6．如图，四边形ABCD中， ， ，四边形AEOF的面积是12，BCDE是平行四边形．那么四边形ABCD的面积是多少？

「分析」例题5中，我们通过连结正方形对角线构造出了燕尾模型．本题中，我们应该连结哪条线段呢？

含有“燕”字的诗句

中国古代的诗句中，有很多都和燕子有关系。主要分为以下两类：

一、表现春光的美好，传达惜春之情。

相传燕子于春天社日北来，秋天社日南归，故很多诗人都把它当做春天的象征加以美化和歌颂。如“冥冥花正开，飏飏燕新乳”（韦应物《长安遇冯著》），“燕子来时新社，梨花落后清明”（晏殊《破阵子》），“莺莺燕燕春春，花花柳柳真真，事事丰丰韵韵”（乔吉《天净沙•即事》），“鸟啼芳树丫，燕衔黄柳花”（张可久《凭栏人•暮春即事》），南宋词人史达祖更是以燕为词，在《双双燕•咏燕》中写到：“还相雕梁藻井，又软语商量不定。飘然快拂花梢，翠尾分开红影。”极研尽态，形神俱似。春天明媚灿烂，燕子娇小可爱，加之文人多愁善感，春天逝去，诗人自会伤感无限，故欧阳修有“笙歌散尽游人去，始觉春空。垂下帘栊，双燕归来细雨中”（《采桑子》）之慨叹，乔吉有“燕藏春衔向谁家，莺老羞寻伴，风寒懒报衙（采蜜），啼煞饥鸦”（《水仙子》）之凄惶。

二、表现时事变迁，抒发昔盛今衰、人事代谢、亡国破家的感慨和悲愤。

燕子秋去春回，不忘旧巢，诗人抓住此特点，尽情宣泄心中的愤慨。最著名的当属刘禹锡的《乌衣巷》：“朱雀桥边野草花，乌衣巷口夕阳斜。旧时王谢堂前燕，飞入寻常百姓家。”另外还有晏殊的“无可奈何花落去，似曾相识燕归来，小园香径独徘徊”（《浣溪沙》），李好古的“燕子归来衔绣幕，旧巢无觅处”（《谒金门·怀故居》），姜夔的“燕雁无心，太湖西畔，随云去。数峰清苦，商略黄昏雨”（《点绛唇》），张炎的“当年燕子知何处，但苔深韦曲，草暗斜川”（《高阳台》），文天祥的“山河风景元无异，城郭人民半已非。满地芦花伴我老，旧家燕子傍谁飞？”（《金陵驿》）。燕子无心，却见证了时事的变迁，承受了国破家亡的苦难，表现了诗人的“黍离”之悲，负载可谓重矣。

1. 如图，三角形ABC中已知2个三角形的面积， ，那么三角形AOD的面积是多少？三角形BOC的面积是多少？

2. 如图，三角形ABC中，已知 ， ，请在图上标出各个小三角形的面积份数．（即三角形COE、COD、BOD、AOB的面积份数）

3. 如图，三角形ABC的面积是30， ， ，那么三角形AEF的面积是多少？

4. 在△ABC中， ，F是AD的中点，△ABC的面积是1，则阴影部分的面积是多少？

5. 在△ABC中， ， ，OB与OE的比是多少？