22．2降次---解一元二次方程（第五课时）

一元二次方程的根与系数的关系

◆随堂检测

1、已知一元二次方程的两根为、，则______．

2、关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和2，则______，______．

3、一元二次方程的两实数根相等，则的值为（）

A． B．或 C． D．或

4、已知方程的两个根为、，求的值.

◆典例分析

已知关于的一元二次方程有两个实数根和．

（1）求实数的取值范围；

（2）当时，求的值．

（提示：如果、是一元二次方程的两根，那么有，）

分析:本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,特别是第（2）问中,所求的值一定须在一元二次方程有根的大前提下才有意义.这一点是同学们常常容易忽略出错的地方.

解:（1）∵一元二次方程有两个实数根,

∴△＝,∴.

（2）当时，即,∴或.

当时，依据一元二次方程根与系数的关系可得,

∴,∴.

又∵由（1）一元二次方程有两个实数根时的取值范围是,∴不成立,故无解；

当时，,方程有两个相等的实数根,

∴△＝,∴.

综上所述,当时，.

◆课下作业

●拓展提高

1、关于的方程的两根同为负数，则（）

A．且 B．且

C．且 D．且

2、若关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足.则的值为（）

A、－1或 B、－、 D、不存在

(注意:的值不仅须满足,更须在一元二次方程有根的大前提下才有意义,即的值必须使得△才可以.)

3、已知、是方程的两实数根，求的值.

4、已知关于的方程的一个根是另一个根的2倍，求的值.

5、已知，是关于的方程的两个实数根．

（1）求，的值；

（2）若，是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．

●体验中考

1、（2009年，河北）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）

A． B．．6 D．9

(提示：如果直接解方程，可以得到直角三角形的两条直角边的长，再运用勾股定理求出直角三角形的斜边长.但由于方程的两根是无理数，计算十分麻烦.因此应充分利用一元二次方程根与系数的关系进行简便求解.)

2、（2008年，黄石）已知是关于的一元二次方程的两个实数根,则式子的值是（）

A． B． C． D．

参考答案：

◆随堂检测

1、. 依据一元二次方程根与系数的关系可得.

2、－3,2 依据一元二次方程根与系数的关系可得，

∴.

3、B. △＝，∴或，故选B.

4、解：由一元二次方程根与系数的关系可得：，

∴.

◆课下作业

●拓展提高

1、A. 由一元二次方程根与系数的关系可得：，当方程的两根同为负数时，，∴且，故选A.

2、C. 由一元二次方程根与系数的关系可得：，

∵，∴，解得，.

当时,△＝,此时方程无实数根,故不合题意,舍去.

当时,△＝,故符合题意.综上所述,.故选C.

3、解：由一元二次方程根与系数的关系可得：，

∴.

4、解：设方程的两根为、，且不妨设.

则由一元二次方程根与系数的关系可得：，

代入,得,∴,.

5、解：（1）原方程变为：

∴，

即，

∴，．

（2）∵直角三角形的面积为=

=，

∴当且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为或．

●体验中考

1、B. 设和是方程的两个根，由一元二次方程根与系数的关系可得： ∴，∴这个直角三角形的斜边长是3，故选B.

2、D 由一元二次方程根与系数的关系可得：，

∴.故选D.