第十五讲 数论综合提高一

1. 答案：（1）30675、38625、39675；（2）504；（3）26999
   详解：（1）据分解法可知，75能分成25与3，满足是25的倍数，末两位要是25的倍数，即后一个空填2或7，填2时，没有重复数字又是3的倍数，所以只能是38625，填7时，满足条件是30675或39675，所以答案是30675、38625、39675．
   （2）将六位数补成387999，387999除以624余495，所以387999减去495的差387504一定是624的倍数，所以答案是504．
   （3）改成竖式的数字谜，29乘以某某某答案后三位是999，填完整就是29乘以931等于26999．
   
   

2. 答案：36
   详解：要是36的倍数，只要是4和9的倍数即可．9的整除特性是乱切法就可以，所以一位数的时候我们截成一位，两位数就截成两位，几位数就截成几位，所以有1+2+3+…+N是9的倍数，即 是9的倍数，即N或 是9的倍数，所以满足条件的N是8、9、17、18、26、27、35、36，写到36时，第一次满足是4的倍数，所以N最小是36．
   
   

3. 答案：865
   详解： ，即只要满足是5、9、11的倍数即可．对 ，不论a取哪一个一位数都不可能是11和5的倍数，所以 一定是11和5的倍数，即是605．于是 是9的倍数，所以a是8，所以a、b、c组成的三位数是865．
   
   

4. 答案：13806、94365
   详解：最小且数字不同，则前三位只能是138，再根据9的整除特性，所以最小是13806；最大且数字不同，则前三位只能是943，再根据9的整除特性，所以最大是94365．
   
   

5. 答案：648
   
   

6. 答案：83
   详解：这是一个首项为1，公差为3的等差数列，由题意知第 个数应为125的倍数，即 ，可知k取2时符合要求，此时n为83．
   
   
   
   
   
   
   

练习：

练习1、答案：（1）105372；（2）220、544或868；（3）20999

练习2、答案：35
练习3、答案：548或908
简答：即 要分别被4、9和11整除，由 与 整除特性且a、b、c代表不同数字可知 与 分别要被（4、9）与11整除，所以可求得 是548或908．
练习4、答案：最小值是2907；最大是8793

作业

1. 答案： 38025
   简答：能被225整除，即能分别被9和25整除，所以可得该五位数为38025．
   
   

2. 答案：（1）260172；（2）197496
   简答：（1）设该六位数为 ，其为99的倍数，即 能被99整除，又a、b为个位数，所以易知 ，所以该六位数为260172；（2）能被72整除，即能分别被8和9整除，所以可得该六位数为197496．
   
   

3. 答案：75
   简答：500！所含0的个数减去200！所含0的个数即可，答案为75．

4. 答案：34
   简答：易知 ，所以可估算出所求的数为34．
   
   

5. 答案：900
   简答：前n次共炼制n²颗仙丹，且n²是60的倍数，所以n含有质因数2、3和5，于是当 时， 为所求答案．