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第十六讲 数论综合提高二
答案：5
详解：从向东转向南方，可以转3次、7次、11次、15次等，即约数个数是3、7、11、……．100之内的数的约数个数最多的只有12个（有5个）．有3个约数的是4、9、25、49；有7个约数的是64；有11个约数的数最小是1024．所以有5名小朋友最后是面朝南方．
答案：144、324
详解：有15个约数的数，质因数分解式为
或
．前者最小是
，次小的是
，都很大；后者最小的是
，次小的是
，这个数最小是144，次小是324．
答案：
详解：因为35含有质因数5、7，恰有35个约数的数只能含有这两个质因数，所以这个数最小是
．
答案：30，36，80
详解：
，
，
，
易知所求三个数为30，36，80．
答案：23和30
详解：两数之差为7，则他们的最大公约数可能为7或1，而689也可被最大公约数整除，所以两数的最大公约数为1，即两数互质，所以两数的最小公倍数，即两数之积为690，易知相差7且乘积为690的两个数为23和30．
答案： 21.6米
练习：
练习1、答案：1968
简答：易知第n号灯被按的次数等于n的约数的个数，如果n号灯被按灭则灯被按了奇数次，即n有奇数个约数，也就是n每个质因子的质数为偶数，即n为完全平方数．易知小于2012的完全平方数有44个,所以还有1968盏灯亮着．
练习2、答案：48；105
练习3、答案：4032个
简答：因为42含有质因数2、3、7，恰有42个约数的数只能含有这三个质因数，所以这个数最小是
练习4、答案：12、16、27
简答：把5184分解质因数得：
，可凑出三个数是12、16、27，质数个数分别是6个、5个、4个
作业
答案：18，6，12
简答：通过分解质因数可得答案为18，6，12．
答案：63
简答：正方形边长为108和84的最大公约数12，所以可裁成63个正方形．
答案：25，125，161
简答：首先最小的约数可知为1，则另外两个较小的约数之和为30，可知另外两个较小约数可以是5和25，则答案为25和125；7和23，则答案为161；11和19，则答案为209；13和17，则答案为221．其中小于200的为25，125，161．
答案：204
简答：设这
，
，则由M和N是6的倍数，可知
是6的倍数，则
是2的倍数，又由M是偶数可知，c可能取2、4、6或8，带入尝试可求得N可以为204，228，246，258，294，426，438，456，498，618，678，最小的是204．
答案：29
简答：两数相差5，所以它们的最大公约数为5或1，所以分类讨论可得这两个数为12与17，其和为29．
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