第九讲 几何综合问题

例题：

1. 答案：157平方厘米
   详解：记大圆半径为R，小圆半径为r，那么圆环的面积为 ，我们只要能够求出 即可．阴影部分是两个等腰直角三角形的面积差，等于 ，所以 ．由此可得圆环面积等于 ．

2. 答 案：24厘米
   详解：利用勾股定理可得 厘米，所以 厘米．长方形ABCD的面积等于 平方厘米，所以△BOC的面积等于 平方厘米．连接OP，观察△OPB与△OPC，它们分别以OB和OC为底，是一对等底三角形，而对应的高就是PR和PQ，因此面积和就等于 ，而这个面积和就是△BOC的面积，等于300，所以 ，由此可得 厘米．

3. 答 案：8
   详解：图1阴影部分的面积是整个长方形的一半，而图2阴影部分的面积也是整个长方形的一半．两个阴影部分有一块公共部分，那就是△APD．去掉这块公共部分之后，剩下的阴影部分仍然应该相等，因此就有 ．由题意， ， ，所以 ．

4. 答 案：42厘米
   详解：为便于描述，将六边形剩余两条边的长度分别设为a厘米和b厘米．如右图所示，将图形补成一个等边三角形，最上方的应该是一个边长为9厘米的等边三角形，左下方则是一个边长为1厘米的等边三角形，由此可得最大的等边三角形边长为 厘米．这样 ，而 ．六边形边长就等于 厘米．

5. 答 案：936
   详解：如图所示，我们可以将图形中的△BCD左右翻转一下，变成了△BED， 这样就和为90°的角就能拼到一起，构成完整的直角．例如∠ABE与∠ADE就都是直角．接着连结AE，△ABE与△ADE都是直角三角形，AE是它们公共的斜边．根据勾股定理， ，由此可得 ．这样就可以分别求解△ABE与△ADE这两个直角三角形的面积．将其相加，即可得总面积为 ．

6. 答 案：228.07
   详解：小圆滚动时所经过的区域如右图所示．接着我们分块求解每一部分的面积．半圆FEQ、半圆JKL的面积之和是 ；长方形FGBQ、BHIP、IJLM的面积之和是 ；60°的扇形BGH的面积为 ；PIMNO部分的面积为 ；所以总面积为 ．

练习：

1. 答案：125.6平方厘米
   简答：如右图所示，将图形从中间切开分为左、右两部分，每一部分都和例题1一模一样．

2. 答案：6
   简答：正方形面积等于“对角线平方的一半”，所以正方形对角线的平方就等于 ，由此可得正方形ABCD的对角线AC等于12，所以OC、OD长均为6．与例题2类似，连结OP，然后利用△OCD的面积等于 可得 ．

3. 答 案：9；16
   简答：如右侧左图所示，△PAB与△PDC是一对同底三角形（分别以AB和CD为底），他们的面积和等于“ ”．不难看出它们“高的和”就等于AD，所以它们的面积和就等于长方形ABCD面积的一半，由此可得长方形ABCD的面积为 ．△PAD的面积等于△PAB、△PBC及△PCD的面积之和减去长方形ABCD的面积，即 ．至于△PAC的面积，只要用总面积减去△ABC与△PCD的面积即可，等于 ．

4. 答案：10厘米
   简答：如图所示，将图形补成一个完整的正三角形，其边长为 ．记原六边形的最短边为a，最长边为b．那么 ．而由于正六边形周长为32，所以 ．由此可得b为 厘米．

作业：

1. 答案：8
   简答：圆环面积为： ，所以 ，阴影部分面积等于 ．

2. 答案：4.8
   简答：作BC边上的高，可得高为4（利用勾3股4弦5）．这样三角形ABC的面积就等于12．接着就和例题2做法类似，连接AD并利用等底三角形的面积和即可．

3. 答案：11；6
   简答：△PCD与△PAB的面积差（即 ）等于长方形ABCD面积的一半，△PBC与△PAD的面积差等于长方形ABCD面积的一半．所以△PAD的面积为 ．△PAC的面积等于△PBC的面积减去△PAB及 △ABC的面积，所以面积为 ．

4. 答案：
   简答：如图，在六边形的上方、左下和右下各补一个边长为6厘米的等边三角形，将图形补成一个完整的等边三角形．由此可求出六边形的中间分割线长为 厘米．接着利用线段的份数关系求面积比．位于上方的梯形，其上底为6份，下底为11份，高为5份；而位于下方的梯形，其上底为5份，下底为11份，高则为6份．接着利用这些线段的份数关系，得到面积比为 ．
   
   

5. 答 案：
   简答：如图所示，利用图形的对称性，只要分析小圆经过区域的四分之一即可．图中阴影部分就是小圆经过区域面积的四分之一，只要求出图中阴影部分的面积，然后再乘以4即可得最后答案．