【320524】【课本】5年级第10讲_约数与倍数

第十讲 约数与倍数

在前面的章节，我们学习了数论中的整除和质数合数等知识．今天，我们来学习数论中有关约数与倍数的知识．

约数和倍数的定义是这样的：对整数a和b，如果 ，我们就称a是b的约数（因数），b是a的倍数．

根据定义，我们很容易找到一个数的所有约数，例如对12：因为 ，可知12可以被1、2、3、4、6、12整除，那么它的约数有1、2、3、4、6、12，共6个．

从上面12的分拆可以看出，约数具有“成对出现”的特征，也就是：最大约数对应最小约数、第二大约数对应第二小约数等．所以在写一个数的所有约数时，可以逐对写出．另外如果计算较大约数不太方便，可以转而计算与其成对的较小约数．

例题1．12345654321的第三大约数是多少？

「分析」第三大约数有点大，那我们可以先求出第三小的约数，再根据它计算第三大的约数．

12345678987654321的第二大约数是多少？

从上面的分析知，可以通过枚举的方法逐对写出一个数的所有约数，从而可就算出它的约数个数．但是对很大的数，例如20120000，用枚举来计算个数便很麻烦，所以我们要采用新的方法计算．

以72为例，首先采用枚举可知72共12个约数，分别为1、72；2、36；3、24；4、18；6、12；8、9．因为72的约数能整除72，而72的所有质因数也都能整除72，所以对72进行质因数分解，有： ，那么72的所有约数应当由若干个2与若干个3构成．显然，2有0个到3个共4种选择；3有0个到2个共3种选择，根据乘法原理，72的约数共 个，见下表（注意 、 ）：

从72的这个例子，我们可以总结出计算约数个数的一个简单做法：

约数个数等于指数加1再相乘

例题2．下列各数分别有多少个约数？

23， 64， 75， 225， 720．

「分析」熟练掌握约数个数的计算公式即可．

下列各数分别有多少个约数？

18， 47， 243， 196， 450．

例题3．3600有多少个约数？其中有多少个是3的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个不是6的倍数？

「分析」约数既然能整除3600，那说明约数一定包含在3600的因数中．我们知道 ，那么3600的所有约数一定是由若干个2、若干个3和若干个5组成的．如果约数是3的倍数，那么它至少要含有多少个3？

3456共有多少个约数？其中有多少个是3的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个不是6的倍数？

前面介绍过，一个数的约数具有“可配对”的特点，在练习时大家可以发现，平方数在进行配对时会出现两个重复的数，所以平方数有奇数个约数，根据上面关于约数个数的知识我们可以知道，有奇数个约数的数一定是平方数，有偶数个约数的数一定不是平方数．

例题4．在小于1000的正整数中，有多少个数有奇数个约数？

「分析」有奇数个约数的数一定是平方数，所以只要找出有多少个平方数小于1000即可．

在2000到3000中，有多少个数有奇数个约数？

把一个数分解质因数后，可以知道它的约数个数，反过来，如果知道一个数的约数个数，虽然并不能知道这个数是多少（例如6和10都有4个约数），但可以知道这个数的质因数分解式的形式，例如有2个约数的数一定是质数，有4个约数的数是 或 （a、b、c都是质数）．下面以16个约数为例，来看一下如何反求质因数分解式：

先对16进行分解： ．

所以质因数分解式为： 、 、 、 、 ．

例题5．有12个约数的数最小是多少？有多少个两位数的约数个数是12个？

「分析」有12个约数的数有什么样的特点呢？ ，根据约数个数的计算方法可知108有12个约数．除此之外， ， ，甚至形如 （a、b为不同的质数）均有12个约数．想一想还有没有其他的可能？

关于约数的另一类问题是计算约数和，下以72为例，先利用上面的表格列出72的所有约数，并计算出行和：

现在把3个行和相加，得到72的约数和是 ．

根据这个例子，我们可以总结出计算约数和的一般方法：

的约数和为 ．

例题6．计算下列数的约数和：108、144．

「分析」熟练掌握约数和的计算公式即可．

完全数（perfect number）

如果一个自然数的真因子（除了自己以外的约数）之和恰好等于这个数本身，这个数就被叫做完全数．

完全数又称完美数或完备数，是一类特殊的自然数．利用本讲学过的知识不难知道6和28是最小的两个完全数．

公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数．毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身．”不过，或许印度人和希伯来人早就知道它们的存在了．有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，他们指出，创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数．圣·奥古斯丁说：“6这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实恰恰相反，因为这个数是一个完数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了．”

完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找．它很久以来就一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了地找寻这一类数字．接下去的两个完全数是公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员尼克马修斯发现的，他在其《数论》一书中有一段话如下：“也许是这样：正如美的、卓绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；是以盈数（真因子之和大于自身的数）和亏数（真因子之和小于自身的数）非常之多，杂乱无章，它们的发现也毫无系统．但是完全数则易于计数，而且又顺理成章：因为在个位数里只有一个6；十位数里也只有一个28；第三个在百位数的深处，是496；第四个却在千位数的尾巴上，接近一万，是8128．它们具有一致的特性：尾数都是6或8，而且永远是偶数．”

第五个完全数要大得多，是33550336，它的寻求之路也艰难得多，直到十五世纪才由一位无名氏给出．这一寻找完全数的努力从来没有停止．电子计算机问世后，人们借助这一有力的工具继续探索．笛卡尔曾公开预言：“能找出完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事．”时至今日，人们一直没有发现有奇完全数的存在．于是是否存在奇完全数成为数论中的一大难题．目前，只知道即便有，这个数也是非常之大，并且需要满足一系列苛刻的条件．

1. 111111111的第二大的约数是多少？

2. 79、128、180分别有多少个约数？

3. 在小于200的正整数中，有多少个数有偶数个约数？

4. 36的所有约数的和是多少？90的所有约数的和是多少？

5. 240有多少个约数？其中有多少个奇约数？有多少个约数是3的倍数？