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第八讲 几何综合练习
答案：21．解答：设AOD面积为1份，则AOB面积为2份，COD面积为6份，BOC面积为12份，阴影部分面积为13份，说明每份面积就是1平方厘米，所以四边形ABCD面积等于21份，是21平方厘米．
答案：18．解答：
，所以三角形ADC的面积为
．答案：
．解答：
，所以
，
，所以乙的长宽比为
．答案：24．解答：连接IC，则IC与DF平行．所以三角形DFI的面积等于三角形DFC的面积，即
．答案：41.12．解答：如图1，阴影部分的面积等于等腰直角三角形ABC的面积加上一个半圆，即
．答案：17.875．解答：如图2，阴影部分面积等于梯形ABCD的面积减去一个四分之一圆的面积，即
．答案：2880．解答：锯开后，表面积中增加了8个长方形截面，因此每个截面面积为12平方厘米，木料原来的体积是
立方厘米．答案：194．解答：从前后、左右、上下方向看，求出各方向所能看到的面积再相加即可：
．答案：90．解答：如图3，作DN垂直于MF于N，由
，得
，从而阴影部分面积为等腰直角三角形AGM面积的5倍：
．答案：244．解答：如图4，直角三角形OAB的三边长之比
，且斜边
，所以两直角边分别长12和16，长方形的长和宽分别为32和12，所以阴影部分面积为
．
答案：40．解答：设三角形
面积为
，由
，故三角形
面积为
；又由
，可设三角形CBE和BEF的面积分别为
和
，于是左边面积为
，右边面积为
，可得
，
，三角形ADG的面积为40．答案：58．解答：如图5，作EF垂直BC于F．则
，所以
，五边形面积等于三角形ABE面积加上梯形BEDC面积，即
．答案：15.6．解答：如图6，设丙三角形的边长为
，则：
，
，
，
．
由
，得：
，解得：
．
答案：24、87．解答：翻转问题中，不动的点为圆心．点A的翻滚路线如图7中的选线所示，路线长为
．翻滚过程中，正三角形所扫过的区域包含两个圆心角是120°的扇形以及一个等边三角形，面积为
．答案：（1）1.2、9；（2）388.8．解答：（1）要使水面高度最小，则面积为
平方厘米的侧面应该贴地，此时水面情况如图8所示，水面高度等于三角形ABC的高线AD的一半．因为
，所以水面高度为1.2．而要使水面高度最大，应使面积为
平方厘米的底面贴地，由于水占总体积的
，因而此时水面高度为
．
（2）这一问难度极大，需要学生有很深的几何功底．注意到三个侧面分别贴地时，所对应的三个水面高度恰好与直角三角形的三边成反比，而对于
，
，只有30、24、18满足勾股定理，所以
即为三棱柱底面直角三角形的三边比．由于底面积是54，所以底面的三边分别为9、12、15，总的侧面积为
，所以三棱柱的高为
．
接下来比较
的底面贴地与
的侧面贴地这两种情况，水面高度比为
，设两高度分别为
和
．以容器中水的体积为等量关系，可列出等式：
，求得
，所以
，所以容器中水的体积是
．
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