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第七讲 不定方程
例题：
答案：14或10
详解：由于方程两边除以3的余数相同，
，
，所以
除以3余2．又因为
，所以
是不超过7的自然数，只能取2或5．当
时，
，
；当
时，
，
．所以张明共买了14支或10支铅笔．答案：26
详解：设买了大盒鸡蛋
盒，小盒鸡蛋
盒，则
．考虑方程两边除以16的余数，得：
除以16的余数是4．首先要求
是4的倍数，所以
是4的倍数，验证
4、8、12、……发现满足
除以16的余数是4的最小
值是12，相应的
的值是14，即
．由于
且
，所以方程没有其它自然数解，采购员一共买了
盒鸡蛋．答案：76
详解：设甲、乙两小队分别有
人和
人．则两队植树棵数分别为
棵和
棵．由分析得：
．将
0、1、2、……代入方程验证
是否是自然数，可以求出方程的
值最小的一组自然数解
，此时每队的植树棵数均为38棵．
方程的所有其他的自然数解都可以由进行若干次的“
值增加13且同时
值增加10”得到（也就是方程的其他所有自然数解是
，
，
，……），每次“
值增加13且同时
值增加10”意味着每队植树棵数增加130棵，38棵要变为四百多棵，意味着要增加3次，符合要求的自然数解是
．所以甲队有33人，乙队有43人，两队共有
人．答案：8
详解：设已经截出了
根长36厘米的管子和
根长24厘米的管子，那么被截出的管子一共长
厘米．由
，得：
一定是12的倍数．而380不是12的倍数，所以
是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽，那么最少会剩下多少厘米呢？
由于
一定是12的倍数，小于380且能被12整除的最大自然数是372，而
的自然数解是存在的，如
，也就是截出1根长36厘米的管子和14根长24厘米的管子，能够使得截出的管子总长度达到最大值372厘米．所以剩余部分最少是
厘米．答案：有四种符合要求的买鸡方案：公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只；公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只
详解：设公鸡、母鸡和小鸡分别买了
只、
只和
只．依题意，得：
．要求这个方程的自然数解，我们用“消元”的想法把它转化成二元一次不定方程求自然数解的问题．我们选择“消去”
：将第二个方程乘以3，然后减去第一个方程，得：
，即
，它的所有自然数解是
、
、
、
．它们对应的
值分别为75、78、81、84都是自然数，于是原不定方程的所有自然数解是：
、
、
和
．所以我们有四种符合要求的买鸡方案：公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只；公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只．答案：12
详解：不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有
包、
包、
包和
包，则
．把系数都化成整数，得：
．由于我们只关心奶糖的数量，我们将未知数
分为一组，其余未知数分为另一组：
．也就是
．令
，则
．它的自然数解只有
，所以阿奇共买了12包奶糖．
练习：
答案：（1）有三组解：
；
；
；（2）有一组解：
简答：（1）考虑方程两边除以3的余数；（2）考虑方程两边除以11的余数．答案：有四种购买方案：12个大蛋糕，4个小蛋糕；8个大蛋糕，11个小蛋糕；4个大蛋糕，18个小蛋糕；0个大蛋糕，25个小蛋糕；第一个方案最省钱，只要花
元
简答：求不定方程
的自然数解即可．答案：4台
简答：
的最小自然数解为
，最少需要大空调1台，小空调3台．答案：3
简答：注意
是7的倍数．答案：（1）有三组解：
、
、
；（2）1；2；6
简答：（1）消去
可解；（2）求
的正整数解即可．
作业：
答案：（1）
；（2）
；
简答：（1）考虑方程两边除以3的余数；（2）消去未知数y，转化成二元一次不定方程．
答案：12
简答：由
，得：
，所以参加活动的共有
人．
答案：17
简答：设留下来的数中有x个1.21和y个1.3，则
．由于总和的百分位是8，说明
8或18．仅当
相应的y是整数，求得
，所以应该划去
个1.3．
答案：（1）10；（2）7
简答：（1）设买了冬菜包x个，豆香包y个．由
，得：
，所以樱木同学一共买了
个包子；（2）由
，得：
、
、
或
，所以羊肉串最多有7串．
答案：甲51；乙53；丙49
简答：设甲、乙、丙三个班分别有x人、y人、z人，则由已知可得：
，即
，所以可知x是除以10余1的数，y是除以9余8的数．又因为每班捐书册数在400与600之间，所以x只能取51，此时才同时满足y是除以9余8的数，即为53，则z为49．
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