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第十八讲 最值问题二
答案：294
详解：长方体满足：
厘米，要使体积最大，就应该使三边长度尽量接近．所以当三边长度分别为7厘米、7厘米和6厘米时，体积最大，为
立方厘米．
答案：103
详解：任意3袋糖果总块数都不少于61，必能取出一袋不少于21块糖果；现在余下4袋，同样可以有糖果数超过21块的袋子，再取走这袋．现在余下三袋了，这三袋糖果总和不少于61，所以总的糖果不少于61+21+21=103块．由于5袋糖果分别有21、21、21、20、20块，是符合要求的，所以103就是最小值．
答案：954×873×621
详解：每个数都是9的倍数，说明每个数的各位数字之和都是9的倍数．由于1到9总的数字和是45，而且每个数的各位数字之和都不超过7+8+9=24，因而三个数的各位数字之和分别为18、18和9．各位数字之和为9的数最大只能是621．其余两个数乘积要尽量大且各自的各位数字之和是18，百位取9和8，十位取7和5，个位取4和3，有最大乘积954×872，故所求的乘法算式是954×873×621．
答案：最大为999997585960…9899；最小是10000012345061626364…9899
详解：（1）要使剩下的数尽量大，就要让数的最前面剩下尽可能多的9．首先，最开头的12345678这8个数字是要去掉的，留下了第一个9；然后去掉1011121314151617181共19个数字，留下了第二个9；再去掉3次的19个数，使得剩下第3、4、5个9．现在已经去掉了一共8+19×4=84个数，剩下的数前5个数字都是9，然后是50515253545556575859一直写到9899，还能再去掉15个数．但我们到下一个9要去掉19个数，到下一个8要去掉17个数，到下一个7要去掉15个数，于是最后结果的第6个数字最大是7，应该去掉的15个数字为505152535455565．所以剩下的数最大为999997585960…9899．
（2）要使剩下的数尽量小，就要让数的首位是1，第二位起是尽量多的0．首位上的1取第一个数字1就行了．然后去掉234567891共9个数，留下第一个0；再去掉1112131415161718192共19个数，留下第2个0；再去掉3次的19个数，就能得到第3、4、5个0．现在一共去掉了
个数，剩下的数前六个数字是1、0、0、0、0、0，余下的部分是515253545556575859一直写到9899，还能再去掉14个数．下一位取不到0了，只能去掉一个5，留下1；再下一位连1都取不到，只能去掉1个5，取2；再去掉一个5，留下3；去掉一个5，留下4．现在还能再去掉10个数字，而剩下的是55565758596061……，接下来11个数中最小的数是5，所以取一个5．然后剩下的数前11个数字为55657585960，因而我们去掉10个数字5565758596，使下一位达到最小数字0．所以最后剩下的数最小是10000012345061626364…9899．
答案：26
详解：如图1，由于的A、B两点连出的边是3条，也就是奇数条，仅当A与B为出发点和终点时，才能一笔画．我们不能从邮局出发一笔把这个图画出，即邮递员不能只把每条街道走一遍就回到邮局，他至少应该多走1千米街道，最小是26千米．在图2中，我们给出了邮递员走26千米走遍所有街道的一种方法．
答案：最短的长度是5；4
详解：为了表示方便，我们把长方体的各个顶点都标上字母，如图3．蚂蚁要从A处爬到B处，途中必须经过两个相邻的面，两个相邻面的交线必是EH、HF、FG、GC、CD、DE六条线段中的一条．一共六种情况，但由对称性，可分为三类，每类两种：交线是FG、DE的情形为一类，交线是HE、GC的情形为一类，交线是FH、DC的情形为一类．
情况1：如果蚂蚁所经过的两相邻面是ACGF和FGBH，那么我们可以沿着它们的交线FG把这两个面展开到同一个平面上，如图4．这样蚂蚁的整个行走路线就在这一个平面上，而且以A为起点，B为终点．此时从A到B的最短连线就是A、B两点的连线，它恰好直角三角形ABC的斜边．由于
，
，因此
．
情况2：如果两相邻面的交线是GC．同样我们也可以沿着GC，把两个相邻面展开到同一个平面上，如图5．此时A、B两点的连线是直角三角形ABD的斜边．由于
，
，因此
．
情况3：如果两相邻面的交线是DC．同样我们也可以沿着DC，把两个相邻面展开到同一个平面上，如图6．此时A、B两点的连线是直角三角形AGB的斜边，一定比直角边AG长．而AG的长度是
，所以AB一定大于6．
其余三种情况的最短路线与上面的情况1、2、3对应相同．所以爬行路线长度最少是5，（1）和（2）的情形都符合要求，加上与它们对应的两种，所以一共会有4条最短路线．把展开图还原到原来的图中，就是所求的最短路线（如图7）．因此在长方体表面，从A到B的最短路线的长度是5，一共有4条满足要求．
练习1、答案：576
简答：
，
．
练习2、答案：834
简答：总积分最少是
，此时5人分数可以是166、167、167、167、167．
练习3、答案：642×531
简答：6和5分别放在两个数的百位上，结合各位数字之和是3的倍数，可得到乘积最大的算式
．
练习4、答案：95617181920；10111111110
简答：同例4，由于题目中数位较少枚举即可，注意计算的准确性．
作业
答案：1000
简答：
，
．
答案：17
简答：必有两人的勋章数都不多于4块，余下两人勋章数之和不多于9块，因而最多只能有
块．
答案：
简答：首位要尽量大，取8和7，次位也尽量大，取6和5，然后是十位要尽量大，从4和3里取．也就是前三位分别取853和764能使乘积最大．但还要保证都是3的倍数，故只能是8532和7641，所求的乘法算式是
．
答案：93333334353637383940；10123334353637383940
答案：36
简答：这个图是可以一笔画画出的，最少路程等于街道全程36千米．
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