【321081】【课本】六年级（上）第09讲 几何综合

第九讲 几何综合问题

这一讲我们学习几何综合题，题型是复杂而巧妙的．这种问题往往需要我们有点武侠小说中“借力打力”的能力，不要硬碰硬，而是借巧劲．比如已知一个面积为2的正方形，求边长为其两倍的正方形的面积．把边长具体数值求出来，用边长的关系来计算面积的想法是不可行的．而且事实上也是没必要的，我们可以把面积为2的正方形边长设为 ，它的两倍为 ，则 ，以 为边长的正方形面积为 ．我们再来看几个用类似想法解决的问题．

本讲知识点汇总：

1. 巧用面积公式，利用图形面积之间的和差关系来求解图形面积．

   1. 圆与直角三角形中利用勾股定理．

   2. 同底三角形利用“ ”求面积和，“ ”求面积差．

   3. 不去考虑每块图形的面积，而是将若干块图形放在一起，考虑其面积之间的和差关系．

2. 辅助线与几何变换．

   1. 通过割、补，将图形的变为规则图形，以便于分析．

   2. 通过几何变换（翻转、对称）等，将图形变得易于求解．

3. 图形运动．
   能够正确地画出简单几何图形（如圆等）在运动过程中所扫过区域的边界，并求解相关的长度和面积．
   
   

1. 如图，阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积．（ 取3.14）
   
   
   
   
   
   
   「分析」阴影部分等于大等腰直角三角形减去小等腰直角三角形，而圆环等于大圆减去小圆．那么阴影部分面积与圆环面积之间有什么联系呢？
   
   

练习1、下图中阴影部分的面积是40平方厘米，求圆环的面积．（ 取3.14）

2. 如图，在长方形ABCD中， 厘米， 厘米，P为BC上一点，PQ垂直于AC，PR垂直于BD．求PQ与PR的长度之和．
   
   
   
   
   
   「分析」如果这道题只是要尝试出一个结果的话，我们只要让P取特殊点，例如取成B点，所求的长度之和就是B点到AC边的距离．但PQ与PR的长度之和是否是一个固定的值呢？
   
   
   练习2、如图，在面积为72的正方形中，P为CD边上一点，PQ与BD垂直，PR与AC垂直．求PQ与PR的和．

3. 如图，P为长方形ABCD内的一点．三角形PAB的面积为5，三角形PBC的面积为13．请问：三角形PBD的面积是多少？
   

「分析」直接用面积公式或者比例关系来求三角形PBD面积，显然不可行．那么还有什么方法可以用来求三角形PBD面积呢？

练习3、如图，P为长方形ABCD外的一点．三角形PAB的面积为7，三角形PBC的面积为20，三角形PCD的面积为4．请问：三角形PAD的面积是多少？三角形PAC的面积又是多少？

中国古代的几何学

形的研究属于几何学的范畴．古代民族都具有形的简单概念，并往往以图画来表示，而图形之所以成为数学对象，便是由工具的制作与测量的要求所促成的．规矩以作圆方，中国古代夏禹泊水时即已有规、矩、准、绳等测量工具．《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”．“规”是圆规，“矩”是直角尺，“准绳”则是确定铅垂方向的器械．这些都说明了早期几何学的应用．从战国时代的著作《考工记》中也可以看到与手工业制作有关的实用几何知识．

战国时期墨子所写的《墨经》中，对一系列的几何概念进行抽象概括，作出了科学的定义．《周髀算经》与刘徽的《海岛算经》则给出了用矩观测天地的一般方法与具体公式．在《九章算术》及刘徽注解的《九章算术》中，除勾股定理外，还提出了若干一般原理以解决多种问题．例如求任意多边形面积的出入相补原理；求多面体体积的刘徽原理；5世纪祖暅提出的用以求曲形体积特别是球的体积的“幂势既同则积不容异”的原理；以内接正多边形逼近圆周长的极限方法（割圆术）等．

4. 如图，一个六边形的6个内角都是120，其连续四边的长依次是1厘米、9厘米、9厘米、5厘米．求这个六边形的周长．
   
   「分析」所给六边形各内角都是120°，这使我们联想到正六边形．在求解与正六边形有关的题目时，最常用的方法有两种：一种是“割”，一种是“补”．“割”是指把六边形分割干个边长或面积为1的正三角形；“补”是指在正六边形中取出三条互不相邻的边来延长，补成一个正三角形．这两种方法对本题适用吗？
   
   练习4、一个六边形的6个内角都是120，并有连续的三边长均为6厘米．如果这个六边形的周长是32厘米，那么该六边形最长的边有多长？
   

5. 如图，在四边形ABCD中， ， ， ，且 ， ．请问：四边形ABCD的面积是多少？
   
   
   
   
   
   
   
   
   「分析」本题的条件让人感觉很别扭，虽然 ，但它们并不是紧挨着的；虽然 ，但它们也不是紧挨着的．那究竟对这个图形做怎样的变换，才能让那些应该紧挨着的角真正挨在一起呢？
   
   
   
   

6. 如图，一块半径为2厘米的圆板，从位置①开始，依次沿线段AB、BC、CD滚到位置②．如果AB、BC、CD的长都是20厘米，那么圆板扫过区域的面积是多少平方厘米？（ 取3.14，答案保留两位小数．）
   
   「分析」这道题关键是把想清楚圆板经过的区域是怎样的图形，并画出对应的轨迹图．
   
   
   

作业

1. 如 果图1中的圆环面积为12.56，阴影部分的内外两侧都是正方形，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）8
   
   
   
   
   

2. 如 图2，等腰三角形ABC中， ， ． 为 边上的一点，DE与AB垂直，DF与AC垂直，那么DE与DF的和是多少4.8？
   
   
   
   
   

3. 如图3，P为长方形ABCD外的一点．三角形PAB的面积为5，三角形PBC的面积为30，三角形PCD的面积为24．那么三角形PAD的面积是多少；三角形PAC的面积是多少？11，6

4. 一 个六边形的6个内角都是120，并有四边长为5、6、5、5厘米，如图4所示．现在用一条线段把六边形分成两部分，则上、下两部分图形的面积比是多少？85:96
   
   
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5. 右图中有一个上下、左右都对称的“十字型”，其各边长度如图所示（单位：厘米），一个半径为1厘米的小圆沿其外周滚动一周，那么小圆经过区域的面积等于多少？（答案保留圆周率 ）